Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
F(y) = -3 y
n
ABC
(
)
2, 2
(
)
4, 4
(
)
0, 4
ABCDE
1 10
3 3
(
)
1, 6
(
)
6,1
(
)
6/ 0
(
)
3,0
ABCD
6 24
23 23
, 6
(
)
3,4
3
3,
2
ABCDEO
(
)
0, 5
(
)
3,10
(
)
7,10
(
)
11, 6
(
)
11, 0
(
)
0, 0
ABCD
(
)
6, 7
(
)
6, 7
(
)
4,2
(
)
8,4
2
- y
+ 5y
2
3
2
1
;
2
+ 3y
2
+ 6y
2
2
; 3) Q=
3
−−
−−
3/16/12/1
; F(y) = - y
3/16/12/1
3/16/20
2
1
4) Q=
4. Некоторые объекты в
4.1. Треугольник
4.2. Пятиугольник
D ,
4.3. Четырёхугольник
E .
C ,
4.4. Шестиугольник
D ,
E ,
−−
−
:
.
O .
14/335/310/1
; F(y) = -7 y
14/235/50
14/135/110/3
A ;
:
A
:
B ;
,
−
:
A
A ,
2
2
- 7y
1
2
C .
,
B ,
,
B ,
+ 7y
,
2
.
3
C ,
3
B
2
C ,
,
4.5. Четырёхугольник
D .
261
:
A ,
B − ,
C ,
4.6. Неограниченная область
ABCDE
8 5
,
3 3
(
)
2, 2
(
)
0,5
ABCDE
(
)
6,1
(
)
4, 2
(
)
2,5
max
L
min
L
max
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
min
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
max
L
(
)
max 3
=
1
3
=
2
6
=
(
)
max 148
1
4
=
2
20
=
(
)
= ∞
(
)
min 153
1
9
=
2
18
=
(
)
max 4
=
1 2
2
− =
D . 4.7. Система несовместна.
:
B
,
C ,
4.8. Неограниченная область
D .
5. Линейное программирование
5.17.
5.18.
5.19.
= (0, 0, 2, 2),
5.20.
= (5, 0, 0, 3),
5.21.
5.22.
5.23.
(х) = 24 при х = (3, 2, 0, 0).
(х) = 8 при х = (2, 3, 0, 0).
(х) = 8 при х =
t x tx t
= (0, 1, 0, 3).
(х) = - 8 при х =
= (4, 2, 0, 0).
(х) = 26 при х = (3, 4, 7, 0, 0).
L x
L x = при
при
x
;
x
:
B ,
1 2
t x tx t
1 2
x
.
;
x
.
C ,
где
где
5.24.
5.25.
5.26. Нет решений.
5.27.
maxL x
L x = − при
L x
.
x
;
x
на отрезке прямой
262
x x
.
.
5.28.
(
)
min 4
= −
1
1
=
2
5
=
(
)
max 12
=
3,0, 2, 0
(
)
max 11
=
(
)
5, 0,4
(
)
min 2
=
(
)
1 2
x t x tx
= − +
(
)
4, 5, 0
(
)
7, 5, 3
(
)
max 201
(
)
0, 7,10,0, 63
(
)
max 196
(
)
0, 0, 28
max
L
min
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
max
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
min
L
max
L
min
L
min
L
max
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
max
L
L x
при
x
;
x
.
5.29.
5.30.
5.31.
x = ;
1
5.32.
5.33.
.
5.36.
5.37.
= (0, 5, 2, 0),
5.38.
= (9, 0, 5, 0),
L x
L x
L x
x = .
2
в точках отрезка
L x = при
в точке
в точке
*
X = .
( )
.
1
x = .
L x = ден. ед. при оптимальном плане
(х) = 24 при х = (3, 3, 0, 0).
(х) = - 9 при х =
= (0, 0, 3, 1).
(х) = 10 при х =
= (0, 3, 2, 0).
t x tx t
1 2
t x tx t
1 2
где
где
, где
5.39.
5.40.
5.42.
5.43.
= (8, 3, 4, 0, 0),
5.44.
(х) = - 1 при х = (4, 0, 0, 3).
(х) = ∞. 5.41.
(х) = - 8 при х = (0, 5, 2, 0, 15).
(х) = 17 при х =
= (0, 5, 3, 0, 7).
(х) = 13 при х = (3, 2, 1).
