Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Указанные выше точки будут лежать в одной плоскости,
AB
AC
AD
b
c
a
b
если векторы
компланарны. А это действительно так, поскольку их смешанное произведение равно нулю:
3.59. Найти a,
торы a,b,c взаимно ортогональны и образуют правую тройку;
2) |a|=2, |b|=4, |c|=3 и
={1,3,1},
= {3,7,-1} и
131
ADACAB ==
−=
−
Задачи и упражнения
, если: 1) |a| = 3, |b| = 4, |c| = 5, век-
∧
)b,a( = 30
= {2,4,-2} будут
131
.
0
173
242
◦
;
0104
0104
, причем
bc ,ac ⊥⊥
векторы
={2,0,3}, c={0,2,1}. Какова ориентация перемножаемых век-
торов?
3.60. Точки А(1,-2,0), В(3,-2,-3), C(1,-1,3) и D(2,1,-1) являются вершинами пирамиды. Найти: 1) площадь грани АВС; 2)
объем пирамиды; 3) высоту DE, опущенную на грань АВС.
,b,cобразуют левую тройку; 3)a={1,-1,2},
91
3.61. Проверить, компланарны ли данные векторы:
a
b
c
a
a
b
c
a
a
1)a={1,-2,4}, b={-2,5,-3}, c={0,1,5};
2)a={0,1,3}, b={2,0,-3}, c={1,3,-1}.
3.62. При каких значениях λ векторы a,b,c будут ком-
планарны, если: 1) a = {1,λ,2}, b = {0,4,-1}, c = {2,-2,3};
2)a = {λ-1,-1,2}, b ={1,1,λ},c = {λ,λ,1}?
3.63. Проверить, лежат ли данные точки А, В, С, D в од-
ной плоскости: 1) A(2,3,-5), В(0,-4,2), C(1,3,-2), D(2,-4,-4);
) A(2,-5,3), B(0,3,-4), C(1,2,0), D(4,-1,3).
2
3.64. Доказать, что при любых a,b,c:
1) |
равенство?);
2) (a-b)(b-c)(c-a) = 0 (какой геометрический смысл
имеет это тождество?);
3) (
4) (a+b-2c)(b+c-2a)(c+a-2b) = 0.
3.65. Доказать, что если векторы
планарны, то компланарны и векторы
|≤ |a|·|b|·|c| (в каком случае здесь возможно
+b)(b+c)(c+a) = 2(
92
);
xb,bxc,cxa ком-
,b,c.
3.66. Найти:1) площадь параллелограмма, построенного
;
и b
r
r
2 , 3 , 1, , .
3
π
r
{}{}{
}
5,2,1 , 1,4,2 , 3,4, 9 .
− −
r
r r
; 2) ;3) .
a b b c c a a b b c c a abc
r r r r r
{}{}{
}
3, 6,1 , 1,4, 5 , 3,4, 9 .
− − −
r
r r
( ).
пр a c
+
r r
C
AB
uuur
AC
uuur
ABC
BC
{}{
}
5, 6,1 , 4,3,0
r
r
{
}
5, 8.10
r
(
)
5 4 , , , cos ,
a b b c a b b a b
r r r r r
r r r r
abc
r
r r
на векторах
числить:1)
Найти:1) площадь треугольника, построенного на этих векторах;
r
2)
b
(4,3,2), D(3,2,1). Вычислить:1) ее объем; 2) площадь грани
ABC; 3) высоту, опущенную из вершиныDна противоположную
грань.
a
2) угол между этими векторами, если:
r r r r r r r r r
a m n b m n m n m n
= + = − = = =
3.67. Даны три вектора:
⋅ + ⋅ + ⋅ × + × + ×
3.68. Даны три вектора:
3.69. Даны вершины пирамиды A(4,0,0), B(-2,1,2),
3.70. Даны три точки A(0,3,4), B(-1,2,-3), C(3,-2,2).
a b c
a b c
( )
Вы-
1). Построить эти точки; 2) найти длины векторов
угол между ними; 4) вычислить площадь
ту, опущенную из вершины A на противоположную сторону
.
3.71. Даны три вектора:
Вычислить:
⋅ − ⋅ ×
a b− −
93
и
; 4) найти высо-
,
c −
,
.
и
.
4. НЕКОТОРЫЕ ОБЪЕКТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
n
n
(
)
0 0 0
(
)
n
m m m
l t
= +
x x S
∈
(
)
,
,:.
