Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Задачи и упражнения
(
)
2 3 2,5 min ;
(
)
2 max;
2 3 9,
(
)
27 60 220 min;
(
)
2 3 min ;
(
)
3 2 6 max;
К данным задачам линейного программирования составить
двойственные, решить их симплексным методом и, используя теоремы
двойственности, найти оптимальные решения исходных задач.
6.6. 6.7.
L x x x
= + + →
x
L x x x
x
1 2 3
2 3 6 ,
x x x
+ + ≥
1 2 3
2 1, 5 8 ,
x x x
+ + ≥
1 2 3
3 4 2 12 ,
x x x
+ + ≥
1 2 3
, , 0 .
x x x
1 2 3
. 6.9.
6.8
= + + →
1 2 3
3 6 8 4,
x x x
− + ≥
1 2 3
≥
2 5 10 7,
x x x
− + + ≥
1 2 3
, , 0.
x x x
1 2 3
≥
L x x
= + →
x
1 2
x x
− + ≤
1 2
2 2,
x x
− ≤
1 2
, 0.
x x
≥
1 2
L x x x
= + + →
x
1 2 3
3 2 5 ,
x x x
+ − ≥
1 2 3
2 3 2 ,
x x x
− − + ≥
1 2 3
2 10
x x x
+ + ≥
1 2 3
, , 0 .
x x x
1 2 3
≥
L x x x x x
x
6.10.
Для данных задач составить двойственные задачи, решить их
геометрическим методом и, используя вторую теорему двойственно-
= − + − + →
1 2 3 4 5
2 2 ,
x x x
− + =
1 4 5
3 2 11,
x x x
+ + =
2 4 5
x x x
+ − =
3 4 5
x j
j
161
2 1,
0 , 1,5 .
≥ =
сти, найти решение исходной задачи.
(
)
2 4 10 2 2 min ;
(
)
4 5 5 max ;
L x x x x x
= + + + − →
x
1 2 3 4 5
x x x x x
+ + − − =
6.11.
L x x x x
= − + + + →
x
6.12.
6.13. На основании данных, приведённых в таблице 6.3
) составить суточный план выпуска тканей трёх видов, мак-
1
симизирующий объём прибыли;
2) составить двойственную задачу и решить её симплексным
методом. Таблица 6.3
Ресурсы
1 2 3 4 5
2 2 2
x x x x
− + + − =
1 3 4 5
0 , 1,5.
x j
≥ =
j
1 2 3 4
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
2 2 3 3 ,
x x x x
1 2 3 4
2 2 3 ,
+ + + =
0 , 1,4 .
x j
≥ =
j
Нормы затрат ресурсов
I II III
3 ,
Суточные запасы
ресурсов
Сырьё 5 4 1 850
Труд 2 4 3 790
Оборудование 4 3 2 780
Суточное задание
(минимум)
Прибыль за
1 м. ткани
60 70 90
60 70 80
162
6.14. 1). Решить задачу (5.4) - (5.5) симплексным методом при
1P2
P
3
P
4
P1S
2
S
3
S
следующих значениях параметров (см. таблицу 6.4):
Таблица 6.4
Виды
сырья
Запасы
сырья
Виды продукции
60 3 2 1 1
70 3 2 2 4
80 1 2 3 3
Прибыль 11 14 10 14
2). Составить для неё двойственную задачу и найти решения
двойственной задачи, используя формулы (6.1) и (6.2).
163
7. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
1
A
2
A
m
A
1
a
2
a
m
a
1
B
2
B
n
B
1
b
2
b
n
b
ij
c
i
A
j
B,1,
i m
1,
j n
(
)
,
i j
ij
x
ij
c
min
7.1. Постановка задачи. Математическая
модель транспортной задачи. Основные теоремы
Транспортная задача ставится следующим образом: одно-
родный груз сосредоточен у m поставщиков
ме
,
, …,
лям
на перевозку единицы груза от поставщика
задачи 7.1, где в клетке
телю, а слева сверху – величина стоимости перевозки единицы груза
к решению ЗЛП вида:
,
, …,
= ,
, планируемого для перевозки от i-го поставщика к j-му потреби-
-показатель затрат). Тогда решение транспортной задачи сводится
= (см. распределительную таблицу транспортной
L c x
X , (7.1)
( )
. Данный груз необходимо доставить к потребите-
в объёмах
m n
= →
∑∑
i j
= =
ij ij
1 1
,
, ….
