Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
3.43. Зная вершины А(0,-1,5), В(-3,-1,1) и С(4,-1,2) тре-
b2ac−
=
x
22ax=⋅
10ax−=
⋅, 4bx−=
⋅,14cx−=
⋅
P
R
угольника, вычислить длину высоты АН и величины углов треугольника.
3.44. Показать, что четырехугольник с вершинами
А(2,5,-4), В(6,-5,-3), С(-1,-7,5) и D(-5,3,4) – квадрат.
3.45.При каких значениях параметра λ векторы
и d ортогональны, если
и
,k2jib ,k5jia +λ+−=++λ=
3.46. Найти вектор
: 1) коллинеарный вектору
k3jia −−= и удовлетворяющий условию
2) удовлетворяющий условиям:
, где kj4c ,j3i2b ,k3jia −=−=−−= .
3.47. Вычислить величину работы, произведенной: а) си-
лой F{2,5,1}, когда ее точка приложения прямолинейно перемещается из положения А(2,-3,1) в положение В(5,-2,3); б) рав-
нодействующей сил
женных к точке М1(2,0,-1), когда ее точка приложения прямоли-
нейно перемещается в положение М
{3,2,-1}, Q{2,-1,4},
(4,5,1).
2
{-1,3,-2}, прило-
?
k5j2id −+λ=
;
81
6◦. Векторное произведение двух векторов
a
axb+axc
ϕ
a
b
c
Векторным произведением векторов a и b называется век-
тор c (обозначение: c = axb или c = [a,b] ), определяемый следующим образом:
∧
1) |c| = |a|·|b|sinφ , где φ =
2) вектор c ортогонален плоскости, в которой лежат векторы
и b ;
3) тройка векторов a,b,cобразуют правую тройку (см.
рис.3.20)
)b,a( ; (3.16)
Рис. 3.20
Основные свойства и приложения векторного произведения.
1). Векторное произведение антикоммутативно, т.е. axb=
= - bxa.
2). Векторное произведение дистрибутивно, т.е. ax(b+c) =
=
.
82
3). Если a и b коллинеарны, то axb=0. Равенство нулю
aиb
2
FBAM×=
b
a
векторного произведения двух векторов является необходимым и
достаточным условием их коллинеарности.
4). Векторное произведение в прямоугольных координатах
имеет вид:
kji
. (3.17)
ba =×
aaa
zyx
bbb
zzx
5). Модуль векторного произведения векторов
площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на
сторонах (см. формулу (3.16) и рис. 3.20). Полезной является и формула для площади треугольника:
равен
1
S
ABC
∆
6). Если сила F приложена к точке А, то ее момент M относительно точки В определяется по формуле:
3.8. Вычислить |axb|, если: 1) |a|=2, |b|=3,
∧
= 5, |
| = 3,
.
)b,a( = π/2; 3) |
По формуле (3.16) имеем:
| = |b| = 1,
×=
. (3.18)
∧
|ACAB|
)b,a( = π.
.
∧
◦
)b,a( =30
; 2) |a|
83
∧
2
2
axb
a
1) |axb|=|a|·|b|sin
2) |axb|=5·3·1=15; 3) |axb|=1·1·0=0, т.е. в последнем случае
перемножаемые векторы коллинеарны
. 3.9. Даны вершины треугольника А(2,-1,-3), В(0,2,-4) и
С(4,4,0). Найти: 1) его площадь, 2) высоту h, опущенную на сторону
ВС.
)b,a( =2·3·sin30
◦
=3;
S
1
ABC
∆
С другой стороны 133h6
2
S
ABC
∆
kji
132
133|k8j2i7|
=−+=−−=
352
1
1
h|BC|
=⋅⋅=⋅=
. Отсюда
13h = (ед.дл.).
∧
3.10. Известно, что |a|=4, |b|=5,
|axb|; 2) |ax(2a-b)|; 3) |(a+2b)x(3a-b)|; 4) (axb)2 +(a·b)2 .
1). По определению
∧
|=|a|·|b|sin
2) |
x(2a-b)|=|2axa-axb|=|axb|=10;
)b,a( =4·5·(1/2)=10;
◦
)b,a( =30
. Вычислить: 1)
84
3) |(a+2b)x(3a-b)|={раскрываем скобки и используем антиком-
2
2
S
c
2
2
мутативность векторного произведения}=|3axa+2bxa-axb-bxb| =
|3bxa| = |-30| = 30;
∧
4) (axb)2 +(a·b)2 = |axb|2 + (|a|·|b|cos
= 400.
3.11. Даны векторы a={1,-2,3}и b={2,0,-4}. Найти: 1) площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; 2) направ-
2
)b,a( )
= 100 + (4·5·
3
2
)
1
ляющие косинусы вектора b)b3a
3) (3a-4b)x(a+2b).
1). Используя формулу (3.17), сначала находим векторное
произведение этих векторов:
ba ++=
(c ×−= ;
kji
−=×
321
402
−
.k4j10i8
Тогда
найдем прямоугольные координаты вектора
= 56|k4j10i8||ba| =++=× (кв.ед.). 2). Сначала
пар
:
1
(c k2j5i4 ++ . Для нахождения
1
b)b3a
=×=×−= )ba(
85
его направляющих косинусов используем формулу (3.5):
BA
a+b
4
cos =γ=β=α
cos,
53
{раскрывая скобки} = 3axa- 4bxa+ 6axb- 8bxb = 10axb =
{80,100,40}.■
3.12. Сила F{3,-1,0} приложена к точке А(2,0,3). Определить
момент этой силы относительно точки В(3,-2,4).