∈
(
)
1 1 1
(
)
2 2 2
n
(
)
1 2 1
x x x x
∈
t
[
]
0;1
[
]
1 2
,
x x
И ИХ СВОЙСТВА
4.1. Прямая и плоскость в пространстве
Векторное уравнение прямой l, проходящей через точку
( ) ( ) ( )
, , ,
x x x=x K (опорная точка прямой) параллельно век-
0 1 2
тору
вид:
или
уравнение той же прямой в координатной форме.
, , ,
=S K (направляющий вектор прямой) имеет
1 2
:
x x tm
= +
1 1 1
x x tm
= +
l
Если
2 2 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
x x tm
= +
n n n
1 1 2
n
, t
0
0
0
( )
t
0
( )
( ) ( ) ( )
, , ,
x x x=x K и
n
- (4.2)
x x x=x K -
2 1 2
(4.1)
( ) ( ) ( )
, , ,
n
две фиксированные точки пространства
проходящей через эти точки имеет вид:
, то получим уравнение отрезка
, то уравнение прямой l,
:l t= + −
Если в последнем уравнении параметр
, t
. (4.3)
94
менять в промежутке
прямой l, связывающе-
го её точки
1
x
2
x
[
]
(
)
1 2 1 2 1
x x x x x x
0 1
t
≤ ≤
1 1 2 2
x x x
1 2
, 0
≥
1 2
1
+ =
n
(
)
0 0 0
α
(
)
n
A A A
(
)
, 0
− =
(
)
, 0
+ =
0
+ + + + =
(
)
0
,
N x
n
n
∀
G
∈
1
λ
2
λ
G
∈
1 2
, 0
≥
1 2
1
+ =
и
:
; : t= + −
Уравнение этого отрезка можно записать также в форме
λ λ
= +
Векторное уравнение плоскости α (в пространстве
называется гиперплоскостью), проходящей через точку
( ) ( ) ( )
, , ,
x x x=x K (опорная точка гиперплоскости
0 1 2
тогонально данному вектору
тор гиперплоскости) имеет вид:
N x x или
В координатной форме уравнение (4.5) примет вид:
A x A x A x B
1 1 2 2
В этих формулах
4.2. Выпуклые множества и многогранники в
0
L . (4.6)
B = −
, где
n
N x . (4.5)
n n
.
,
λ λ
, , ,
=N K (нормальный век-
1 2
. (4.4)
и
λ λ
.
она
) ор-
B
Пусть G - некоторое множество в
Множество G называется выпуклым, если оно вместе с
x1,x
Примерами выпуклых множеств могут служить отрезок, луч, прямая,
внутренности круга, треугольника, параллелограмма, плоскость, по-
содержит отрезок, соединяющий эти точки, т.е.
2
x1+
x
.
,
2
λ λ
и
λ λ
. (4.7)
95
луплоскость и т.д. (см. рис.4.1).
n
1
λ
2
λ
k
λ
1
λ λ λ
+ + + =
1
λ
2
λ
k
λ
1
λ
2
λ
k
λ
B
{
A
O
На рис. 4.2. приведены фигуры, не являющиеся выпуклыми
множествами.
Рис.3.1.
Рис.3.2.
положительные числа, удовлетворяющие условию
называется выпуклой линейной комбинацией точек x1,x2, . . . , xk, а
множество всех точек вида (4.8), полученное при произвольных зна-
чениях параметров
точек x
Пусть x
Тогда точка
x =
1,x2
1,x2
x1+
, . . . , xk.
, . . . ,xk- некоторые точки из
x2 + · · · +
,
xk (4.8)
, …,
- выпуклой линейной оболочкой
96
и
1 2
,
, …,
L .
-
k
Точка x выпуклого множества G называется угловой, если
n
(
)
, , , , 0, , 0
(
)
: , 0
+ =
n
n
+
n
−
её нельзя представить как выпуклую линейную комбинацию другихточек этого множества
Замкнутое, выпуклое, ограниченное множество
имеющее конечное число угловых точек, называется многогранни-
ком.
В случае трёх переменных примерами многогранников могут
служить призма, пирамида, усечённая пирамида. На плоскости роль
многогранников играют многоугольники: треугольник, квадрат,
трапеция и т.д.
Справедливы утверждения.
. Пересечение выпуклых множеств выпукло.
