Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
1.2. Транспонирование матриц
A A A A A B A B A B B A
α α
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= = + = + ⋅ = ⋅
Транспонированием матрицы A называется замена ее строк
на соответствующие столбцы (1-ую строку на 1-ый столбец, 2-ую
строку на 2-ой столбец и т.д.). Матрица, полученная из данной матрицы A путем ее транспонирования, называется транспонированной
матрицей и обозначается A′ (или AT). Например, для матрицы
−
732
=
A
′
A
−=
свойствами:
1) ( ) ; 2) ( ) ; 3) ( ) ; 4) ( )
Рассмотрим конкретную экономическую задачу, где используется матричный анализ.
1.4. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2,
ее транспонированной является матрица
105
52
. Операция транспонирования обладает следующими
03
17
P3 и для их производства использует сырье двух видов. Нормы
расхода сырья, стоимость единицы сырья и план выпуска продукции приведены в таблице 1.3. Определить затраты сырья, необходимые для выполнения плана выпуска продукции, а также общую стоимость сырья.
11
241
(
)
=
Введем матрицы:
A
=
матрица, элементы которой выражают норму расхода сырья для
производства каждой единицы продукции;
Таблица 1.3.
- технологическая
352
Виды продукции Виды сырья
Р1 Р2 Р3
1 1 4 2 10
2 2 5 3 20
План выпуска
продукции
50
=4030
B
матрица-стоимость единицы каждого типа сырья. Тогда общие
затраты сырья S можно выразить матричным произведением
- матрица–план выпуска продукции;
50 30 40
ABS
==
50
241
30
⋅
352
40
Стоимость
250
=
370
сырья
,
2010C
-
что в денежном выражении составит
250
( )
===
2010)AB(CCSP
370
12
9900 ден.ед.
=
1.3. Определители. Теорема Лапласа.
Основные свойства определителей
Пусть
J = (j1,j2, …, ji, …,jk, …,jn) (1.5)
некоторая перестановка из n натуральных чисел 1,2,3, …,n. Говорят,
что в перестановке J элементы ji и jk (i<k) образуют инверсию (беспорядок) (ji,jk), если ji >jk.
1.5. Найти число инверсий в перестановках: а) (1,3,2) ; б)
(3,1,2).
В первой перестановке имеется одна инверсия (3,2), а
во второй – две: (3,1) и (3,2) .
Определителем n-ого порядка, составленного из n2 чисел a11,
a12, …, ann называется число ∆, определяемое по формуле
a...aa
n11211
a...aa
n22221
............
a...aa
nn2n1n
−==∆ , (1.6)
∑
)J(
)J(r
a...aa)1(
njj2j1
n21
где сумма берется по всем перестановкам J, образованным из вторых
индексов сомножителей, r(J) – число инверсий в перестановке J. Число
слагаемых в сумме (1.6) равно n! (числу перестановок из n натуральных чисел).
.6. Вычислить определители:
1
13
а)
−=∆
3 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
∆ = + + − − −
1
i
aa
1211
=∆
2
aa
2221
; б)
∆
3
=
aaa
131211
.
aaa
232221
aaa
333231
а). Из натуральных чисел (1,2) можно составить две
перестановки: (1,2) и (2,1). Вторая из них содержит одну инверсию. Следовательно,
aaaa
.
211222112
б). Из натуральных чисел (1,2,3) можно составить 3! = 6
перестановок. Последовательно рассматривая все варианты, по-
i+j
.
Mij
лучим
Определитель (n-1) порядка, полученный из исходного определителя ∆n путем вычеркивания (удаления) его i-ой строки и j-ого
столбца (на их пересечении находится элемент aij) называется мино-
ром элемента a
называется алгебраическим дополнением этого элемента.
Центральной теоремой в теории определителей является тео-
рема Лапласа:
Для любого определителя n1,ji, , a
а). Сумма произведений элементов i-ой строки (j-ого столбца)
на их алгебраические дополнения равна величине этого определителя,
и обозначается символом Mij. А величина Aij=(-1)
ij
ij
==∆ :
т.е.
n
Aa или
∑
1j
=
∆=
nijij
n
Aa . (1.7)
∑
=
14
∆=
nijij
б). Сумма произведений элементов i-ой строки (j-ого столбца)
1
i
−
на алгебраические дополнения элементов другой строки (другого
столбца) равна нулю, т.е.
n
=
∑
=
1j
Формулы (1.7) называются разложением определителя по
соответствующей строке (столбцу) и широко используются при вы-
числениях определителей.
.7. Вычислить, используя теорему Лапласа, определи-
1
0Aa , k ≠ i или
kjij
n
∑
=
=
0Aa , k ≠ j . (1.8)
ikij
тель
0105
0200
=∆
.
4021
−
1065
−
Выгодней вычислять этот определитель, разлагая его
по элементам 2-ой строки, которая содержит наибольшее количество нулей. Тогда имеем:
32
+
)1(2
005
=
421
−−⋅=∆
165
−
{полученный определитель по той же причине разлагаем по элементам 1-ой строки} =
11
=
+
)1(52
−⋅⋅−
42
16
−
−=⋅−−−⋅−=
.
