Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
направляющие косинусы вектора
BC2AB3a+=
cb3a2
d
+−=
}
3.16. Даны векторы a{-1,0,2}, b{0,2,-4} и c{8,3,-14}.
Найти длину и направляющие косинусы вектора
.
.
3.17. Даны векторы
1). Найти координаты точки В, если начало вектора a находится в точке А(5,0,-3).
2). Найти координаты точки С, если конец вектора b находится в точке D(2,-5,4).
3.18. Зная вершину А(2,-3,1) треугольника АВС и векторы
треугольника и длину стороны ВС.
3.19. Определить координаты точки М, если ее радиусвектор составляет с координатными осями равные углы и его
модуль равен 6.
3.20. Векторa составляет с координатными осями Ox и
Oy углы α=60◦ и β=120◦. Определить его координаты, если |a| =
, найти остальные вершины
}3,4,1{AC },2,0,5{AB −−
и
2,4,3{ABa −=
.
}3,0,5{CDb −=
6.
71
3.21. Известно, что |a| = 6 и Пр
a
a
b
c
a
b
вектором a и осью l.
= -2. Найти угол между
l
3.22. Зная, что Пр
верждать, чтоa+b+c=0 ?
3.23. Даны векторы a{2,λ,4} и b{4,-2,µ}. Выяснить при
каких значениях параметров λ и µ векторы a и b коллинеарны.
3.24. Проверить, что среди четырех векторов
{0,-2,5},c{1,0,4} и d{5,4,1} любые три не компланарны и
выразить каждый из них через остальные три.
3.25. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вер-
тикальной стеной шарнирно (рис. 3.17). На шарнирный болт С
действует сила F = 50кг. Найти силы реакции этих стрежней на
шарнирный болт С, если α = 30◦ и β = 60◦.
3.26. Груз весом 100 кг подвешен на двух гибких нитях АВ и
l
=3, Пр
l
=5, Пр
=-8, можно ли ут-
l
{1,2,3},
АС, причем нить АС горизонтальна, а АВ составляет с вертикалью угол α = 60◦ (рис.3.18). Определить силы натяжения нитей
АВ и АС.
72
А ВС
αααα
А ВС
αααα
ββββ
F
Рис. 3.17 Рис. 3.18
3.27. Отрезок АВ с концевыми точками А(-1,2,4) и В(3,-2,6)
разбит на n равных частей. Найти точки, осуществляющие это разбиение, если 1) n =2; 2) n=3; 3) n=4.
3.28. Сторона АС треугольника с вершинами А(4.-2), В(0,3)
и С(-4,0) разбита на 3 равных части прямыми, параллельными
стороне ВС.
Найти точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника и длины отрезков прямых, содержащихся внутри
этого треугольника.
3.29. В треугольнике с вершинами А(2,1), В(-4,3) и С(0,1)
вычислить длины его медиан.
73
5◦. Скалярное произведение двух векторов и его приложе-
ba⋅
( , )
a b
urr
ba⋅=ab⋅
ϕ
ние в геометрии и механике
За угол между двумя векторами aи b принимают угол ме-
жду теми же векторами, но исходящими из одной точки (рис. 3.19).
∧
Этот угол обозначается как φ =
Скалярным произведением двух векторов aи b (обозначе-
)b,a( , 0≤ φ ≤ 2π.
ние
модулей на косинус угла между ними, т.е.
или
) называется величина, равная произведению их
ϕ⋅⋅=⋅ cos|b||a|ba , (3.9)
∧
где φ =
ния.
)b,a( - угол между этими векторами.
b
a
Рис. 3.19
Основные свойства скалярного произведения и его приложе-
а). Скалярное произведение коммутативно, т.е.
б). Скалярное произведение дистрибутивно, т.е.
b
a
.
cbcac)ba( ⋅+⋅=⋅+ и caba)cb(a ⋅+⋅=+⋅
74
в). Если векторы aи bколлинеарны, то
aa⋅= a
ba⊥
ba⋅
=⋅
ba .