1
2. Для того, чтобы множество G было выпуклым, необходи-
мо и достаточно, чтобы оно содержало все выпуклые линейные оболочки своих точек.
3. Любой n-мерный многогранник является выпуклой линей-
ной оболочкой своих угловых точек.
4. Для того чтобы решение системы (2.1)
K ⊂
,
x x x=x K K было опорным, необходимо и достаточ-
1 2
но, чтобы оно совпало с одной из угловых точек её положительных
решений.
4.1. Гиперплоскость
пространство на два непересекающихся полупространства
m
α
N x разбивает
B
-мерное
и
:
97
в точках первого полупространства
(
)
, 0
+ >
(
)
, 0
+ <
n
+
n
−
n
+
n
+
(
)
, 0
+ >
(
)
, 0
+ >
1 1 2 2
x x x
[
]
1 2
,
x x
()(
)
f B
= +
()()()()(
)
f B B
= + + = + + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
, , 0
= + + + >
(
)
, 0
+ >
n
+
n
+
,
,
.
G
N x , в точках второго
B
полупространства
выпуклыми множествами.
Для определённости покажем, что
лое множество.
Пусть точки
N x . Пусть
Имеем:
x N x x N x N x
пространство.
B
2
. Найдём значение функции
, , ,
λ λ λ λ λ λ
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
λ λ
N x N x , т.е.
1 1 2 2
Следовательно,
N x . Показать, что
B B
B
,
∈x x
1 2
λ λ
= +
λ λ
= + ∈x x x
1 1 2 2
. Следовательно,
- произвольная точка отрезка
x N x в этой точке.
и
представляет выпук-
N x и
являются
1
,
N x .
и
- выпуклое полу-
B
B
4.2. Пусть G - множество всех решений следующей системы
неравенств
a x a x a x b
Показать, что множество
+ + + ≤
11 1 12 1 1 1
a x a x a x b
+ + + ≤
21 1 22 1 2 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + + ≤
a x a x a x b
1 1 2 1
m m mn n m
K
K
K
98
n n
n n
- выпукло.
(4.9)
Пусть
k
G
1,
k m
k
G
k
G G
I
1
X
2
X
1
=
AX B
2
=
AX B
1 1 2 2
X X X
[
]
1 2
X X
(
)
B B
= + = + = + =
(
)
B B
= + =
1 1 2 2
X X X
1 2
, 0
≥
1
X
2
X
1 1 2 2
K
= + ∈
K
- множество всех решений k-го неравенства,
= . Согласно результатам предыдущего примера
m
Очевидно,
жеств (см. утверждение 1).
4.3. Множество всех положительных (допустимых) решений
системы (2.1) выпукло.
(2.3), т.е.
ная точка отрезка
AX A X X AX AX
то
= +
и координаты векторов
=
Пусть
λ λ
, и G выпукло как пересечение выпуклых мно-
1
k
=
и
- два положительных решения уравнения
и
,
λ λ λ λ λ λ
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
- решение уравнения (2.3). Поскольку
. Пусть
. Так как
λ λ
1 2
и
положительны, то положительны и
λ λ
= +
,
выпукло.
- произволь-
λ λ
координаты вектора X, т.е.
- множество всех положительных решений системы (2.1) – выпук-
ло.
λ λ
X X X и следовательно,
99
4.3. Линейные формы (функционалы) в
n
(
)
x
n
()()(
)
x+y x y
n
()(
)
x x
n
()(
)
,
x c x
(
)
,
c x
()(
)
,
x c x
K
-мерных пространствах
Одним из основных понятий линейного программирования является понятие линейной формы (линейного функционала).
Функция
нейным функционалом или целевой функцией-в экономике), если:
10.
линейной формы;
0
.
2
формы.
Любая линейная форма в n- мерном пространстве имеет вид
L =
где c - некоторый вектор, однозначно определяемый этой формой, а
- скалярное произведение векторов x и c.
Справедлива основная теорема линейного программирования.
Линейная форма
положительных решений системы (2.1), достигает экстремума в
угловой точке многогранника K; причём, если линейная форма дос-
L
,
∈x
L L L= +
L L
λ λ
=
, (4.10)
для
L =
называется линейной формой (ли-
для ,
∀ ∈x
, заданная на множестве
y∀ ∈x
- однородность линейной
- аддитивность
тигает экстремума в нескольких угловых точках, то она достигает
экстремума и в любой точке выпуклой линейной оболочки этих угловых точек.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]