Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
задача решается обычным симплексным методом, и решение
ik k n i
α β
− + = −
{
}
i
β
{
}
ik
α
i
β
ik
α
{
}
i
β
≥
B
завершается, если оптимальный план целочисленный. В противном случае к ограничениям (обычно к последнему фрагменту
симплексной таблицы, содержащей оптимальное решение) до-
n
бавляется новое ограничение
∑
k m
= +
{ }
1
x x
1
+
,
где
ния-ограничения, которое имеет наибольшую дробную часть
тоде.
на производственной площади в 46 м2, фирма выделила 24 млн. руб.
Экономико-производственные характеристики оборудования приведены в таблице 31.1.
Виды обору-
и
-дополнительная переменная, вводимая при симплексном ме-
10nx+
8.1. Для приобретения оборудования двух типов размещаемого
дования
Типа A
Типа
Требуется определить оптимальный вариант приобретения
- дробные части параметров
Стоимость единицы
оборудования,
млн./1 шт.
3 5 11
4 8 16
Занимаемая
площадь,
м2
и
того уравне-
Таблица 8.1
Производи-
тельность,
тыс. шт./за смену
,
оборудования, обеспечивающий максимальную производительность
выпуска продукции.
211
По данным задачи составим её экономико-математическую
1
x
2
x
(
)
11 16 max
, 0, , .
x x x x Q
+
3
x
4
x
(
)
11 16 0 0 max
3 4 24,
5 8 46 ,
, , , 0
≥
1 2
x x Q
+
(
)
2, , 0,0
модель. Обозначим через
рудования типа A и типа B соответственно. Тогда целевая функция
задачи имеет вид:
при ограничениях:
1 2 1 2
Введя дополнительные переменные
ведём к каноническому виду
L x x x x= + + ⋅ + ⋅ →X ;
и
- количество приобретаемого обо-
XL x x= + → ; (8.1)
1 2
3 4 24 ,
x x
+ ≤
1 2
5 8 46 ,
x x
+ ≤
1 2
(8.2)
≥ ∈
и
, задачу (8.1) - (8.2) при-
1 2 3 4
x x x
+ + =
1 2 3
x x x
+ + =
1 2 4
x x x x
1 2 3 4
Решение задачи приведено в таблице 8.2.В первых трёх симплексных
таблицах отыскивается оптимальное решение задачи без учёта его целочисленности. Это оптимальное решение оказывается нецелочислен-
ным:
использовался метод отсечения. В частности, начиная с 3-ей итерации,
9
2
. Далее для нахождения целочисленного решения
212
,
,
∈ .
вводилось новое ограничение (см. последнюю строку 3-ей симплекс-
(
)
0, 0,1
2 1 3
4
− = =
1
4
=
2
3
=
11 16
Б
С
б
С
B
1A2
A
3
A
4A1q2
q
3
A
4
A
1
9
5
354
k
∆
3
A
1
2
1
2
2
A
2345
8
1846
5
k
∆
5
A
.2
ной таблицы) и новый базисный вектор
элемент в новом ограничении отыскивался по формуле:
∆
min min ;
j
Оптимальное целочисленное решение задачи содержится в последней
симплексной таблице:
производительность выпуска продукции имеет максимальное
Номер
таблицы
1
0 24 3 4 1 0 8 6
0 46 5
j
α
ij
x
,
x
A = . Разрешающий
5
4 4
3 3
. При этом оптимальном плане
0 0
0 1
8
.
Таблица 8.2
2
0 1
16
0 -11 -16 0 0 -88
0 1
1 0
92 -1 0 0 2
Окончание табл. 8
213
-92
2
1
A
2
A
9
2
5
4
3
4
k
∆
3
5
A0 1
2
3
4
3-4
6
A
1
A
8
3
4
3
2
A
4
A
2
3
4
3
k
∆
280
3
4
3
6
A0 2
3
2-3
1
A
2
A
3
2
4
A
8
9
5
A
3
2
k
∆
(
)
4;3 11 4 16 3 92
= ⋅ + ⋅ =
11 2 1 0 2 -1 0
4
5
16
−
11
16 4 0 1 -2 0 1 0
0
−
11 4 1 0 3 0 0 -2
16 3 0 1 -2 0 0
0 1
94 0 0 2 1
0 0
1 0 3 0
0 0 1 1
0 0 1 0
0 0 0 0
−
−
0
1
−
−
0
0
1
значение, равное
0
0 1 0 0 0 0 1
L
0 0 1 1 0 -2
92 0 0 1 0 0 2
тыс.ед./за смену.