263
(х) = - ∞.
t x tx t
1 2
где
5.45.
min
L
(1 ) ,0 1,
− + ≤ ≤
1
x
2
x
min
L
110
9
10 8
0, ,
3 9
(
)
= ∞
(
)
min 146
(
)
0;0,16;0,62
(
)
min 17
=
(
)
3,5;1,5;3,5
(
)
max 14
=
(
)
0, 0,8,1, 4
(
)
min 18
=
(
)
0, 2,1, 0, 0
(
)
max 9
=
(
)
0,1, 0,1
(
)
max 19075
(
)
86,25; 70;112,5
max
L
min
F
≤
2
3
min
L
30, 10, 10,
(х) = 2 при х =
t x tx t
1 2
где
= (1, 0, 2),
5.46. Система ограничений несовместна.
5.47.
6. Двойственные задачи
6.6.
6.7. Система ограничений двойственной задачи противоречи-
ва. Следовательно,
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
= (3, 1, 3).
min
L x =
L x = при
L x
L x
(х) = 4 при х = (0, 0, 11).
при
x
( )
maxL x
L x
L x
при
при
при
при
=
.
x = .
x = .
x = .
x = .
x = .
.
6.13.
6.14.
у = (4 + у3, 3 – 2у3, у3), 0≤у
7. Транспортные задачи
7.14.
L x = ден. ед. при
(х) =
(х) = 310 ден. ед. при
(у) при х = (0, 25, 10, 0, 0, 0, 0) и
.
3
x x x= = =
264
x = .
11 22 23
30.
x =
min
L
30, 10, 10,
= = =
20,
30.
min
L
20, 10, 15,
15.
min
L
200, 170, 25,
= = =
175, 30, 25, 125.
min
L
320
210
140
120
320
140
150
min
L
30, 30, 20,
20.
min
L
30, 20, 30,
20.
min
L
30
=
30
=
10
=
30
=
20
=
10
=
20
=
min
L
5, 10, 20,
= = =
20,
20, 5.
= =
(
)
min 5480
170
21
230
25
=
24
30
=
190
140
30
=
185
min
L
20, 30, 20,
= = =
33
7.15.
x =
24
x =
33
7.16.
x =
31
7.17.
x x x x= = = =
33 34 41 42
7.18.
x = ,
31
x = ,
34
7.19.
x =
41
7.20.
x =
43
(х) = 170 ден.ед. при
(х) = 280 ден. ед. при
(х) = 2255 ден.ед. при
(х) = 7520 ден.ед. при
x = ,
41
(х) = 280 ден. ед. при
(х) = 280 ден. ед. при
x = ,
42
x x x
11 13 22
x x x= = =
11 13 22
x x x
11 24 32
,
x =
14
x = .
43
x x x= = =
14 22 33
x x x= = =
14 22 31
x = ,
22
7.21.
x
22
,
x
7.22.
x =
33
7.23.
x
23
x x
41 42
,
x
7.24.
32
(х) = 680 ден.ед. при
,
x
32
(х) = 165 ден.ед. при
L x = при
,
x = ,
32
(х) = 2255 ден.ед. при
,
x
,
x =
13
x
4
x = ,
34
265
,
x
12
43
x x x
12 13 25
,
x
43
x x x
11 13 22
x
21
.
x = ,
,
x = .
45
,
40, 40, 10, 40.
x x x x= = = =
min
L
60, 30, 20,
= = =
40, 10, 70, 10, 50, 10.
min
L
20, 40, 10,
= = =
70, 20, 70, 70.
min
L
20, 30, 30,
= = =
30, 10.
min
T
=
50, 20, 20, 30.
20, 60.
min
T
=
40, 30, 20, 50,
40.
min
T
=
30, 25, 10, 5,
= = = =
20, 10.
min
T
=
90, 10, 30, 50,
50, 30, 40.
(
)
max 18
=
4, 3
(
)
max 25
= −
2, 2,13, 0
23 32 41 44
7.25.
x x x x x x= = = = = =
23 31 34 41 42 43
7.26.
x x x x= = = =
23 31 34 42
7.27.
x x= =
33 34
7.28.
x x= =
33 44
7.29.
x =
44
7.30
x x= =
41 44
(х) = 1690 ден.ед. при
(х) = 1110 ден.ед. при
(х) = 250 ден.ед. при
10 при
4 при
5 при
x x x x= = = =
11 21 23 32
x x x x= = = =
12 13 24 31
x x x x
12 23 32 33
x x x
11 12 22
x x x
13 14 21
x x x
11 14 22
7.31
x x x= = =
32 41 44
8. Целочисленное программирование
8.2.
8.3.
L x
L x
8 при
x x x x= = = =
11 12 21 23
при
при
*
X
= .
*
X
266
( )
= .
( )
8.34.