внизу справа записана величина груза
,
, …,
. Известны расходы
к потребителю
в объё-
при условии, что
164
0.
n
≥
1
B
2
B
j
B
nB
11
c
12
c
1
j
c
1
n
c
1
A
11
x
12
x
1
j
x
1
n
x
1
a
21
c
22
c
2
j
c
2
n
c
2A21
x
22
x
2
j
x
2
n
x
2
a
1
i
c
2
i
c
ij
c
inciA1
i
x
2
i
x…
ij
x
inxia
1
mc2
m
c
mj
c
mncmA1
mx2
m
x…
mj
x
mnxma
1
b
2
b
j
b
nb
i j
a b
∑ ∑
x a i m
= =
∑
ij i
1
j
=
m
x b j n
= =
∑
ij j
1
i
=
, 1, ;
, 1, ;
x
ij
(7.2)
Таблица 7.1
Постав-
щики
П о т р е б и т е л и
…
…
…
…
…
…
… … … … … … … …
…
… … … … … … … …
…
Запасы
Запросы
…
…
=
165
Система ограничений (7.2), состоящая из
m n
+
m n
⋅
ij
x
( ) 1
r A m n
= + −
1
m n
+ −
1
m n
+ −
i j
a b
∑ ∑
(
)
ij
x
0
= + − ≤
1,
i m
1,
j n
i
u
j
v
уравнений,
содержит
тот факт, что каждый поставщик вывозит потребителям свой груз
полностью. А последующие n уравнений показывают, что все потребности потребителей удовлетворяются также полностью. Поскольку
решение этой системы (называемое распределением поставок), имеет
распределительной таблице ими заняты только
остальные будут незанятыми (свободными).
Специфичность транспортной задачи ярко выражена в утверждениях следующих теорем.
Теорема 7.1. Для того чтобы транспортная задача (7.1) -
(7.2) была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы она имела
правильный баланс:
неизвестных
(A- матрица системы), то каждое невырожденное
ненулевых компонент (поставок), т.е. в соответствующей
. Первые m ее уравнений выражают
клеток,
m n
=
1 1
i j
= =
, (7.3)
портной задачи (7.1) - (7.2) выполняется условие
где
ков и потребителей, являются решениями задачи, двойственной к
Теорема 7.2.Если для допустимого решения
u v c
α
ij i j ij
,
, называемые потенциалами соответственно поставщи-
,
∀ = ;
X
= транс-
= , (7.4)
166
транспортной задаче, то это решение является одновременно и оп-
, max
i j ij
с
+ ≤
1,
i m
1,
j n
(
)
ij
x
∗
()(
)
* * * *
, , , ; , ,
m n
u u v v
(
)
0
⋅ + − =
1,
i m
1,
j n
ij
x
∗
ij i j ij
u v c
= + −
(
)
,
i j
0
+ − =
1,
i m
1,
j n
X
∗
тимальным решением, на котором линейная форма (7.1) имеет минимум,
где задача, двойственная к исходной задаче (7.1) - (7.2), имеет вид:
m n
F a u b v
( )
= + →
U V , (7.5)
∑ ∑
i i j j
1 1
i j
= =
u v
∗
X
Если
мальные решения рассматриваемой пары двойственных задач, то согласно второй теореме двойственности для указанных оптимальных
решений имеет место следующие соотношения6
где для каждой базисной переменной
личина
= и
∗ ∗ ∗
x u v c
ij i i ij
α
называемая оценкой
равна нулю, т.е.
u v c
i j ij
,
= ;
∗ ∗
U V
-ой клетки распределительной матрицы,
= K K - опти-
,
, (7.7)
,
= . (7.6)
1 1
= ;
оптимального решения ве-
= ;
= ,
= . (7.8)
Для свободных клеток распределительной матрицы, содержащей оп-
тимальное решение
, их оценки неположительны, т.е.