Поскольку
5
cos,
3
= {-1,2,1}, то искомый момент M найдем
2
. 3). (3a-4b)x(a+2b) =
53
kji
по формуле (3.18):
3.48. Зная, что |a|=4, |b|=3 и
FBAM −+=
−=×=
Задачи и упражнения
121
013
−
∧
)b,a( =150
◦
, вычислить:
.
k5j3i
1)| axb|; 2)|( a+b)x(a-b)|; 3) |(3a-b)x(a+4b)|; 4) (axb)
- (a·b)2 .
3.49. Найти площадь параллелограмма, построенного на
∧
векторах 3
и a+2b, если |a|=5, |b|=8 и
86
)b,a( =30
◦
.
2
3.50. Известно, |a|=2, |b|=5 и a·b=8. Найти площадь
a+b+c
S
2
треугольника, построенного на векторах 3a+b и 3b- a.
3.51. Упростить выражения:
1) )kji(k)ik(jji ++×++×+× ;
2) )ji(k3)ik(j2)kj(i ×⋅++⋅+×⋅ ;
3) (2a+3b)x(3a+2b) + (a-6b)x(a-b);
4) (
(a·b)2.
3.52. Векторы a,b,c связаны соотношением a+b+c=
= 0. Доказать,что axb=bxc=cxa и выяснить геометрический
смысл этого результата.
3.53. Доказать, что площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах aи b, можно вычислить по формуле
)xc+(a+b+c)xb+(c-b)xa; 5) (axb)2 +
1
= )ba()ba(
пар.
площадь параллелограмма, если известны его диагонали:
1
−= и k3j4d
−×+ . Используя эту формулу, вычислить
j5i4d
2
−= .
87
3.54. Заданы векторы a={2,-1,3}и b={3,-2,1}. Найти коорди-
abc
abc
abc
наты векторов: 1) axb; 2) ax(2a-3b); 3) (a-2b)x(2a+b).
3.55. Зная вершины треугольника А(0,1,-1), В(2,-1,-4),С(4,1,5),
найти: 1) его площадь; 2) высоту СН.
3.56.В параллелограмме заданы три его вершины А(2,0,3),
В(6,-5,3), С(2,4,0). Найти: 1) его четвертую вершину; 2) его площадь;
3) длину перпендикуляра ВЕ, опущенного на диагональ АС.
3.57. В треугольнике с вершинами А(1,-1,2), В(5,-6,2), С(1,3,-1)
вычислить длину его высоты ВН.
3.58. Сила F= {3,-1,2} приложена к точке А(2,-4,6). Определить момент этой силы относительно точки В(4,-3,3).
7◦. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векто-
ров
Произведение трех векторов a,b,c вида (axb)·c называет-
ся их смешанным (векторно-скалярным) произведением. Иногда
это произведение векторов обозначается как
Свойства и приложения смешанного произведения:
1) (axb)·c = a·(bxc) = (cxa)·b≡
2)
3) смешанное произведение трех векторов в прямоугольных
координатах имеет вид:
= 0 , если векторы a,b,c компланарны;
.
;
88
aaa
abc
6
abc
abc
abc
a
zyx
cba = ; (3.19)
4) модуль смешанного произведения векторов a,b,c равен
объему параллелепипеда, ребрами которого служат эти вектора:
V
= |
пар
а объем пирамиды с теми же ребрами вычисляется по формуле:
bbb
zyx
ccc
zyx
|, (3.20)
1
=
V
пир
3.13. Найти |
векторы взаимно ортогональны.
Из условия задачи следует, что(axb)║c. Тогда |
|(axb)·c| = |(axb)|·|c|·|cos
|, если |a| = 2, |b| = 3, |c| = 4 и указанные
|
∧
× )c,ba( | = |
|. (3.21)
|·|b|·|c| = 24.
| =
3.14. Точки A(1,-2,3), B(0,-2,2), C(1,2,1) и D(3,1,2) служат вершинами пирамиды. Вычислить: 1) площадь ее грани АВС; 2) объем
пирамиды; 3) высоту hD , опущенной из вершины D на грань АВС.
. 1). Площадь грани АВС находим как площадь треуголь-
ника АВС:
89
S
1
3
3
c
1
ABC
∆
2) Для вычисления объема пирамиды используем формулу (3.21):
2
kji
−−=
−
1
101
2
240
3|k4j2i4|
=−−=
(кв.ед.).
132
−
V
пир
1
6
1
|DCDBDA|
==
6
−
.
3) Объем пирамиды может быть выражен и формулой:
V ⋅⋅=⋅=
{-3,5,-4} компланарны.
∆
3.15. Показать, что вектора a{5,3,0}, b{4,-1,2} и
Вычислим смешанное произведение данных векторов
cba =−=
1
hS
1
h3
DDABCпир
035
−=
214
453
−−
1
033
=
2
112
. Откуда
035
214
035
−
011
024
h = 1 (ед.дл.).
D
.
0
132
=
(ед.объема)
Следовательно, они компланарны.
3
.16. Проверить, лежат ли точки A(0,-3,1), B(1,0,2), C(3,4,0) и
(2,1,-1) на одной плоскости.
D
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]