Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
1.14. 1)
5
+−−
5
−
+
960168001250
19205601560
-матрица производительности
094015601250
по выпуску изделий; 2)
расхода сырья; 3) (91250,92508,113960,107520) – матрица-строка суммарной стоимости сырья для каждого предприятия.
Раздел 2. Система линейных алгебраических уравнений
2.1. x=2; y=1. 2.2. x1=2,05; x2=1,7; x3=3,15. 2.3. x1=-1; x2=2; x3=3. 2.4.
=2; x2=2; x3=1; x4=1. 2.5. x1=29/11; x2=-6/11; x3=1/11. 2.6. x1=9/5 +C;
x
1
x2=7/5+C;x3=C. 2.7. x1=15/8; x2=-17/8; x3=-7/8. 2.8. x1=
C3C516
x2=
ний. 2.11. Х1=(5,7,1) – фундаментальное решение; Х=СХ1=(5С,7С,С) –
общее решение. 2.12. Х1=(3,1,0) и Х2=(-2,0,7) – фундаментальные решения; Х=С1Х1+С2Х2=(3С1-2С2,С1,С2) – общее решение. 2.13. Система
имеет только нулевое решение: x1=x2=x3=0.2.14. Х1=(6,11,-1) – фунда-
21
; x3=C1; x4= C2. 2.9. Нет решений. 2.10. Нет реше-
105601232099848750
15300168001341615000
115201036085808750
- матрица
C6C52
21
;
ментальное решение; Х=СХ1=(6С,11С,-С) – общее решение. 2.15.
Х1=(-1,1,1,0) и Х2=(5,2,0,1) – фундаментальные решения;
Х=С1Х1+С2Х2=(-С1+5С2,С1+2С2,С1,С2) – общее решение. 2.16. Х1=(3,1,0), Х2=(4,0,1), Х3=(0,-3,-4) – базисные решения; Х2=(4,0,1) – опорное
решение. 2
Опорных решений нет. 2
.17. Х1=(-8,6,16,0) и Х2=(-8,0,16,6) – базисные решения.
.18. x11=0; x12=400; x21=350; x22=150.
251
2.19. (1000,1200,747). 2.20. Х=(С,3С,3С), где С – национальный доход
2
2
2
2
AC
BD
AC
BD
2
2
2
AB
3
BC
3
CA
3
AE=8m+3n; EF
FA
AC
BD=4n-8m
BC
AE=2n+6m; BF=2n
FA
C
A
D
B
′
A
C
B
D
′
1
7
m
10
7
n
7
m
7
n
2
2
2
одной из стран.
Раздел 3. Элементы векторной алгебры
ba
3.1. ;
OA
+
=2b;
+
OC ;
−=
-
=
=2a. 3.3.
2
3.4.
=4n+4m;
4m;
│R│=15. 3.10. {0,1,13}; {-7,11,-11}; {10,-16,12}. 3.11. a)p= -
=
(m-n);
=-4n- 2m. 3.7.
′
=-n-m+p;
=-4m+3n;
=-n+m+p. 3.8.│a+b│= │a+b│=13. 3.9.
2
+
; б) p=-
ba
+
AD
2
=
(2n+m);
;
=4n-4m;
′
=n+m+p;
15
-
. 3.12. a) a= p+2q+3r;
OB ;
=
=
ba
−
OD ;
=
ba
+
BE ;
−
=
2
=-
(n+2m). 3.5.
=-4m-6n. 3.6.
=n-m+p;
ab
−
a2b
CF ;
=
b2a
−
.
=
-
б) a= p+2q-r. 3.13. 3a- 4b+11c=0. 3.14. 12p-27q+49r-25s=0.
3.15. │a│= =14
cos
α = 6/7; cosβ =-3/7; cosγ = 2/7. 3.17. 1) A(8,4,-5); 2) D(-3,-5,7).
; cosα = -1/
; cosβ = 1/
252
. 3.16. │d│= 7;
3.18. B(7,-3,-1); C(3,-7,4); BC =
2,32
CB
BA
2
14
57
. 3.19. M(3
),
если M∈R2; M(2
(aˆl) = arcos(-1/3). 3.22. Нельзя. В частности, это условие не выполня-
ется, если a+ b+c≠0 и (a+ b+c)⊥Ol. 3.23. λ=-1; µ=8. 3.24. Каждый вектор можно выразить через остальные векторы из соотноше-
ния: -9a+17b+29c- 4d = 0. 3.25.