167
0
u v c
= + − ≤
1,
i m
1,
j n
i
u
j
v
i
u
j
v
1
m n
+ −
m n
+
1
u
2
u
m
u
1
v
2
v
n
v
1
B
2
B
3
B
2 4 6
1
A
5 8
2
A
α
ij i j ij
,
∀ = ;
= , (7.9)
ибо
и
являются решениями двойственной задачи, и они удовле-
творяют системе (7.6), следовательно, и системе (7.9).
Таким образом, неположительность оценок свободных клеток
распределительной матрицы, содержащей некоторое допустимое решение транспортной задачи, является необходимым и достаточным
условием оптимальности этого решения. Для вычисления оценок
клеток распределительной таблицы, содержащей некоторое решение,
и
необходимо знание значений потенциалов
системы (7.8), состоящей из
ми
,
, …,
,
,
, …,
уравнений с
. В связи с тем, что система (7.8) пе-
. Их определяют из
неизвестны-
реопределённая, то в начале решения одной из переменных придают
некоторое конкретное значение (чаще всего нуль).
7.1. Составить математическую модель транспортной задачи,
данные которой приведены в таблице 7.2:
Таблица 7.2.
Постав-
щики
П о т р е б и т е л и
Запасы
40
1
60
Запросы
Матрицы перевозок (поставок) и стоимостей задачи соот-
168
ветственно имеют вид:
11 12 13
21 22 23
x x x
x x x
2 4 6
1 5 8
(
)
X
(
)
2 4 6 5 8 min
40
+ + =
60
+ + =
11 21
20
+ =
12 22
30
+ =
50
+ =
X
=
,
C
=
.
Чтобы составить линейную форму
произведений соответствующих элементов матриц стоимостей и перевозок:
XL x x x x x x= + + + + + → .
Эта функция выражает суммарные издержки всех перевозок от поставщиков к потребителям и для неё отыскивается минимум. Каждая
строка матрицы поставок представляет объём перевозок, осуществляемых соответствующим поставщиком. Поэтому сумма перевозок
должна равняться запасам поставщиков, т.е.
Аналогично получим, что сумма перевозок, приведённых в каждом
столбце, равняется объёму запросов соответствующих потребителей:
11 12 13 21 22 23
x x x
11 12 13
x x x
21 22 23
x x
L задачи, рассмотрим сумму
,
.
,
x x
x x
13 23
Учитывая, что перевозки не могут быть отрицательными, мы для данной транспортной задачи получаем следующую математическую модель:
169
,
.
(
)
2 4 6 5 8 min
XL x x x x x x= + + + + + → ; (7.10)
40 ,
60 ,
20 ,
30 ,
50 ,
20 20 0
0 10 50
0 30 10
20 0 40
1
X
20 20 0 40 ,
0 10 50 60 ,
20 10 30,
7.2. Проверить, что
являются решением задачи, рассматриваемой в примере 7.1. Составить для этих решений соответствующие распределительные таблицы
11 12 13 21 22 23
x x x
+ + =
11 12 13
x x
11 21
X
1). В примере 7.1 построена математическая модель этой
x x
12 22
0 , 1, 2 , 1,3.
x i j
≥ = =
ij
=
1
x x x
+ + =
21 22 23
+ =
+ =
x x
13 23
и
X
=
2
+ =
(7.11)
задачи (см формулы (7.10) - (7.11)). Подставим решение
(7.11):
+ + =
+ + =
+ =
20 0 20 ,
+ =
0 50 50 ,
+ =
т.е. после подстановки система обратилась в тождество. Следовательно, указанное распределение поставок является решением транспорт-
170
в систему
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]