(
)
max 29
=
5, 2
(
)
max 50
=
5, 4
25, 0,20
5
α β ν
= = =
(
)
3 3
A B
0
α
=
3
β
=
(
)
2 2
A B
(
)
2 4
A B
5
α β ν
= = =
(
)
1 3
A B
5
α
=
7
β
=
(
)
1 4
A B
2,5
ν
=
(
)
0,75; 0,25
1
ν
=
(
)
0,5; 0,5
(
)
0,4; 0,6
2
ν
=
(
)
0,5; 0,5
(
)
0,4; 0,6
17
7
4 3
0, ,
7 7
, ,0,0
6
ν
=
(
)
0,5; 0; 0,5
1 2
, 0, 0,
3 3
L x
тыс. ед. при
*
X
= .
( )
8.5.
8.6.
9. Матричные игры
9.7.
9.8.
9.9.
9.11.
9.12.
9.13.
9.14. 1)
2)
;
L x
*
X
= .
( )
;
;
;
S = ;
;
S = ;
ν
= ;
S = ;
A
при
;
;
;
S = .
A
A
A
S
A
*
X
= .
( )
,
.
,
или
,
. 9.10.
S = .
B
S = .
=
S
=
B
,
.
;
B
;
S
1 6
=
B
7 7
.
;
,
.
;
267
Оглавление
________________________________________ 3
Предисловие
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ _______________________ 5
1.1. Матрицы. Действия над матрицами ______________________ 5
1.2. Транспонирование матриц ______________________________ 11
1.3. Определители. Теорема Лапласа. Основные свойства
определителей ___________________________________________ 13
1.4. Элементарные преобразования матриц.
Эквивалентные матрицы. Ранг матрицы _____________________ 18
1.5. Понятие обратной матрицы и ее вычисление _____________ 20
Задачи и упражнения _______________________________ 22
2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ____________________________________________ 29
2.1. Основные определения __________________________________29
2.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Крамера __________________________________________ 31
2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной
матрицы ________________________________________________ 32
2.4. Решение систем уравнений методом Гаусса _______________ 33
2.5. Разрешенные системы. Преобразование Жордана __________ 37
2.6. Приложение систем линейных уравнений к решению
экономических задач ______________________________________ 40
2.7.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики ____________ 43
268
2.8. Решение однородной системы линейных уравнений ________ 47
n
n
2.9. Экономико-математическая модель линейного обмена ______ 50
Задачи и упражнения _____________________________________ 51
Варианты контрольной работы по темам: «Матрицы
и определители. Система линейных алгебраических
уравнений» ______________________________________________ 55
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ____ 59
3.
3.1.Векторы в пространстве _________________________________ 59
10. Основные определения __________________________________ 59
0
. Координаты вектора. Длина вектора. Направляющие косинусы
2
вектора __________________________________________________ 60
3◦. Арифметические операции над векторами __________________ 62
4◦ Деление отрезка в данном отношении.______________________ 65
Задачи и упражнения _____________________________________ 68
5◦. Скалярное произведение двух векторов и его приложение в
геометрии и механике _____________________________________ 74
Задачи и упражнения ________________________________ 78
6◦. Векторное произведение двух векторов ___________________ 82
Задачи и упражнения _______________________________ 86
7◦. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов ____ 88
Задачи и упражнения _______________________________ 91
4. НЕКОТОРЫЕ ОБЪЕКТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
И ИХ СВОЙСТВА ______________________________________ 94
4.1. Прямая и плоскость в пространстве
_________________ 94
269
4.2. Выпуклые множества и многогранники
n
4.3. Линейные формы (функционалы) в n-мерных
пространствах __________________________________________ 100
4.4. Преобразование линейной формы при переходе к другому
опорному решению ______________________________________ 101
______________ 95
Задачи и упражнения _______________________________ 104
5. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ _________________ 105
5.1. Общая задача линейного программирования ______________ 105
5.2. Исследование системы ограничений ____________________ 106
.3. Упрощенная схема симплексного метода решения ЗЛП _____ 112
5
5.4. Симплексный метод решения ЗЛП ______________________ 120
5.5. Геометрические методы решения ЗЛП __________________ 128
Задачи и упражнения __________________________________ 133
5.6. Метод искусственного базиса __________________________ 137
5.7. Алгоритм метода искусственного базиса _________________ 139
Задачи и упражнения _______________________________ 145
6. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ______________________ 148
6.1. Двойственные задачи. Общие правила составления двойс-
твенной задачи __________________________________________ 148
6.2. Теоремы двойственности ______________________________ 153
Задачи и упражнения _______________________________ 161
7. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА _____________________ 164
7.1. Постановка задачи. Математическая модель
транспортной задачи. Основные теоремы ___________________ 164
270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]