Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
kajaiaa
=
r
AB
)1,3,2(
A
−
)3,3,5(
B
AB
7
7
7
++= . (3.4)
zyx
Пусть вектор }a,a,a{a
осями Ox, Oy и Oz углы α, β и γ, соответственно. Тогда величины
cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами этого век-
тора. Их можно найти по формулам:
и
a
y
a
cos
x
cos ,
a
a
причем выполняется условие
3.1. Известны прямоугольные координаты начала и конца век-
тора
правляющие косинусы и записать его разложение по единичным ор-
там k,j,i .
:
Для нахождения неизвестных величин используем соот-
образует с координатными
zyx
a
z
cos ,
, (3.5)
=γ=β=α
a
222
. Найти его координаты, длину, на-
. (3.6)
1coscoscos
=γ+β+α
ветственно формулы (3.2), (3.3), (3.5) и (3.4):
-(-3);3-1} = {3,6,2};
3
cos =γ=β=α
cos ,
6
cos ,
2
; k2j6i3AB ++= .
61
222
263AB ++= =7;
= {5-2;3-
3◦. Арифметические операции над векторами
b
abba−abff
...ba+++a
b
ba+
0
a
b
bac+=
Два вектора a и bскладываются либо по правилу параллелограмма (рис.3.5), либо – треугольника (рис.3.6). Для сложения более чем двух векторов обычно используется правило многоугольника (рис.3.7).
Рис. 3.5
Рис.3.7 Рис.3.8
Разностью векторов a и b называется вектор a-b = a+(-
) (см. рис.3.8). Произведение вектора a на число λ определяется
62
Рис. 3.6
как вектор
acλ
=
)1,3,2(
A
−
)4,2,0(
B
)5,4,2(
C
0CABCAB=++
a
0 ,a<λλ
B
(рис. 3.9), коллинеарный вектору a, с модулем
|a||||c| λ= и
а) с тем же направлением, что и вектор a, если λ>0 ;
б) с противоположным направлением, если λ<0.
0 ,a >λλ
Рис. 3.9
В координатах выше введенные операции над векторами запишутся в виде:
}.a;a;a{a
λλλ=λ
zyx
E
Рис.3.10
},ba;ba;ba{ba
+++=+
zzyyxx
},ba;ba;ba{ba
−−−=−
zzyyxx
3.2. Известны прямоугольные координаты трех то-
чек
1). Проверить (геометрически и аналитически), что
,
и
.
63
2). Считая, что А, В, С – вершины некоторого параллелограм-
AD
BCAB2=+
ACABBDABAD
+=+
=
+
=
+
=
+
=
ма, а ВС одна из его диагоналей (рис.3.10), найти координаты четвертой вершины D.
3). Найти координаты точки пересечения диагоналей О′.
4). Найти координаты вектора CE, где Е –
середина стороны АВ.
5). Проверить справедливость тождества
2222
ADBCAC2AB2 +=+ .
6). Доказать, что
1). Векторы CA,BC,AB образуют замкнутый много-
угольник. Поэтому их сумма равна нуль-вектору. Так как
.
}4;7;0{CA},1;2;2{BC},3;5;2{AB −−==−= ,то
=−−++−=++ }4;7;0{}1;2;2{}3;5;2{CABCAB
0}0;0;0{)}4(13);7(25;022{ ==−++−++=+−= .
2). Если D- четвертая вершина параллелограмма, то
= {-2;5;3}+{0;7;4}={-2;12;7}. Следо-
вательно,
zzz
AD
AD
xxx
AD
= 1+7 = 8, т.е. D(0,9,8).
=2+(-2)=0;
AD
yyy
AD
= -3+12 = 9;
AD
64
2
2
1
=+=+=
4
AD
CDBCABBCAB2=++=+
.
L
3). Так как },1,1{}1,2,2{
′
OB
BC
1
===
1
2
, то
′
BO
4).
′
OB
′′
Oo
1
2
5).
6).
22
;110xxx
4z ;312y =+==+=
1
2
22
2
2
, т.е. О′ (1,3,
9
1
9
).
5
9
2
.
},,1{}4,7,0{}3,5,2{ACABCE
−−−=−−=−=
2
.
=+++++=+
206491444144ADBC
=+++++=+ , т.е. требуемое
;206)16490(2)9254(2CD2AB2
тождество выполняется.
4◦ Деление отрезка в данном отношении.
Решим следующую задачу: отрезок М1М2 разделить на две
части в отношении λ, т.е. найти на нем точку М, такую, что
MM
1
MM
λ=
(рис.3.11). Так как
2
MMMM λ= , то
21
M(x,y,z)
M1(x1,y1,z
1
M2(x2,y2,z2)
M
А В
4
M
M
1
2
Рис. 3.11
Рис. 3.12.
65
M
3
λ+
⋅
+
=
x
⇒
=
y
=
z
x
y
z
+
=
2
+
=
2
+
=
2
−λ=−
Например, если отрезок М1М2 делится пополам (т.е. λ = 1), то
координаты середины отрезка определятся соотношением
3.3. Отрезок АВ, где А(3,2,0) и В(0,2,6), лежит на прямой L. На
прямой L найти точки Мk , k=1,2,3,4, осуществляющие деление отрезка соответственно в отношениях: λ1=2; λ2 = 1/2; λ3 = -2; λ4 = -1/2.