В частности, если a= b, то
что
2
∧
=⋅
,0)b,a( |,b||a|
∧
π=⋅−
.)b,a( |,b||a|
2
= |a|2. Отсюда следует,
a |a| = . (3.10)
г). Если
Это соотношение является необходимым и достаточным условием
ортогональности двух векторов.
д). Величина проекции одного вектора на другой определяется
по формуле
, то
= 0 (3.11)
ba
aПр
⋅
=
b
|b|
(3.12)
е). Угол между двумя векторами определяется по формуле:
ba
cos
ж). Выражение скалярного произведения через координаты
перемножаемых векторов имеет вид:
=ϕ
⋅
. (3.13)
|b||a|
⋅
75
babababa ++=⋅ . (3.14)
zzyyxx
з). Величина работы А, совершаемой постоянной силой F на
ABF⋅
ba⋅; a
ba⋅+b
ba⋅
a
ba⋅+b
a
ba⋅
b
−
прямолинейном участке АВ, выражается скалярным произведением
А =
3.5. Известно, что |a| = 2, |b| = 5 и
1)
2) aПрb; )ba(Пр
3)
= 5. Используя формулу (3.10), получим
Скалярное произведение дистрибутивно и коммутативно, поэтому
(3a-2b)·(a+4b) = 3
формуле (3.10) имеем |a+b| =
2
+
ba−+
∧
+ )ba,a( .
1). По определению
2
- 2b·a +12
22
=+⋅+
bba2a 39 .
. (3.15)
∧
)b,a( =π/6. Найти:
2
; (3a-2b)·(a+4b) ; |a+b| ;
;
∧
= |a|· |b| · cos
2
- 4
2
)ba( + =
+
2
=12+50–100= =38. По
2
= 4+5+25 = 34.
)b,a( = =2·5·(1/2)
5
ba==⋅
= 1
5
|b|
22
ba
−
|ba|
+
254
=
39
;
7
−=
39
.
13
=
76
aПр
b
2). Согласно формуле (3.12)
)ba)(ba(
)ba(Пр
ba−+
=
+−
|ba|
+
3). По формуле (3.9) имеем:
26
a
ba⋅+b
ba2
414
b
ba⋅
a
ba⋅+b
b
a
ba⋅-3b
=
∧
)ba,acos( =
∧
arccos()ba,a( =+
3.6. Даны векторы a{2,-1,2} и b{3,6,-2}. Вычислить:
2
1)
-
тора на другой,
1). Так как |a| =
=6-6-4=-4, то:
)·(a+3b)=5
=
2
3
)ba(a
=+
+⋅
=
|ba||a|
+⋅
3
2
; (5a-b)·(a+3b); |2a-b|. 2) проекцию одного век-
+
−
2
-
2
+14
2
54
+
26
∧
)39
)ba(Пр
392
.
, 3)
++ =3, |
2
=9+4+49=62; (5a-
=45–56–147= -158 и |2a-b|
22
++ )ba,ba(
|=
. Откуда
39
.
74369 =++
и
101491636bba4a4)ba2(
=++=+⋅−=−
.
⋅
4
2).
ba
=
aПр
7
|b|
27
=
− . 3). Поскольку ,
101
∧
⋅
4
ba
=−=
bПр ;
3
|a|
∧
−
ba2ab
)ba,bacos( −=
=−+
=+−=
)ba(Пр ;
)ba()ba(
+⋅−
+⋅−
+⋅−
−
|ba2|
|ba||ba|
23
то )
arccos()ba,ba( =−+
.
335
77
)ba()ba2(
23
335
3.7. Определить величину работы А, которую производит: а) сила
P
R
AB
ABF⋅
AB
ABF⋅
b
a
⋅
a
b
}1,3,2{F −= , когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, пере-
мещается из положения А(4,2,0) в положение В(-1,3,5); б) равнодейст-
вующая сил
ния прямолинейно перемещается из положения М1(3,-2,6) в положение
М2(7,1,2).
