Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
ной задачи. Далее, составим распределительную таблицу 7,2*, содер-
1
X
1B2
B
3
B
2
1
A
20
1 10 8
2
A
50
1
u
2
u
1
v
2
v
3
v
2 ,
4 ,
10 ,
8.
1
0
=
1
2
=
2
4
=
2
6
=
2
=
жащую решение
Постав-
щики
Запросы 20 30 50 100
Потенциалы
мулу (7.8)):
:
П о т р е б и т е л и
4 6
20
2 4 2
,
,
,
u v
+ =
1 1
u v
+ =
1 2
u v
+ =
2 2
u v
+ =
2 3
Таблица 7.2*
Запасы
40 0
60 6
10
,
находим из системы (см. фор-
Положив здесь
тальные потенциалы:
вычислений оценок свободных клеток присоединим к распредели-
тельной таблице дополнительные столбец и строку, состоящие из найденных потенциалов. Оценки свободных клеток находим по формуле
u
, из этой системы последовательно находим ос-
v
,
v
,
u
и
v
. Для упрощения
3
171
(7.7):
2 6 4
= + − = − = −
21 2 1 21
6 2 1 7 0
= + − = + − = >
1
X
(
)
2;1
21
7
=
(
)
2 20 2 20 10 10 620
2
X
1B2
B
3
B
2
1
A
10
1 10 8
2
A
40
2
X
u v c
α
13 1 3 13
u v c
α
,
.
Поскольку для решения
ку
α
ности. При этом распределении поставок затраты перевозок составят
, то для этого решения не выполняется критерий оптималь-
клетка
имеет положительную оцен-
XL = ⋅ + ⋅ + ⋅ = (ден. ед.).
2). Для решения
нятых клеток распределительной матрицы (табл. 7.2**)
Постав-
щики
Запросы 20 30 50 100
ограничимся вычислением оценок неза-
Таблица 7.2**
П о т р е б и т е л и
Запасы
4 6
40 0
30
60 2
20
и установлением оптимальности решения
В этом случае система для нахождения потенциалов имеет
вид:
-1 4 6
.
172
4 ,
6 ,1,8.
u v
+ =
+ =
+ =
+ =
1
0
=
2
4
=
6
=
2
2
=
1
1
= −
0 1
= + − = − −
2 3 0
− = − <
2 4 10 4 0
= + − = + − = − <
2
X
(
)
20 8 40 520
+ ⋅ =
1
X
1 2
u v
1 3
u v
2 1
u v
2 3
Откуда получаем, что
скольку оценки всех незанятых клеток
и
α
22 2 2 22
то распределение поставок
стоимость всех поставок минимальна и составляет
XL = ⋅ + ⋅ + ⋅
что гораздо меньше, чем при распределении поставок
7.2. Опорное решение транспортной задачи
и переход от одного решения к другому.
Распределительный метод в транспортной задаче
При исследовании транспортных задач возникают следующие
две важные проблемы:
1) как по известному допустимому решению установить, что оно
u
,
u v c
4 30 6 10 1
v
,
v
оптимально. При этом распределении
,
3
u
α
11 1 1 11
и
v
u v c
отрицательны,
(ден. ед.),
.
. По-
опорное или нет;
2) каким образом осуществить переход от одного опорного решения к
другому (улучшенному) опорному решению.
Решение этих проблем тесно связано с понятием цикла, ко-
173
торый строится из некоторых клеток распределительной таблицы.
(
)
1 1
;
i j
(
)
1 2
,
i j
(
)
1
;ki j
(
)
ij
x
1,
i m
1,
j n
ш
ш
ш
ш
Последовательность клеток
лицы транспортной задачи образуют цикл, если её две и только две
соседние клетки (включая первую и последнюю клетки, рассматриваемые как соседние) расположены в одной строке или столбце.
Цикл обычно изображают в виде замкнутого многоугольника
(или замкнутой линии), сторонами которой служат горизонтальные и
вертикальные отрезки, а его вершина находится в клетках, на которых
построен этот цикл. Некоторые возможные формы циклов изображены на рис. 7.1. Знаками «ш» отмечены их вершины, т.е. клетки таблицы, которые включены в цикл.
