Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
ибо включение их в дальнейшем в другие опорные решения не умень-
(
)
X
(
)
1 1
,
l k
(
)
1 1
,
l k
{
}
" "
ij
x
(
)
1 1
,
l k
2
X
1
X
(){
}
1 22
T t
= = =
(
)
1, 4
(
)
4,1
(
)
4, 3
10
≥
(
)
2, 2
22
10
=
шит значение целевой функции
30. Для занятой клетки
грузочный цикл (он может содержать несколько свободных клеток) и
его вершины, начиная с разгрузочной клетки
мечаются знаками « - » и « + » и затем осуществляется сдвиг по цик-
лу на величину
вычёркивается. Мы получаем новое опорное решение
реходим к пункту 20. Этот процесс улучшения плана повторяется до
тех пор, пока не удастся разгрузить очередную клетку, в которой
целевая функция имела максимум, равный минимуму исходной задачи.
7.7. Найти минимальное время, необходимое для перевозок
всех грузов, если условия перевозок приведены в таблице 7.16.
В таблице 7.16 содержится опорное решение
min
θ
= . Клетка
−
T .
строят так называемый раз-
, поочерёдно от-
становится свободной и
и затем пе-
задачи,
найденное методом северо-западного угла. Найдём значение целевой
функции на этом решении. Имеем:
max 8,5,10,5,9,4,6 10X
Свободные клетки таблицы 30.16
торых выполняется условие
, имеющей
t
, строим разгрузочный цикл (см. таблицу
t
ij
201
.
,
, вычёркиваются. А для клетки
и
, в ко-
⊕ ⊕
7.16) и осуществляем сдвиг по этому циклу на величину
j
b
i
a
{
}
min 60,80 60
= =
(
)
2, 2
2
X
(){
}
2 33
T t
= = =
(
)
3,3
{
}
min 40,60 40
= =
3
X
(){
}
max 8,5,7,5,2,4,6 8
= =
Таблица 7 .16.
80 100 120 150
8 5 6 11
120
80 40
7 10 5 3
140
60 80
90
100
θ
1
киваем. В результате совершённого сдвига по циклу получили новое
опорное решение
Поскольку
достигается в клетке
лицу 7.17) и совершаем сдвиг по этому циклу на величину
θ
2
шение
содержится в таблице 7.18, причём
2 4 9 4
40 50
14 6 10 6
. Освобождённую клетку
(оно записано в таблице 7.17).
max 8,5,7,5,9,4,6 9X
, то для этой клетки строим цикл (см. таб-
. Полученное в результате сдвига опорное ре-
XT
3
также вычёр-
и этот максимум
100
202
⊕
⊕
⊕
⊕
Таблица 7.17.
j
b
i
a
(
)
1, 1
j
b
i
a
80 100 120 150
120
140
90
100
и максимум достигается в клетке
120
140
90
100
8 5 6 11
20 100
7 10 5 3
60 80
2 4 9 4
14 6 10 6
80 100 120 150
8 5 6 11
20 100
7 10 5 3
20 120
2 4 9 4
40 50
14 6 10 6
40 50
100
.
Таблица 7.18
100
203
⊕
⊕
В результате разгрузки клетки
(
)
1,1
4
X
j
b
i
a
(){
}
4 21
T t
= = =
(
)
2,1
5
X
j
b
i
a
содержащееся в таблице 7.19.
80 100 120 150
получим опорное решение
Таблица 7.19
,
120
140
90
100
Так как
, получим опорное решение
120
8 5 6 11
7 10 5 3
2 4 9 4
14 6 10 6
max 5,6,7,5,2,4,6 7X
8 5 6 11
100 20
40 100
40 50
, то разгружая клетку
. Оно записано в таблице 7.20.
Таблица 7.20
80 100 120 150
100 20
100
140
90
7 10 5 3
2 4 9 4
80 10
100 40
204
100
(){
}
max 5,6,5,3,2,4,6 6
= =
(
)
1, 3
(
)
4, 4
X
∗
0 100 20 0
0 0 100 40
80 0 0 10
0 0 0 100
(
)
min 6
=
Значение целевой функции на этом решении
14 6 10 6
T
X
5
100
и максимум достигается в клетках
ся, что дальнейшая разгрузка этих клеток невозможна. Следовательно,
оптимальным решением задачи является план перевозок
∗
X
=
при котором целевая функция достигает своего минимального значения, равного 6 ед. врем., т.е.
7.8 Алго ритм решени я транспортных задач
методом потенциалов
!0. Определяют характер задачи. Если исследуемая задача
имеет неправильный баланс, то согласно результатам п.7.5, вводят
либо фиктивного поставщика, либо фиктивного покупателя с нулевыми стоимостями перевозок.
0
.Строят начальное опорное решение (методом наименьшей
2
X
и
XT
ед. врем.
. Нетрудно убедить-
:
, (7.12)
стоимости или другим методом).
0
3
. Решают вопрос об оптимальности опорного решения. С
205
этой целью находят соответствующие потенциалы
,
i j
u v
max
lk ij
α α
( , ).
l k
A
2 1
4 5
7 3
30
50
20
10 6 2
3 9 5
7 4 8
180
200
370
(
)
60, 40
(
)
150, 225, 100
ние системы (7.8) и одновременно, пользуясь формулами (7.7), производят оценки свободных клеток транспортной таблицы, содержащей начальное опорное решение. Если все оценки свободных клеток не
положительны, то начальное опорное решение оптимально, и оно
доставляет целевой функции минимальное значение. На этом решение задачи завершается.