что вектор перемещения
(ед.раб.).
б) В этом случае равнодействующая сила RQPF ++= =
={4,2,4}, а вектор перемещения
16| = 6 (ед.раб.).
={6,-1,0},Q ={-4,2,-2},
а) Искомую работу находим по формуле (3.15), учитывая,
={-5,1,5}: А = |
={2,3,4}, когда точка ее приложе-
| = |-10 – 3 + 5| = 8
={-5,1,5}: А = |
| = |16 + 6 -
Задачи и упражнения
∧
3.30. Пусть |a| = 2, |b| = 3,
)b,a( = 120
◦
. Вычислить:
1)
5)
3.31. Дано: |
; 2)
aПр
b
2
+
; 6) )ba(Пр
2
; 3) (2a-5b)·(a+4b); 4) |a+b|;
∧
ba−+
e | = |2e | = 1,
1
; 7)
+ )ba,b( .
∧
)e,e(
= 60◦ . Определить:
21
78
1) длину диагоналей параллелограмма, построенного на
b
m
nm22λ
−
AC
CB
CH
b
a
векторах a=
e +22e и
1
= 2
e +2e ;
1
2) угол, образованный этими диагоналями.
3.32. При каких значениях параметра λ ортогональны век-
торы: 1) a+λb и a-λb, если |a|=2, |b|=3; 2)
∧
(
), если m|=4, |n|=5 и
)n,m( = 45
◦
?
3.33. Определить угол между единичными векторами
и
e , если известно, что (1e +2e )
2
3.34. Известно, что |
ee
+
21
−
3.35. Векторы
e - единичные орты, являются сторонами треугольника АВС.
2
)e2e3(Пр
.
21
e |=|2e |=1,
1
= 4
2
+ (2
e +22e ,
1
e +2e )
1
∧
2
= 16.
)e,e(
=120◦ . Вычислить
21
=-
e +22e , где1e и
1
и
e
1
Вычислить: 1) углы этого треугольника; 2) длину его высоты
.
3.36. Даны два вектора: a=
e и 2e - единичные векторы. Определить угол между ними,
1
если
и b ортогональны.
e -22e и
1
= 5
e +42e , где
1
79
3.37. Известно, что |a| = 1, |b| = 2, |c| = 3 и
cba++
cbcaba⋅+⋅+⋅
a
⊥
b
b
a
+
a
⊥
b
a
ba⋅
a
b
c
AB
BC
CA
BA
a
BC
= 0.
Вычислить
3.38. К вершине правильного тетраэдра приложены три
силы, направленные вдоль его ребер. Определить их равнодействующую, если они имеют одинаковые модули, равные F.
3.39. Показать, что угол φ между диагоналями прямоугольника со сторонами a и b, где
cos
|a| = 3 , |b| = 1,
{2,-1,2}и b{-3,4,0}. Вычислить:
±=ϕ
3.40. Известны прямоугольные координаты векторов
1)
2) bПрa; )b3a2(Пр
22
ba
−
. Рассмотреть частный случай, когда
22
.
2
;
2
-
; (3a-b)·(2a+b); |a+b|;
b
.
+ ;
, можно найти по формуле:
∧
)b,a( ;
∧
+ )ba,b( .
3.41. Даны векторы a{2,-3,0},b{0,1,-2},c{4,7,-4}. Вы-
числить: 1) (2a+b)·(3b-
3.42. Даны точки А(2,-1,3), В(0.4,-1), С(-4,8,1). Вычис-
-
лить: 1) (2
{2,1,-1} на направление вектора
)·(3
); 2) )ca(Пр
∧
cb3−−
+
); 2) проекцию вектора
.
80
; 3)
− )cb3,c( .
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]