Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
4.4. Преобразование линейной формы
K
()(
)
,
x c x
1 1 1 1
1 2 2 2
,
,
m mk k mn n m
α α α β
α α α β
α α α β
+ + + + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
0
≥
1,
i m
(
)
, , , , 0, , 0
1, 0, , 0
′
0,1, 0, , 0
′
0, 0, ,1
′
при переходе к другому опорному решению
Основным методом решения задач линейного программирования является целенаправленный перебор опорных решений системы
ограничений, при котором соответствующая линейная форма неуклонно приближается к своему экстремальному значению. Переход от
одного опорного решения к другому опорному решению осуществляется следующим образом.
Пусть на множестве
(2.1) - задана линейная форма
и пусть, кроме того, система (2.1) с помощью преобразования Жордана – Гаусса приведена к разрешённой форме
1 1
m
+
x
1
x
с положительными правыми частями, т.е.
(4.11) имеет опорное решение
нормированной системой векторов переменных, т.е. с ортонормиро-
ванным базисом:
2
⋅ ⋅
x
m
( )
+ + + + + =
2 1
m
+
( )
+ + + + + =
m m
+
( )
K ,
( )
- положительных решений системы
L =
x x x
m k k n n
+
x x x
m k k n n
+
x x x
1
+
1
1 1 2
( )
(4.10)
L L
L L
L L
β
β β β
=x K K с орто-
K , …,
,
i
= . Система
m
( )
(4.11)
K . Ли-
101
нейная форма на этом опорном решении принимает значение
i i
L c
β
k
A
k m
>
lk
a
l
A
(
)
, , , , 0, , , , 0, , , 0, , 0
()(
)
k k
= − ∆
i l
ik lk
β β
α α
k i ik k
c c
∆ = −
k
A
k
A
0
∆ <
(
)
k k
− ⋅ ∆
(
)
x
m
,
= =
x c x .
( ) ( )
1 1
∑
i
=
1
Пусть в исходный базис вводится вектор
шающим элементом
новое опорное решение имеет вид
′ ′ ′ ′ ′ ′
β β β β β β
=x K K K K .
2 1 2 1 1
на котором линейная форма принимает значение:
L L q
x x , (4.12)
2 1 0
где
- оценка разложения вектора системы
шения (симплекс-разность).
ды:
min
q
= =
0
k
Из равенства (4.12) можно сделать следующие важные выво-
10. Если оценка вектора системы
i
>0, а выводится вектор
l l m l
− +
m
, а
∑
i
=
α
1
по базису опорного ре-
,
. В этом случае
- (4.13)
отрицательна, т.е.
с разре-
, то от перевода этого вектора в базис линейная форма уве-
k
личивается на величину
максимум линейной формы
вектор системы, который имеет наименьшую отрицательную оцен-
q
0
L
. Поэтому, если отыскивается
, то в базис выгоднее ввести тот
102
ку.
0
∆ ≥
1,
k n
(
)
x
0
k
0
∆ =
0
k
A
(
)
x
k
A
0
∆ >
(
)
x
(
)
k k
− ∆
(
)
x
0
∆ ≤
20. Опорное решение является оптимальным и в этой точке
линейная форма имеет максимум, если все оценки векторов системы
положительны, т.е.
,
k
причём: а) если в соотношениях (4.14) осуществляется строгое неравенство для всех векторов, не входящих в базис опорного решения, то
= , (4.14)
линейная форма
же существует
оптимального решения, то задача на максимум линейной формы имеет бесчисленное множество решений.
Аналогичный результат мы получим, если для линейной формы
L
отыскивается минимум. В частности:
10. Если оценка вектора системы
, то от перевода этого вектора в базис линейная форма
k
уменьшается на величину
мума линейной формы
системы, который имеет наибольшую положительную оценку.
20. Опорное решение является оптимальным и в этой точке
линейная форма имеет минимум, если все оценки векторов системы,
L
имеет единственное опорное решение; б) если
, что
L
k
и вектор
0
q
0
в базисе выгодней ввести тот вектор
. Поэтому при отыскании мини-
не входит в базис
положительна, т.е.
L
не входящие в базис, отрицательны, т.е.