ш ш
ш ш
ш
ш
ш
ш
,
ш
, …,
ш
ш ш
таб-
Рис.6.1.
Решение проблем, поставленных выше, содержится в утверждениях следующих теорем.
Теорема 7.3 Допустимое решение транспортной задачи
X
= ,
гда, когда из занятых им клеток нельзя образовать ни одного цикла.
некоторое опорное решение. Тогда для любой свободной клетки таблицы можно образовать единственный цикл, содержащий эту клетку
= ;
Теорема 7.4.
= является опорным тогда и только то-
Пусть таблица транспортной задачи содержит
174
и часть клеток, занятых опорным решением.
(
)
;
k l
1
X
(
)
;
k l
θ
{
}
" "
ij
x
+
-
Пусть
жащей опорное решение
начиная с этой клетки, перенумеруем по порядку его вершины и нечётным вершинам припишем знак « + », а чётным – « - ». Полученный
цикл назовём «отмеченным» (см. рис. 7.2).
Сдвигом (перераспределением) по циклу на величину θ
- свободная клетка транспортной таблицы, содер-
. Для клетки
ш ш
образуем цикл и затем,
1 2
+
ш ш
-
3 4
-
+
шш
56
Рис.6.2.
называется увеличение поставок во всех нечётных клетках цикла на
величину
величину θ.
содержащихся в чётных клетках цикла, т.е.
лению цикла две и только две его соседние клетки расположены на
одной строке (столбце) таблицы. При сдвиге по циклу поставки в одну
и уменьшение поставок во всех чётных клетках на ту же
В качестве θ обычно берется минимальный объём поставок,
min
θ
= . По опреде-
−
175
из них (со знаком « + ») увеличиваются на θ, в другую (со знаком
{
}
" "
ij
x
2
X
(
)
,
k l
2
X
1
m n
+ −
2
X
« - ») – уменьшаются на θ, но при этом суммарные поставки в строке
(столбце) сохраняются. А это означает, что и после перераспределения
поставок по циклу (сдвига по циклу) запасы всех поставщиков вывозятся полностью, а потребность всех потребителей удовлетворяется
также полностью. Поскольку перераспределение поставок осуществ-
ляется на величину
сдвига остаются положительными, т.е. новое решение (обозначим его
через
перераспределения поставок по циклу свободная клетка
чает поставку объёма θ и становится занятой клеткой. При этом одна
из клеток (или несколько из них) освобождается от поставок и стано-
вится свободной. По этой причине решение
занятых клеток цикла, из которого исключена клетка с нулевыми по-
ставками. Но удаление одной клетки из цикла ведёт к его разрыву.
Поэтому согласно теореме 7.5 решение
опорного решения задачи к другому, существенным образом использует перераспределение имеющих поставок по некоторым циклам.
Поэтому он получил название распределительного метода.
) будет допустимым. Оно будет и опорным, ибо в результате
Изложенный выше метод, позволяющий перейти из одного
min
θ
= , то поставки в клетках цикла после
−
полу-
содержит
является опорным.
7.3. Ниже (см. таблицу 7.3) приведена распределительная таблица транспортной задачи с известным начальным опорным решением.
176
⊕
⊕
Поставщики
1B2
B
3
B
4
B
3 4 8 2
1
A
5 6 7 4
2
A
3 6 2
3
A
i
u
j
v
i j ij
u v c
+ =
1,3
1,4
1
0
=
1
3
=
4
2
=
2
5 3 2
= − =
7 2 5
= − =
6 5 1
= − =
2
3 1 2
= − =
Таблица 7.3
П о т р е б и т е л и
Запасы
⊕
50 150
100
8
200
Запросы 150 200 300 150 800
3 2 5 2
Найти оптимальное решение этой задачи и минимальные из-
держки при перевозках.