S
- натяжения вдоль направлений
2
S
=200 кг. 3.27. 1) M(1,0,5); 2) M1(1/3,2/3,10/3); M2(5/3,-2/3,16/3); 3)
2
M1(0,1,15/4); M2(2,-1,21/4). 3.28. M1(4/3,-4/3) и M2(-4/3,-2/3)- точки де-
ления стороны АС; N1(8/3,-1/3) и N2(4/3,4/3) – точки деления стороны
АВ; M1N1 = 5/3 и M2N2 = 10/3. 3.29. AD =
=
. 3.30. 1) -3; 2) 13; 3) -181; 4)
cos(2/
7
). 3.31. 1) 33; 1; 2) φ = 0. 3.32. 1) λ1=-2/3 и λ2=
3
,2
3
,23), если M∈R3. 3.20. a{3,-3}. 3.21.
S
=25 кг;
1
и
S
=253кг, где
2
. 3.26.
17
; BE =
7
; 5) -1; 6) -5/
S
= 1003кг,
1
29
7
; 7) ar-
S
и
1
и CF
2/3; 2) λ = 3,2. 3.33. (
3.35. 1)∠A=arcos(2/5);∠B=arcos(1/
3.36. (
e
ˆ
e
) = = 120°. 3.37. (-7). Указание: возвести в квадрат обе
1
2
части равенства a+ b+c=0. 3.38. R = F
3.40. 1) -10; -16; 19; 2) -10/3; 11;arcos(-2/3); arcos(3/
e
ˆ
e
) = 60°. 3.34. 1/
1
2
6
5
);∠C=arcos(2/5); 2) h=2.
6
. 3.39. φ = arcos(0,2).
253
.
). 3.41. 1) 8; 2)
10/3; 3) arcos(-2/3). 3.42. 1) -292; 2) -1. 3.43. AH=5/
2
∠B=∠
AB
BC
CD
DA
a×b
a×b=b×c=c×a
2
abc
; ∠A=90°;
C=45°.3.44.Поскольку
117
и ∠A=90°, то четырехугольник есть квадрат. 3.45. λ1=-2; λ2=3.
3.46. 1) x=(2,-2,6); 2) x=(-8,-4,-2). 3.47. a) 13; б) 30. 3.48. 1) 6; 2) 12; 3)
78; 4) -72. 3.49. 100. 3.50. 60. 3.51. 1) j; 2) 4; 3) 0; 4) 2
Указание: для доказательства равенства векторных произведений
нужно обе части равенства a+ b+c=0 умно-
жить векторно на векторы a, b,c. Геометрически модули этих произведений выражают удвоенную площадь треугольника, построенного
на векторах a, b,c. 3.52. Указание: раскрыть скобки в выражении
│=│
│=│
│=│
│=
. 3.52.
1
(a+b)×(a-b). S
{25,-35,-5}. 3.55. 1) 14(кв.ед.); 2) 28/
(кв.ед.); 3) DE=5(ед.дл.). 3.57. BH=5(ед.дл.). 3.58. {1,13,5}. 3.59. 1) 60;
= 12,5 (кв.ед.). 3.54. 1) {5,-7,-1}; 2) {-15,21,3}; 3)
пар
17
(кв.ед.). 3.56. 1) (-2,9,0); 2) 25
2) -12; 3) 4. Правая. 3.60. 1) 7/2(кв.ед.); 2) 17/6(куб.ед.); 3) 17/7(ед.дл.).
3.61. 1) компланарны; 2) не компланарны. 3.62. 1) λ= -3; 2) λ1= -1; λ2=0;
λ3=1. 3.62. 1) да; 2) нет. 3.64. 1) Указание: доказательство следует из
следующих соотношений: │
│a│·│b│·│c│, где φ = =
│=│a│·│b│·│c│· │sinφ·cosψ│≤
∧
)b,a(
и ψ =
∧
×
)c,ba(
. Равенство возмож-
254
но, если только тройка a,b,c взаимно ортогональна. 2) Указание: по-
2
строить параллелепипед на векторах a,b,c. Перемножаемые в тексте
задачи векторы являются диагоналями смежных граней этого параллелепипеда и поэтому лежат на одной плоскости, т.е. компланарны. 3.69. 1)
(6,0,18,11); (-1,6,15,-8); 2) a) x =
3) b=3a1+2a2+a3; 4) рассматриваемые векторы образуют базис в L4, потому
что ранг матрицы, составленной из координат этих векторов равен 4; 5) x
= a1+2a2+3a3+4a4. 3.70. x=(2,-1,3,-4). 3.71. 1) a) -6; б) 184; в) (-63,108,67,35);
3) x=a1+2a2+a3+2a4. 3.72. 1) Ортогонализация данной системы векторов
приводит к каноническому базису: e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0),
−
e4=(0,0,0,1); 2) S=
1) А – линейный оператор с матрицей
ся линейной матрицей; 3) А – линейный проекционный оператор на
направление вектора e =(ex,ey,ez) с матрицей
2
x
=
A
eeeee
2
yyx
xzxe
eeeee
yz
2
eeeee
zzyzx
(2a1+a3+3a4); б) x =-3a2+a4= (-4,-4,14,3);
0011
; 3) x1=(-1,-2,-4,0); x2=(6,3,3,4). 3.76.