40. Если же некоторые из свободных клеток имеют положи-
как реше-
тельные оценки, то находят их максимальное значение
и затем строят цикл для свободной клетки
пределение поставок по этому циклу (см. п.7.4), находят новое улучшенное опорное решение. Далее решение задачи циклически повторяется до ее завершения.
Совершив перерас-
=
0
α
>
ij
Задачи и упражнения
Для следующих транспортных задач составить их мате-
матические модели (здесь
вектор мощностей потребителей, C - матрица транспортных затрат на
единицу груза).
7.8. 7.9.
=
C ;
=
A ;
=B .
- вектор мощностей поставщиков, B -
C
=
;
A
=
;
B = .
206
Для следующих транспортных задач составить начальные
5 10 7 6
6 7 6 2
8 5 4 3
200
170
230
4 2 5 8
2 3 7 4
3 6 9 3
50
60
30
(
)
225, 150, 175, 200
(
)
40, 30, 20, 50
1 7 6 3
9 2 1 4
4 10 2 8
503040
3 5 3 8
5 4 7 4
4 6 9 8
508070
(
)
20, 30, 45, 25
(
)
40, 60, 70, 30
2 4 3
5 2 7
3 6 5
30
20
30
1 4 3 2
5 4 6 2
7 3 1 8
40
30
30
(
)
30, 10, 40
(
)
30, 10, 40, 20
опорные решения, используя методы: а) северо-западного угла;
б) минимальной стоимости (параметры А, В, С имеют тот же
экономический смысл, что и в предыдущей задаче).
7.10. 7.11.
C
=
;
A
=
;
=
C ;
=
A ;
B = .
7.12. 7.13.
=
C ;
=B .
Решить следующие транспортные задачи, где параметры
А, В, С, имеют тот же смысл, что и в предыдущих задачах
7.14. 7.15.
С=
В=
; А=
=
A ;
;
. В=
=B .
=
C ;
=B .
=
C ;
=
A ;.
=
A ;
.
207
7.16. 7.17.
5 6 3
3 4 8
5 6 7
301525
5 10 7 6
6 7 6 2
8 5 3 4
200
170
230
(
)
20, 30, 10
(
)
225, 150, 175, 200
7 6 7 6
5 6 8 9
6 10 7 10
6 7 4 10
320
210
260
410
6 7 6 3
3 5 9 4
1 4 1 2
1 4 2 3
30
30
20
20
(
)
260, 350, 150, 440
(
)
20, 40, 20, 30
4 3 9 5
3 1 2 4
3 6 6 7
2 1 1 4
302030
20
8 2 4 5
5 4 2 6
9 5 7 8
9 8 3 11
307020
30
(
)
30, 20, 20, 40
(
)
40, 60, 20, 30
4 3 3 4 7
3 1 4 3 1
6 7 2 6 5
2 4 5 8 7
15
20
20
25
5 3 4 6 4
7 6 8 5 7
8 4 9 5 9
9 7 9 6 6
170
285
330
215
С=
В=
7.18. 7.19.
C
=
B = .
7.20. 7.21.
=
C ,
; А=
. В=
;
;
A
=
=
A ,
=
C ;
;
=
C ;
=
C ,
=
A ;
=
A ;
=B .
=
A ,
.
=B
7.22. 7.23.
=
C ;
=
A ;
208
=B
=
C ;
=
A ;
(
)
20, 10, 30, 15, 25
=B .
(
)
230, 190, 225, 170 185
30
≤
40
≥
30
≤
40
≥
А
50
≤
40
≥
20
≤
20
≥
А
=B .
Решить следующие транспортные задачи с ограничения-
ми по критерию минимума стоимостей перевозок.
7.24. 7.25
x
12
В
30 60 70 40
50 4 7 3 2 90 5 6 8 10
60 6 3 5 7 60 4 3 7 9
40 5 4 8 3 80 6 8 11 3
50 8 7 9 4 70 7 9 8 4
,
x
23
А
x
12
В
80 100 50 70
,
x
23
7.26. 7.27.
x
32
В
80 120 90 110
60 4 7 2 5 50 1 5 4 3
80 5 6 3 9 30 2 1 6 4
90 6 8 4 3 40 3 4 2 5
,
x
14
А
x
23
В
20 30 30 40
,
x
14
70 5 4 8 6 30 8 6 4 7
Решить следующие транспортные задачи по критерию миниму-
ма времени перевозок.
209
7.28. 7.29.
А
А
В
70 30 40 60
А
В
50 40 30 60
50 4 6 8 11 70 8 4 2 5
40 7 12 5 9 20 3 9 6 1
50 15 10 6 12 50 4 1 3 7
60 13 7 14 8 40 6 5 8 2
7
. 7
.30
В
20 40 30 10
.31.
А
В
150 60 50 40
30 10 2 4 8 100 5 8 7 12
25 3 9 5 6 80 7 9 6 13
15 7 3 4 11 50 14 8 11 9
30 2 4 6 5 70 6 15 9 8
8. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
8.1. Метод отсечения (метод Гомори)
При решении многих экономических задач симплексным методом приходится отыскивать целочисленные решения. Одним из
наиболее широко применяемых методов нахождения таких решенийявляется метод отсечения (метод Гомори).
Сущность этого метода заключается в том, что вначале
210
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]