103
.
k
Задачи и упражнения
0,
4,
− ≤
+ ≥
2 4,
3,
7,
− + ≤
4 0,
4 3 24,
6 6,
− + ≥ −
17,
5 3 15,
− ≥ −
2 0,
3 2 32,
2 8,
2 6 0,
3 2 10 0,
5 2 10 0.
+ − ≥
− − ≤
1 0,
4 0,
9 0,
− + ≥
− − ≤
+ − ≥
3 2 16,
2 8,
Построить множество решений систем линейных неравенств и
найти координаты их угловых точек.
x x
1 2
4.1.
x x
1 2
4.
x
≤
2
x x
− + ≥
1 2
x x
+ ≤
x x
x
1
x x
1 2
x x
1 2
x x
1 2
x
2
1 2
1 2
3.
≤
− ≤
+ ≤
+ ≥
7.
≤
4.3.
4.5.
4.2.
4.4.
4.6.
x x
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
6,
x
≤
1
0.
x
≥
2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
0 11,
x
≤ ≤
1
0 10.
x
≤ ≤
2
x x
+ − ≥
1 2
x x
1 2
x x
1 2
4.7.
x x
x x
x x
x
1 2
1 2
1 2
3.
≤
1
104
4.8
x x
1 2
x x
1 2
x
1
x
2
+ ≥
+ ≥
2,
≥
1.
≥
5. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(
)
n
x x x
(
)
x
()()(
)
, max min
, 1, ;
a x a x a x b i k m
0
≥
1,
j n
(
)
n
x x x
n l
x
+
i i in n
a x a x a x
±
n l
x
+
i
b
=
1,
i k m
l m k
= −
5.1. Общая задача линейного программирования
Общая задача линейного программирования (кратко:ЗЛП)
формулируется следующим образом: найти вектор
(его называют оптимальным решением или оптимальным планом),
который доставляет экстремум целевой функции
L c x c x c x= + + + = →x c xL ; (5.1)
и удовлетворяет системе ограничений
a x a x a x b i k
1 1 2 2
+ + + = =
1 1 2 2
i i in n i
L
n n
, 1,
L
+ + + ≤ ≥ = +
1 1 2 2
i i in n i
Решение
летворяющее условиям (5.3) неотрицательности его компонент, называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования.
Введя в неравенствах системы ограничений (5.2) дополнитель-
L
x
=x K системы ограничений (5.2), удов-
j
, , ,
1 2
,
( )
= . (5.3)
, , ,
=x K
1 2
:
(5.2)
но неотрицательные переменные
+ + +L
1 1 2 2
ЗЛП можно записать в канонической форме:
105
по формулам
,
= + ; 1,
,
max min
n
ij j i
a x b
=
0
≥
1,
i m
1,
j n
()()(
)
, max min
+ + + =
A A A B
0
≥
1,
j n
(
)
n
x x x
(
)
, , ,
n
c c c
j
jjmj
a
M
1,
j n
12m
bbb
M
(
)
,
c x
r A r A m
= =
,
m n
<
L c x
= →
x (5.4)
( ) ( )
∑
j j
1
j
=
n
,
∑
j
x
1
=
,
j
= ,
= . (5.5)
5.2. Исследование системы ограничений
и основные теоремы линейного программирования
Векторная форма записи ЗЛП имеет вид:
L = →x c x ,
x x x
1 1 2 2 n n
x
где
векторы системы (переменных),
Пусть ( ) ( )
, , ,
=x K ,
1 2
- скалярное произведение векторов c и x.
=c K ,
∗
L ,
,
j
1 2
и
= ,
1
a
2
=
A
,
= -
a
=
B
т.е. система ограничений разре-
- вектор ограничений,
106
шима и разрешима неоднозначно. Здесь A и
A
∗
, ,...,
m
x x x
{
}
m
A A A
.
m
n
C
... , ,
x x x x i i m
... 0,
= = = =
{
}
, ,... ,0,0,...0
i
β
(
)
x
женная матрицы системы (5.5).
- основная и сопря-
Переменные
1 2
ми), если векторы условия
число не более чем
Базисные переменные можно найти через ос-
называются базисными (основны-
, ,...,
1 2
- линейно независимы. Их
тальные (неосновные) переменные, например, методом сведения системы к разрешенному виду. Тогда, используя преобразования Жордана-Гаусса, получим
β α α α
= + + + + = - (5.6)
i i i m m i n m n
1 1 2 ( )
+ + −
2
i
общее решение системы (см. также формулу (4.11)). Пологая в общем
решении
х=
называется вырожденным, если хотя бы один из
x x x
1 2
m m m
+ +
β β β
1 2
m
получим решение вида
, называемое базисным. Базисное решение
равен нулю. Ба-
зисное допустимое решение называется опорным.
