Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
20. Если величины
i
β
ik
α
k m
>
k
x
i
−
k
x
ik
α
1, ,
i m
ik
α
k
x
k m
>
lk
α
ik l l
lk lk
α β β
α α
L
,
k k
q
γ β
lklk
β
α
q L L
= ∆ =
0, 1, ,
i m
min .
k
q
β β
= =
k k
q
γ
r r
q
γ
k
x
i
β
i
β
и
,
имеют разные знаки, то
перевод
решению, т.е. перевод переменной
тя бы один из коэффициентов
осуществляется из того уравнения, где
уравнения (следовательно,
преобразуются по формулам:
(х2)=
из
го уравнения в основные приводит к недопустимому
> 0,
30. При переводе переменной
> 0) правая часть и целевая функция
′ ′
β β β
= − ≠ = ;
i i l
k l
γ γ γ
+ = + где
α
lk
q
= , а
в основные возможен, если хо-
= причем этот перевод
> 0.
(
) в основные из l-го
, ;
i l
γ
k k k
(х2)-L(х1)-
приращение целевой функции, которое она получила в результате перехода к новому опорному решению х2.
Новое решение х2 будет допустимым, если
′
β
≥ = т.е.
i
α α
40. Если
уравнения, для которого выполнено условие (5.11).
5
переменных из тех уравнений, где
l i
1,
i m
=
lk ik
0
. Если некоторые из
(5.11)
=
max
0
γ
>
r
, то в основные переводят
из l-го
<0, то сначала совершают переход
отрицательны.
111
60. Аналогично решается и задача на минимум, где перевод
0
<
k
x
k k
q
γ
r r
q
γ
, 1,
x j n
переменных осуществляется только в том случае, если некоторые из
γ
торой величина
. При этом для перевода выбирают ту переменную
r
=
min
γ
<
r
.
0
, для ко-
5.3. Упрощенная схема симплексного метода решения ЗЛП
Основная идея симплексного метода состоит в целенаправленном переборе опорных решений, в результате которого осуществляется переход от одного опорного решения к другому, при котором целевая функция получает наибольшее изменение (наибольшее приращение при задаче на максимум и наименьшее приращение при задаче на
минимум).
При упрощенной схеме симплексного метода систему ограничений и целевую функцию
записывают, как и в методе Жордана-Гаусса, в виде таблицы, на пер-
вой строке которой помещают переменные системы
= , а на
j
последней - коэффициенты целевой функции (см. таб. 5.1.).
Алгоритм упрощенной схемы симплексного метода состоит в
следующем.
10. Составляют симплексную таблицу и проверяют, чтобы
все свободные члены системы ограничений были положительны. В
противном случае, обе части соответствующего уравнения умножают на (-1).
112
20. Используя преобразования Жордана-Гуасса, систему при-
r
x
0
>
i
ir
β
α
l
lk
β
α
lk r r
L q
γ
lk
α
l
−
k
−
l
x
k
x
r
q
lk
L
∆
водят к разрешенному виду с ортонормированным базисом и выписывают полученное опорное решение.
30. Если все коэффициенты целевой функции имеют один и
тот же знак, то найденное опорное решение оптимально: оно доставляет целевой функции максимум, если все знаки «-» (минимум, если «+»).
48. Если хотя бы один из знаков коэффициентов целевой функ-
ции положителен (отрицателен), то найденное решение не оптимально и нужно перейти к другому опорному решению (улучшенному).
50. С этой целью для каждой небазисной переменной
которой коэффициент целевой функции
lim
q
= и max
r
1,
i m
=
минимум находят min
L q q
∆ = = = (при решении задачи на
lk r r k k k
γ γ γ
r
∆ = ) и совершают преобразование
r
γ
r
Жордана-Гаусса с разрешающим элементом
чении
ных переменных вместо переменной
денные величины
ой строки и
и
го столбца, т.е. в старую систему базис-
вводят переменную
записывают в соответствующих столб-
цах симплексной таблицы (см. таб.5.1).
60. Проверяют на оптимальность полученное опорное реше-
ние: а) при выполнении условий п.3
0
решение задачи завершается; б)
, при
, вычисляют величины
,стоящего на пересе-
. Най-
113
при выполнении условий п.40 решение задачи продолжается, т.е. по-
0,
=
.
ls
α
0 ( 0)
> <
0,
<
1,
i m
.