220)6)4()1(2(10
15
1.8. Показать, что треугольный определитель (у тре-
nn
угольного определителя все элементы под диагональю равны
нулю) равен произведению диагональных элементов.
Разлагая последовательно получающиеся определите-
ли по первому столбцу, легко получим:
a...aa
n11211
a...a0
n222
a
11
............
a...00
nn
Определитель ∆′ = |aji| , полученный из определителя ∆ = |aij|
путем замены его строк (столбцов) на соответствующие столбцы
(строки) называется транспонированным.
Основные свойства определителей:
1. При транспонировании величина определителя не меняется,
т.е. ∆′ = ∆. Это свойство выражает равноправность строк и
столбцов определителей.
2. Определитель равен нулю при выполнении одного из следую-
щих условий: а) какая-либо строка (столбец) определителя
состоит целиком из нулевых элементов; б) определитель име-
ет две одинаковые строки (столбца); в) соответствующие
элементы двух строк (столбцов) определителя пропорцио-
a...aa
n22322
a...a0
n333
=== .
............
a...00
nn
a...aaa...
332211
нальны между собой.
. Общий множитель элементов некоторой строки (столбца)
3
можно вынести за знак определителя.
16
4. При перестановке двух строк (столбцов) определителя его
абсолютная величина сохраняется, а знак меняется на проти-
воположный.
5. Величина определителя не изменится, если к элементам одной
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число
α ≠ 0.
1.9. Используя приведенные выше свойства определите-
лей, вычислить определитель
−
=∆
−
−−
5312
6054
−−
.
1350
15918
Сначала (по свойству 3) из 1-го и 3-го столбцов вы-
несем общие множители (2 и 3), затем, используя свойство 5 ,
получим максимальное число нулевых элементов в третьем
столбце:
−
⋅=∆
32
−
−−
5111
−−
6052
=
6
1150
15314
−
−
−
6041
−−
6052
=
1150
180164
(разлагая получившийся определитель по элементам третьего
столбца, получим)
17
−
+
−⋅=
33
)1(6
−
641
−−
652
18164
−−⋅=
6
−
641
=
011
041
−
31
+
)1(66
−⋅⋅=
1.4. Элементарные преобразования матриц.
Эквивалентные матрицы. Ранг матрицы
Пусть задана матрица
дующие преобразования матрицы называются элементарными:
) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
1
2) умножение строки (столбца) матрицы на некоторое число α
≠ 0;
3) умножение некоторой строки (столбца) на число α ≠ 0 и при-
бавление полученного результата к другой строке (столбцу).
Две матрицы A и B одной и той же размерности называются
эквивалентными (равносильными или подобными), если одна из
них может быть получена из другой с помощью элементарных преоб-
11
41
−
ij
=⋅−−−⋅=
===
108]11)4)(1[(36
n1,j , m1,i ),a(A
. Сле-
.
разований. Эквивалентность матриц обозначается символом A~B.
Любую матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду (у такой матрицы элементы под диа-
гональю (или над диагональю) равны нулю).
1.10. Привести к ступенчатому виду матрицу
18
A
−
−
−
−
−
=
−
4221
.
7062
−−
6523
4221
Вычеркивая (удаляя) из матрицы A размерности mxn некоторые ее строки и столбцы, можно получить определители k-ого поряд-
ка, )n,mmin(,1k = . Полученные определители называются мино-
рами матрицы A соответствующего порядка. Например, если в пре-
дыдущем примере из рассматриваемой матрицы вычеркнуть последний столбец, то получим минор 3-го порядка
Одним из важнейших понятий матричного анализа является
понятие ранга матрицы.
Рангом матрицы A (обозначение: rangA = r(A) = r) называется
максимальный порядок ее ненулевого минора. Например, ранг мат-
~
7062
6523
−−
−
4221
~
1420
−
6180
−
221
062
523
.
−
4221
.
.
1420
−
101700
рицы
521
=
A
равен 2, так как ее определитель, т.е. минор 3-го порядка, равен нулю,
но существует минор второго порядка, в частности,
19
203
−
322
21 −
= 6 ≠ 0.
03
Эквивалентные матрицы имеют равные ранги, и ранг матрицы обычно находят методом Жордана – Гаусса, который заключается
в приведении матрицы к ступенчатому виду (см. решение примера
1.11), а ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых диагональных элементов.
1.11. Найти ранг матрицы
−
=
A
1011
.
−−−
5213
9514
−−
1132
Используя метод Жордана-Гаусса, приведем матрицу
к ступенчатому виду:
−
1011
−−−
5213
~
9514
−−
1132
−
1011
−−−
2220
~
5550
−−−
1110
−
1011
−−−
2220
.
0000
0000
В полученной треугольной матрице (частный случай ступенчатой матрицы) ненулевых диагональных элементов два и,
следовательно, ранг исходной матрицы равен r(A) = 2.
1.5. Понятие обратной матрицы и ее вычисление
Пусть n1, ji, , )a(A
ij
== - квадратная матрица n-го поряд-
ка. Этой матрице соответствует определитель |A| того же порядка. Он
составлен из тех же элементов, что и матрица A:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]