Справедливы следующие утверждения.
10. Множество всех допустимых решений системы ограниче-
ний (28.5) образует выпуклое множество- многогранник К с конечным числом угловых точек.
20. Для того, чтобы решение х было опорным (базисным и до-
пустимым) необходимо и достаточно, чтобы оно было угловой точкой многогранника К.
0
3
. Целевая функция
L
принимает своего оптимального
107
значения в некоторой угловой точке многогранника К. Если она при-
2 2,
2 2 4 6,
4 2 2 1.
− + + =
+ − + =
1x2x3x4
x
b
нимает оптимального значения в нескольких угловых точках, то она
принимает это значение и в любой точке выпуклой линейной оболочки этих угловых точек.
40. Пусть при одном из опорных решений коэффициенты целе-
вой функции при неосновных переменных имеют одни и те же знаки
(либо только «+», либо только «-»). Тогда соответствующее опорное
решение является оптимальным решением задачи, причем:
1) если все коэффициенты при неосновных переменных в целе-
вой функции имеют только отрицательные знаки, то соответствующее опорное решение доставляет целевой функции максимальное
значение;
) если же все коэффициенты положительны, то целевая
2
функция при этом опорном решении имеет минимальное значение.
5.1. Используя метод Жордана-Гаусса найти общее, базисные и
опорные решения системы
x x x x
+ − + =
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
Используя метод Жордана-Гаусса исходную систему запи-
шем в виде таблицы, где в качестве разрешающих элементов в первом
(5.7)
блоке взята 1, во втором-2, в тртьем-7.
108
2 -1 1 2 Четвертый блок представляет собой ре-
1 3 4
, , .
x x x
2
x
10 1 1
( ,0, , )
7 7 7
−
1 3 4
, ,
x x x
1` 2
4 2
,
7 14
,
1 9
7 14
x x
x x
x x
1
2 -1 2 4 6 зультат преобразования исходной систе-
4 2 -1 2 4 мы к разрешенному виду. Откуда и на-
1 2 -1 1 2 ходим общее решение системы (см. фор-
0 -5 4
0 -6 3 -2 2
1 9/2 -3 0 1
0 -5/2 2 1 1
0 -11
1 -3/14 0 0 19/7 ната отрицательна. Переводя из системы
0 9/14 0 1 -1/7
0 11/7 1 0 4/7 ные, найдем последовательно остальные
7
19 3
= +
2 мулу (5.8)) с базисными переменными
2
Пологая в этом решении
=0, получим базисное решение систе-
мы х1=
0 4 допустимым, ибо его четвертая коорди-
(5.8)
в неосновные перемен-
. Оно не является
1 11
= +
3 2
7 7
= − +
(5.8)
109
базисные решения: х2=
38 415 58
(0, , , )
3 21 7
415 1 3
( , ,0, )
154 11 154
58 2 51
( , , ,0)
21 9 63
( ) max
, 1, ,
x x i m
0, 0, 1,
x i m
( , ,..., ,0,0,...,0)
0, 1, ,
r m n
max
L
0,
>
− − ,х
=
3
− ,
х4=
. Последнее – единственное опорное решение систе-
мы.
Пусть ЗЛП с помощью преобразования Жордана-Гаусса при-
ведена к виду
n
L x x
γ γ
= + →
∑
r r
1
= +
r m
n
α β
+ = =
∑
i i r r i
i i
1
r m
= +
β
≥ ≥ =
с очевидным опорным решением х1
котором L(х1)=γ.Если
γ
< = + то
r
, (5.9)
(5.10)
β β β
= , при
1 2
m
(х)=L(х1)=γ и
ЗЛП решена (см. п. 40 утверждения). Если же в целевой функции некоторые из
γ
то найденное опорное решение не является опти-
r
мальным и, следовательно, нужно совершить переход к новому
улучшенному решению. При переходе к новому опорному решению,
нужно придерживаться следующих правил.
10. При одной итерации только один из неосновных перемен-
ных переводится в основные и наоборот, только один из основных
переводится в неосновные.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]