K
L
+ + →
2 10,
2 2 6,
2 3 12,
+ + ≤
0, 1,2,3.
4 5
,
x x
6
,
x
L
+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ →
вторяют действия, рекомендованные в п.50-60.
70.Если при выполнении условий п.30 некоторые из коэффици-
ентов целевой функции равны нулю, например
γ
то решение ЗЛП
s
неоднозначно, ибо в этом случае исследуемая система имеет новое
оптимальное решение, которое можно найти методом Жордана-
Гаусса с разрешающим элементом
Общее же решение задачи
представляется как выпуклая линейная оболочка уже найденных ре-
0
шений (см. п.3
80. Если при выполнении условий п.40
α
ir
вой функции в многограннике
утверждения).
γ γ
r r
и все
= , то ЗЛП не разрешима из-за неограниченности целе-
5.2. Решить ЗЛП:
(х)=
4 3x x x
1 2 3
x x x
+ + ≤
1 2 3
x x x
x x x
2 3
1
+ + ≤
1 2 3
max;
x j≥ =
j
Введя дополнительно положительные переменные
ЗЛП приведем к канонической форме:
(х)=
4 3 0 0 0x x x x x x
1 2 3 4 5 6
и
max;
114
2 10,
2 2 6,
2 3 12,
+ + + =
0, 1,6
1x2x3x4x5x6
x
b
1q2q3
q
L
4 5 6
, , .
x x x
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
x x x x
2 3 5
1
+ + + =
1 2 3 6
Решение этой задачи по упрощенной схеме симплексного ме-
тода приведено ниже в таб. 5.1:
x j≥ = .
j
Таблица 5.1
1 1 1 0 0 10
2
1 2 2 0 1 0 6 6
5
10 10
3 3
1 2 3 0 0 1 12 12 6 4
4 1 3 0 0 0
20 3 9
1 1/2 1/2 1/2 0 0 5 10
0 3/2 3/2 -1/2 1 0 1
2/3
0 3/2 5/2 -1/2 0 1 7 14/5
0 -1 1 -2 0 0 -20
1 0 0 2/3 -1/3 0 14/3
0 1 1 -1/3 2/3 0 2/3
0 -1 0 1\3 -5/3 1 16/3
0 -2 0 -5/3 -2/3 0 -62/3
Каноническая форма исследуемой ЗЛП представляет собой
разрешенную систему с ортонормированным базисом, соответствующим основным переменным
Поскольку коэффициенты целе-
вой функции при неосновных переменных положительны (соответст-
115
венно равны 4, 1 и 3), то опорное решение х1=(0,0,0,10,6,12) не опти-
11
L
∆
2
=
1
=
3/ 2
max
L
− + + →
2 4,
2 6,
+ + =
+ + =
0, 1,4
мально. При переходе к новому опорному решению целевая функция
получает максимальное приращение
разрешающего элемента взять
α
11
=5⋅4=20, если в качестве
(в таблице разрешающие эле-
менты выделены и необходимые вычисления произведены в последних 3-ех столбцах первого блока).
Второй блок таблицы является результатом преобразования
Жордана-Гаусса. Найденное улучшенное опорное решение
=(5,0,0,0,1,7) также неоптимальное, ибо коэффициент целевой
х
2
функции
α
23
γ
>0. Используя в качестве разрешающего элемента
3
= , переходим к новому опорному решению. Результаты пре-
образования Жордана-Гаусса приведены в третьем блоке таблицы.
Найденное опорное решение х3=(14/3,0,2/3,0,0,16/3), оптимально, ибо
выполняется критерий оптимальности ЗЛП - все коэффициенты целевой функции при небазисных переменных отрицательны (соответст-
венно. -2,-5/3,-2/3).
(х)= =L(х3)=62/3.
x
плексного метода и оно представлено в таблице 5.2:
Рассмотрим ЗЛП, где нарушается единственность решения.
5.3. L(х)=
x x x
1 3 4
x x x
2 3 4
1 2 3 4
5x x x x
x j≥ = .
j
max;
Решение задачи проводилось по упрощенной схеме сим-
116
Таблица 5.2
1x2x3x4
x
b
1q3q4
q
8,
∆ =
2.
=
0.
=
2/ 3.