214
−
Задачи и упражнения
(
)
3 2 max ;
(
)
2 5 3 max ;
(
)
3 7 max ;
(
)
6 5 max ;
Решить задачи линейного целочисленного программирования.
8.2. 8.3
xL x x
= + →
1 2
2 6 ,
x x
8.4. 8.5.
8.6. (Задача о рациональном раскрое). В цехе заготовки длиной 50 см.
используются для изготовления изделий двух видов: длиной 20 см. и
12 см. соответственно. Суточные нормы выпуска этих изделий долж-
− ≤
1 2
3 2 2 ,
x x
− + ≤
1 2
2 10 ,
x x
+ ≤
1 2
, .
x x Q
∈
1 2
XL x x
= + →
1 2
2 5 20 ,
x x
+ ≤
1 2
4 8 38,
x x
+ ≤
1 2
, .
x x Q
∈
1 2
+
+
XL x x x x
= + − + →
1 2 3 4
3 8 ,
x x x
+ + =
1 2 4
x x x
+ + =
2 3 4
, , , .
x x x x Q
1 2 3 4
L K x x
= + →
1 2
3 2 9 ,
x x
− ≤
1 2
x x
− + ≤
1 2
, .
x x Q
1 2
15,
∈
4 12 ,
+
∈
+
ны составить не менее 50 и 80 единиц.
Какое минимальное число заготовок нужно использовать, чтобы выполнить суточный план?
215
Расчетное задание
n
L
max
3 0,
2 7,
2 8,
0, 0.
− + ≥
≥ ≥
L
3 min
1,
2 4,
2 7,
0, 0.
− ≥ −
≥ ≥
L
4 2 max
L
6 2 min
по теме
«Линейное программирование»
Задания
1. Решить геометрическим методом ЗЛП: а) с двумя пе-
ременными (табл.1); б) с
2. Решить методом искусственного базиса ЗЛП (табл.2).
3. Решить симплексным методом ЗЛП (табл.3).
4. Решить методом потенциалов транспортные задачи по
критерию минимальной стоимости перевозок (табл.4).
5. Решить задачи п.4 (табл.4), как задачи с ограничения-
ми, если величины ограничений приведены в табл.5.
6. Решить методом потенциалов транспортные задачи по
критерию минимального времени перевозок (табл.6).
переменными (табл.2).
Таблица 1
№
1
3
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
Задачи
216
№
2
4
(Х)=
x x− → ;
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x− − → ;
Задачи
1 2
2 2,
2 7,
2 5,
0, 0.
x x
≥ ≥
3,
4 0,
2 0,
0, 0.
≥ ≥
L
2 5 max
2 3 6,
5,
0, 0.
+ ≥
≥ ≥
L
2 min
4 3 3,
6,
4 3 3,
0, 0.
− + ≥ −
L
5 6 max
2 6,
2 10,
0, 0.
− + ≤
≥ ≥
L
2 7 min
3,
2 0,
3,
0, 0.
− + ≥
≥ ≥
L
2 max
3 2 0,
2 4,
0, 0.
− + ≥
L
2 3 min
3 5,
2 4,
8,
0, 0.
− ≤ −
≥ ≥
L
4 2 max
L
2 5 min
− ≤
1 2
x x
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
+ ≤
x x+ → ;
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
− ≥
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x− → ;
1 2
5
7
9
x x
1 2
x x
+ ≤
1 2
3,
x
≤
2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
1 2
6,
x
≤
1
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
1 2
x x
− + ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
≥ ≥
1 2
(Х)=
5,
x x− + → ;
1 2
6
8
10
x x
− ≤
1 2
x x
− + ≤
1 2
x x
1 2
x x
≥ ≥
1 2
(Х)=
x x
+ ≥
1 2
x x
1 2
x x
− + ≥
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x− → ;
1 2
x x+ → ;
1 2
x x− → ;
1 2
1
1
217
1
2
2 1,
4,
2 2,
0, 0.
x x
− + ≤
≥ ≥
0,
3 3,
2 1,
0, 0.
− + ≥
− + ≤
≥ ≥
L
2 2 max
5,
3 1,
2 2,
0, 0.
− + ≤
≥ ≥
L
3 min
0,
2 3,
2 3 6,
0, 0.