Прежде всего, найдём потенциалы поставщиков и потреби-
телей
u
и
. Полагая в системе
,
i = ,
, найдём значения других потенциалов:
250
50
j = ,
200 0
50 2
3
250 1
v
;
v
;
u
шем их значения отдельной строкой и столбцом к транспортной таблице. По формуле (7.8) найдём оценки свободных клеток (а оценки
;
v
3
;
u
3
;
v
и припи-
177
занятых клеток всегда равны нулю!):
12 1 2 12
2 4 2 0
= + − = − = − <
5 8 3 0
= − = − <
21
4 6 2 0
= − = − <
24
4 4 0
= − =
4 8 4 0
= − = − <
3 2 1 0
= − = >
(
)
3, 4
(
)
3, 4
{
}
" "
min 150,100, 50 50
=
1B2
B
3
B
4
B
3 4 8 2
1
A
5 6 7 4
2
A
8 3 6 2
3
A
u v c
α
;
α
13
;
α
α
31
Оценка единственной клетки
решение, содержащееся в транспортной таблице (7.3), не является оптимальным. Образуем цикл для клетки
вершим перераспределение поставок по этому циклу на величину
−
Поставщики
;
;
положительна. Поэтому опорное
. В результате получим новое распределение
П о т р е б и т е л и
100
α
α
34
(см. таблицу 7.3) и со-
Таблица 7.4
Запасы
200 0
100
;
.
Запросы 150 200 300 150 800
50 300
200
3 3 5 2
178
350 2
250 0
50
поставок (новое опорное решение). Оно содержится в распредели-
12
3 4 1 0
= − = − <
5 8 3 0
= − = − <
22
5 6 1 0
= − = − <
24
4 4 0
= − =
3 8 5 0
= − = − <
5 6 1 0
= − = − <
0
≤
,
i j
∀
100 0 0 100
50 0 300 0
0 200 0 50
(
)
3 100 2 100 5 50 7 300 3 200 2 50
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
3550
=
тельной таблице 7.4.
Для проверки оптимальности нового опорного решения снова
выпишем оценки свободных клеток:
α
α
α
31
Таким образом, оценки всех свободных клеток не положи-
тельны, т.е.
опорное решение
оптимально. При этих поставках мы имеем минимум издержек на перевозки, равный
L
X
α
7.3. Построение начального опорного решения
,
ij
X
;
;
;
. А это свидетельствует о том, что новое
=
α
α
α
13
33
;
;
.
(ден.ед.)
10. Метод северо-западного угла
Существует несколько методов построения начального опорного решения, но наиболее простым из них является метод северо-
западного угла. Согласно этому методу заполнение транспортной
179
таблицы начинается с левого верхнего угла (с северо-западного угла):
(
)
1,1
(
)
1 1
min ,
a b
1 1
a b
<
{
}
1 1 1
a b a
=
1 1
a b
>
{
}
1 1 1
a b b
=
1 1
a b
=
(
)
2,1
в клетку
представиться следующие три случая:
1).
вого поставщика исчерпываются полностью, и он исключается из
дальнейшего рассмотрения (первая строка таблицы вычёркивается).
Для дальнейшего удовлетворения запросов первого потребителя используются запасы очередного (второго) поставщика.
2).
удовлетворяются полностью запросы первого потребителя, и теперь
он исключается из рассмотрения (вычёркивается первый столбец). Оставшиеся запасы первого поставщика используются для удовлетворения очередного потребителя – второго.
3).
первого поставщика и полностью удовлетворяются запросы первого
потребителя. Но из дальнейшего рассмотрения исключается только
помещается груз, равный
. Тогда
и, следовательно,
. В этом случае полностью исчерпываются запасы
min ,
. В этом случае запасы пер-
min ,
. При этом могут
. В этом случае
один из них: либо поставщик, либо потребитель, т.е. вычёркивается
либо строка, либо столбец. Например, если исключается поставщик
(вычёркивается первая строка), то при следующем распределении по-
ставок из запасов второго поставщика в клетку
левая поставка (нулевая базисная переменная) и из рассмотрения исключаются и первый потребитель (вычёркивается первый столбец).
Далее используются запасы второго, третьего и т.д. поставщи-
помещается ну-
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]