1 0 1 2 4 4
0 1 2 1 6
0 0 2 4 2 6
3
2
6
8
1/2 0 1/2 1 2 4 4
-1/2 1 3/2 0 4 -
8/3
-2 0 0 0 -6 -8 0
2/3 -1/3 0 1 2/3
-1/3 2/3 1 0 8/3
-2 0 0 0 -6
Опорное решение задачи х1=(4,6,0,0), соответствующее 1-му
блоку таблицы, не оптимально, ибо коэффициенты целевой функции
положительны. Улучшенное опорное решение получит наибольшее
приращение
в качестве разрешающего элемента
L
если при преобразовании Жордана-Гаусса взять
14
α
14
Результаты преобразова-
ния приведены во 2-ом блоке, где найденное опорное решение
х2=(0,4,0,2) является оптимальным, но не единственным, ибо коэффициент целевой функции при неосновной переменной
γ
2
Второе
оптимальное решение получим, если во втором блоке таблицы провести преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом
α
= Результаты этого преобразования записаны в третьем бло-
22
117
ке с оптимальным опорным решением х3=(0,0,8/3,2/3). Другие опти-
[
]
=
(1 )
t
−
+ →
2 4, , 0.
− ≤ ≥
L
+ + + + →
1,
2 4,
2 2,
− + + =
0, 1,5.
5 0.
= >
мальные решения задачи заполняют отрезок
х2 и х3 – уже найденные оптимальные решения.
Рассмотрим ЗЛП, когда она не имеет решения в виду неограниченности целевой функции.
5.4. L(х)=
x x
+ ≥
1 2
x x x x
1 2 1 2
2 2 2,
x x
− + ≤
1 2
Введя дополнительно положительные переменные, эту за-
дачу запишем в канонической форме:
(х)=
1 2 3 4 5
x x x
+ − =
1 2 3
x x x
− + =
1 2 4
x x x
1 2 5
2x x
1 2
max;
1,
2 0 0 0x x x x x
x j≥ =
j
max;
,x x
2 3
х2+t х3,
Решение этой задачи по упрощенной схеме симплексного мето-
да представлено в таблице 5.3.
Опорное решение, найденное из третьего блока таблицы (как и
опорные решения других блоков), не являются опорными, ибо коэффициент целевой функции
ного решения нужно совершить преобразование Жордана- Гаусса
γ
1
Поэтому для улучшения опор-
118
Таблица 5.3
1x2x3x4x5
x
b
1q2q3
q
L
1 1 -1 0 0 1 1
1
1 -2 0 1 0 4 4 -
-2 0 1 0 1 2 - 2
1 2 0 0 0
1 2
1 1 -1 0 0 1 1 3 0 -2 1 0 6 3 -
-3 0 1 0 1 1 - 1
-1 0 2 0 0 -2
-2 1 0 0 1 2 -
-3 0 0 1 2 8 -
-3 0 1 0 1 1 5 0 0 0 -2 -4
с разрешающим элементом из первого столбца таблицы, что невозможно сделать, ибо все элементы этого столбца отрицательны. Следовательно, поставленная ЗЛП не разрешима из-за неограниченности
целевой функции.
119
5.4. Симплексный метод решения задач
k
A
k i ik k
c c
∆ = −
()()(
)
k k
∆ = − = − ∆
k
A
, 1,
c j n
j
A
, 1,
j n
линейного программирования
Основным методом решения задач линейного программирования является симплексный метод, называемый ещё методом последовательного улучшения плана. Он состоит в выполнении следующих
последовательных операций.
10. Приведение задачи линейного программирования к канони-
ческому виду.
0
.Нахождение начального опорного решения с ортонормиро-
2
ванным базисом и представление векторов системы с помощью этого базиса.
30. Вычисления оценок векторов системы
m
ного решения по формуле
приращения целевой функции
лученного ею в результате перевода вектора
40. При составлении симплексной таблицы используют видо-
измененную форму таблицы упрощенной схемы симплексного метода
со следующими изменениями (см. таб.5.5): а) на первой строке поме-
щают коэффициенты
строке - векторы условий
= целевой функции; 2) на второй
j
α
∑
1
i
=
L L L q
x x x , по-
- (симплекс-разность) и
2 1 0
= ; 3) на последней строке каж-
по базису опор-
в базис.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]