−
0110
−
1100
1000
A
λ
=
00
λ
00
; 2) A не являет-
00
λ
; 4) A – линейный проекционный оператор
1
255
000
2
на координатную плоскость Oyz с матрицей
=
A
; 5) A не
010
100
является линейным оператором; 6) A – линейный оператор с матри-
110
цей
A
A
=
=
A
1
9
−−
101
−=
110
111
нейный оператор с матрицей
; 7) A – линейный оператор с матрицей
101
011
−−
228
. 3.77. 1) A – линейный оператор с матрицей
−−
452
542
; 2) А не является линейным оператором; 3) A – ли-
101
=
A
; 4) А не является ли-
000
000
нейным оператором; 5) A – линейный оператор с матрицей
001
=
A
; 6) A – линейный оператор с матрицей
110
111
−
312
=
A
А-1 =
-1
А
x =
−
−
−
−
1
(-x1+x2+x3,x1-x1+x3,x1+x2-x3); А-1 =
. 3.80. 1) А-1x = (x1,-x1+x2,-2x1+x2+x3);
043
425
001
; 2) А – вырожденный оператор;
011
112
−
1
2
256
111
.
−
111
−
111
3.81. 1) r(A) = 2; TA =L{(1,0,1),(1,-1,-1)}; n(A) = 1; N(A)=L{(-1,4,2)}; 2)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
r(A) = 1; TA =L{(1,2,-1)}; n(A) = 2; N(A)=L{(1,1,0),(1,0,1)}; 3) r(A) = 3;
TA =R3 ; n(A) = 0; N(A)={0}. 3.82. 1) Аx΄ = (x2΄-x3΄,-x1΄+x3΄, x1΄-x2΄); 2)
Аx΄ =
=
как │А│= -4 ≠ 0; б) λ1=-1; λ2=4 – собственные значения и (1,-1) , (2,3)
– соответствующие собственные векторы; в) A΄ =
=
система собственных векторов. 2) a). Невырожденный, так как │А│= 5 ≠ 0; б) λ1=-1; λ2=5; (1,-1) и (1,2); в) A΄ =
д) (1/
│А│= -4 ≠ 0; б) λ1=-2; λ2=1 и λ3=2 ; (3,-8,-9), (0,1,0) и (1,0,1); в)
A΄=
1
(x1΄-x2΄+2x3΄, 5x1΄+3x2΄+2x3΄,-3x1΄-x2΄+2x3΄); 3) Аx΄ =
1
(2x1΄+x2΄+x3΄, x2΄- x3΄,-x2΄+x3΄). 3.83. 1) a). Невырожденный, так
−4001
21
− 31
; д) (1/
, -1/
−
002
010
200
) и (1/
; г) S =
, -1/
) и (1/
, 1/
−
−
, 1/
). 3) a) Невырожденный, так как
103
; д) (1/
018
109
) – ортонормированная
−5001
; г) S =
,0, -1/
; г) S =
− 21
), (0,1,0) и
11
;
(1/
λ2=2 и λ3=2 ; (1,-3,2), (0,1,0) и (0,1,1); в) A΄ =
,0, 1/
). 4) а) Невырожденный, так как│А│= 6 ≠ 0; б) λ1=1;
001
;
020
300
257
001
2
2
−
−
2
2
2
2
2
2
г) S =
ный, так как│А│= 4 ≠ 0; б) λ1=-2; λ2=-1 и λ3=2 ; (2,3,3), (1,1,1) и
−
; д) (1,0,0), (0,1,0) и (0,0, 1). 5) a) Невырожден-
113
102
−
,-1/
000
000
300
6
,2/
(4,1,7); в) A΄=
1/
6
), (1/3,1/
так как│А│= = 0; б) λ1=0; λ2=0 и λ3=3; (-1,1,0), (-1,0,1) и (1,1,1);
в) A΄=
(-1/
так как│А│= -1 ≠ 0; б) λ1= -1; λ2 = 1 и λ3 = 1 ; (1,-1,-1,1), (0,-1,1,0) и (-
1,0,0,1); в) A΄=
д) (1/2,-1/2,-1/2,1), (0,-1/
(1/2,1/2,1/2,1/2). 8) a) Невырожденный, так как│А│= 24 ≠ 0; б) λ1= 1;
6
002
; г) S =
−
010
200
3
,1/3) и (0,-1/
; г) S=
6
) и (1/
−
,1/
412
113
713
,1/
111
; д) (-1/
101
110