+ ≥
≥ ≥
L
2 max
2 2,
0 3, 0.
≤ ≤ ≥
L
3 min
2 2,
2 3,
2 6,
0, 0.
≥ ≥
L
2 max
2 4,
2 4,
2 6,
0, 0.
− + ≤
≥ ≥
L
min
0 4, 0.
≤ ≤ ≥
L
3 4 max
L
min
x x
+ ≤
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
1 2
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
x x
x x
1 2
1 2
1 2
13
15
17
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
− + ≤
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
14
1,
16
4,
18
(Х)=
x x− − → ;
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x− → ;
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
2 4,
x x
+ ≥
1 2
2 4,
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
6,
1
9
(Х)=
x x+ → ;
1 2
218
(Х)=
x x− → ;
1 2
2
0
3 2 6,
3 7,
2 4 8,
1, 0.
x x
+ ≥
− ≥ −
− ≤
≥ ≥
6,
2 0,
1 3,
− ≤
L
2 max
1,3,8,
2 5,
1 4.
− + ≤
L
min
0 4, 0.
≤ ≤ ≥
L
6 3 max
2,
10,
2 8,
2 3 16
0, 0.
− + ≥ −
L
5 3 min
2 3 12,
3 0,
2 4,
2 3 0,
0, 0.
L
7 max
4,2,5 0,
0, 0.
− ≤ −
≥ ≥
L
2 6 min
2 6 12,
− + ≥ −
1 2
x x
1 2
x x
1 2
x x
1 2
x x
1 2
x x
1 2
≤ ≤
x
2
+ ≤
x
1
0.
≥
21
≤ ≤
23
≥ ≥
25
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
1 2
x x
− ≤
1 2
x x
+ ≤
1 2
x
≤ ≤
1
x
2
(Х)=
x x− → ;
1 2
x x
− ≥ −
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
1 2
x x
+ ≤
1 2
x
− ≤
1
x x
1 2
22
24
26
(Х)=
x x+ → ;
1 2
2 4,
x x
+ ≥
1 2
2 4,
x x
+ ≥
1 2
x x
− ≥ −
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
1 2
(Х)=
x x+ → ;
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
− + ≤
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
≥ ≥
1 2
(Х)=
x x− → ;
1 2
x x
1 2
2 0,
0, 0.
4,
x x
+ ≥
1 2
x
− ≥
1
x x
≥ ≥
1 2
4,
6,
219
Таблица 2
L
4 4 max
2 5 21,
L
3 min
2 4 13,
L
2 2 max
3 7 2 17,
4 3 11,
− − − = −
L
2 3 min
3 9,
2 2,
− − = −
L
3 max
4 2 4,
2 3 2 2,
− + + =
− + =
L
3 2 4 min
2 3 4,
2 2,
+ − =
6 3 6 2 max
3 2 5 12,
4 3 0,
− + + + =
7 6 5 max
2 4,
+ + + =
6 4 2 max
6 10 7 min
№
(Х)=
− + + =
1
3
x x x x
x i
i
(Х)=
x x x x
x x x x
1 2 3 4
x i
i
(Х)=
5
x x x
x i
i
Задачи
x x x+ + → ;
1 2 3
3 6,
x x x
1 2 4
+ + + =
1 2 3 4
0, 1,4.
≥ =
x x x+ + → ;
2 3 4
+ − + =
1 2 3 4
0, 1,4.
≥ =
x x x− + + → ;
1 2 4
x x x
1 2 4
1 2 3
0, 1,4.
≥ =
№
(Х)=
x x x x
1 2 3 4
2
x x x
2 3 4
x i
≥ =
i
(Х)=
x x x
1 2 4
4
x x x
1 3 4
x i
≥ =
i
(Х)=
x x x+ − →
1 3 4
6
x x x
1 2 4
x x x
2 3 4
x i
≥ =
i
Задачи
x x x− − →
1 2 4
+ + + =
2 3 9,
− + =
0, 1,4.
x x x+ − → ;
1 2 4
+ − =
0, 1,4.
− + =
0, 1,4.
x x x x− + − + →
1 2 3 4
x x x x
7
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
1 2 3 4
0, 1,4.
x i
≥ =
i
x x x x− + + + →
1 2 3 4
220
x x x+ + → ;
2 3 4
x x x
+ + =
2 3 4
8
x x x x
1 2 3 4
0, 1,4.
x i
≥ =
i
x x x− + → ;
1 2 4
2,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]