Сделать чертеж.
21
),xx(xx
21
−λ=−
),yy(yy
21
−λ=−
)zz(zz
xx
21
,
λ+
1
λ+
yy
21
,
λ+
1
λ+
zz
21
.
λ+
1
xx
21
,
yy
21
,
zz
21
.
(3.7)
(3.8)
Геометрическая интерпретация задачи приведена на рис.
3.12 Точка М1(x1,y1,z1) осуществляет деление отрезка АВ в отношении
λ1=АМ1/М1В = 2. Координаты ее находим по формуле (3.7):
=
x
1
=
y
1
=
z
1
023
=
+
21
⋅+
+
21
⋅+
+
21
,1
222
=
,2
620
=
.4
66
Точка М3(x3,y3,z3) осуществляет деление отрезка АВ в отношении
⋅−+
λ3=АМ3/М3В = -2. Координаты ее также находим по формуле (3.7):
=
x
3
=
y
3
=
z
3
Аналогично находим М2(2,2,2) и М4(6,2,-6).
3.4. Даны вершины треугольника: А(1,1,2) , В(1,-3,2) и
С(-3,1,4). Найти длины его медиан.
Для примера найдем длину медианы АЕ, где Е – середина
стороны ВС. Получим:
=
x
E
=
y
E
=
z
E
−
21
−
21
−
21
+
xx
CB
2
+
yy
CB
2
+
zz
CB
2
0)2(3
−=
,3
⋅−+
2)2(2
=
,2
⋅−+
6)2(0
=
.12
−=
,1
−=
,1
=
.3
Следовательно, 31)2(2AE
на остальных медиан находится аналогично.
222
=+−+= (ед.дл.). Дли-
67
Задачи и упражнения
ABa=
AD
b
=
BDAC−
2ba2
2ba2
ABa=
ACb=
0CFBE
AD
=++
ADm=
BEn=
m
А
B
C D
O
3.1 В параллелограмме ABCD через векторы
выразить векторы:
, где О – точка пересечения
диагоналей (рис.3.13).
3.2. Проверить аналитически и
геометрически векторные тождества
ab
a
−
+
3.3. В треугольнике АВС через векторы
выразить его медианы
3.4, В треугольнике АВС через его медианы
+
a ;
=
.
−
ba
+
−
=
и показать, что
CF,BE,AD
BDAC;OD,OB,OC,OA +
и
и
и
и
выразить стороны
3.5. В прямоугольнике ABCD точки E и F являются сере-
динами сторон BC и CD, а единичные векторы m и n направлены вдоль сторон AB и AD, соответственно (рис.3.14). Выра-
зить через векторы
и
8AB =
и n векторы
.
6BC =
68
.
CA,BC,AB
, если
FA,EF,AE
Рис. 3.14 Рис. 3.15
DAB
∠
AB
AD
AB
m
=
BC
n
=
R
А
B
C D
F
E
n
m
А B C D
F
E
n
m
А B
C D
A′ B′
C′ D′
3.6. В равнобочной трапеции ABCD AD = DC = CB = 4 ,
= 60◦ и m и n - орты соответственно векторов
и
(рис.3.15). Разложить по этим ортам векторы
.
FA,EF,AE,BC,BD,AC
3.7. В параллелепипеде ABCDA′B′C′D′ (рис.3.16) через
векторы
гонали
нальные силы
,
F,F,F приложены к одной точке. Определить
321
′′′′
BD,AC,DB,CA
и AAp
.
величину их равнодействующей
= выразить его диа-
′
. 3.8. Векторы a и b ор-
тогональны и |a| = 12, |b| = 5.
Найти |a+b|, |a- b|.
3.9. Попарно ортого-
, если
===
321
.н11|F|.,н2|F|.,н10|F|
69
3.10. В некотором базисе заданы векторы a{2,-3,5} и
b
mи n
r
a
r
r
{-1,2,4}. Найти координаты векторов a+2b, -3a+b, 4a-
2b.
3.11. На плоскости даны векторы m{-1,-2} и n{2,-3}.
1). Показать, что они линейно независимы.
2). Найти разложение вектора p по векторам
p={3,-4}, б) p={-4,7}.
а)
3.12. Даны три вектора p {2,-1,0}, q {1,3,-1},
1). Показать, что они линейно независимы.
2). Найти разложение вектора
а) a{4,-7,4}, б) a{4,9,-4}.
3.13. Доказать, что на плоскости любые три вектора (и
более) линейно зависимы. В частности, найти зависимость меж-
ду векторами a{5,-1}, b{1,2} и c{-1,1}.
3.14. Доказать, что в пространстве любые четыре вектора
(и более) линейно зависимы. В частности, найти зависимость
между векторами
p{2,0,-3}, q{0,-2,4},
по базису p ,q,
{3,4,0} и s{7,10,-6}.
, если
{0,-4,2}.
, если
3.15. Даны точки А(5,-2), В(-3,0) и С(2,4). Найти длину и
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]