; д) (-2/
). 6) a) Вырожденный,
−
,0,0,1/
,1/
6
,1/
−
−−
) и
6
,
, 0),
1101
1011
1011
1101
3
,1/3,1/3). 7) a) Невырожденный,
0001
0010
; г) S =
0100
3000
,0), (-1/
;
λ2 = 2; λ3 = 3 и λ4= 4; (1,0,0,0), (2,1,0,0), (-9,6,2,0) и (32,24,12,3);
0001
; г) S =
0020
0300
4000
в) A΄=
(0,0,1,0)
и (0,0,0,1). 3.84. λ1= λ2 = 1 и λ3 = 0 – собственные значения и i,
258
−
32921
; д) (1,0,0,0), (0,1,0,1),
24610
12200
3000
j
, k - соответствующие собственные векторы; 2) λ1=1 λ2 = λ3 = 0 –
собственные значения и i, j, k - соответствующие собственные век-
торы; 3) λ=1 – собственное значение, e - собственный вектор; 4) λ1=0
λ2 = λ3 = 1 – собственные значения и {1,2,2}, {-2,1,0}, {-2,0,1} - соответствующие собственные векторы. 3.85. Указание: для самосопря-
женного оператора А скалярные произведения (Ах,х) = (х,Ах) ≥ 0. Для
доказательства утверждения в первом пункте обе части равенства Ах =
λх нужно скалярно умножить на вектор х ; для доказательства второго утверждения обе части равенств Ах1 = λ1х1 и Ах2 = λ2х2 нужно умножить скалярно на собственные векторы х1 и х2, соответственно.
3.86. Если λ – собственное значение оператора А, то λn , 1/λ (λ≠0),
Pn(λ) – собственные значения операторов Аn, А
вующие собственному вектору х.
-1
и Pn(А), соответст-
−3003
3.87. 1). (1,-1) и (2,1); A΄=
ному виду, так как собственному значению λ = 2 соответствует только один собственный вектор (1,1); 3) нельзя привести к диагональному виду, так как собственным значениям λ1 = λ2 = 1 и λ3 = 2 соответствуют два собственных вектора: (1,0,0) и (1,2,7); 4) (1,0,-3), (0,1,3) и
(1,1,1); A΄=
002
020
100
; 5) (-1,1,0,0), (-1,0,1,0), (-1,0,0,1) и (1,1,1,1);
; 2) нельзя привести к диагональ-
259
0000
−
−
0000
; 6) нельзя привести к диагональному виду, так
0000
4000
A΄=
как собственным значениям λ1 = λ2 = 1 и λ3 = λ4 = 2 соответствуют
только два собственных вектора: (1,-1,0,) и (1,0,0,0). 3.89. 1) A=
2
1
2
- y
1
- 4y
201
110
212
2
;
2
– y
2
2
+ 22y
2
.
3
2
3
−−21
3) A =
4) A=
2
11
;
−=
−=
=
yx
33
=
yx
,y2yx
311
,yyx
322
312
−−
132
+=
yyx
; F(y) = y
211
22
; F(y) = y
2/12/10
;
2/102/1
02/12/1
222
;
1
=
2
+ y
2
2
=
+=
yx
33
+ y
1
– 3y
yx
33
2
. 2) A=
2
2
.
3
−−=
,y5yx
322
+−=
,yyyx
3211
−−=
,yyyx
3212
,y4yyx
3211
; F(y) =2 y
−
; F(y) = y
.
6/13/12/1
- матрица ортогонального
6/13/12/1
6/23/10
3.90. 1) Q=
−
−
преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому
виду: F(y) = 2 y
2
+ 3y
1
2
+ 6y
2
2
; 2) Q=
3
−
−
3/16/12/1
;
3/16/20
3/16/12/1
260
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]