Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
a...aa
n
E
AA
A
A11=
=
~
n11211
a...aa
n22221
A =
.
............
a...aa
nn2n1n
1, ji, , )a(A
Квадратная матрица
денной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля. В
противном случае матрица называется вырожденной (особенной).
Матрица A-1 называется обратной матрице A , если выполняется условие:
ij
==
называется невырож-
−−
Каждая невырожденная матрица
ратную матрицу A-1, которая определяется по формуле:
ij
A...AA
1
A
−
1
=
A
где
ходной матрицы. (Необходимо отметить особое расположение элементов обратной матрицы относительно их индексов). Матрица
рице A.
ij
ji
1
.12. Найти матрицу, обратную матрице
=
==
- алгебраические дополнения элементов ис-
n1, ji, , A
называется присоединенной матрицей к мат-
n1, ji, , )A(A
A...AA
............
A...AA
==
1n2111
2n2212
, (1.9)
nnn2n1
имеет об-
n1, ji, , )a(A
21
120
.
103
−−=112
A
Поскольку |A| = 5, то матрица A – невырожденная и,
следовательно, для нее существует обратная матрица. Ее находим по формуле (1.9):
1
−
1
=
A
5
1.1. Вычислить: 1) 4А + 2В ; 2) АВ – ВА ; 3) А2 – В2 ;
4) (2А)n + Bn , если:
1.2. Вычислить: 1) А + В ; 2) 4А + 3В ; 3) 3В – 2А , ес-
ли
−
231
−
321
−
643
=
Задачи и упражнения.
A
41
=
10
=
B ;
1
5
1
5
3
5
3
5
2
−
5
4
5
12
.
20
2
−
5
.
3
5
6
−
5
22
2 0 5 1 4 0
0 5 1 6 4 1 3 1 2 3
2) 2 1 , 4 2 ; 3) 1 2 3 , 2 0 5 .
3 2 0 3 0 5 2 7 1 3
− − −
2 3 1 5 2 4 1 sin cos
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
α α
α α
1) , ;
A B A B
= = = − = −
A B
= =
−
− −
1 3 2 2 3 4
−
1.3. Вычислить определители 2-го порядка:
− − −
1 5 2 3 1 3 2 1 cos sin
. 1
.4. Вычислить определители, используя разложение по
a b x x
b a x
− + −
строке или столбцу:
110
1)
, разлагая по элементам 1-ой строки;
101
011
931
2)
−
, разлагая по элементам 2-го столбца;
402
121
−
941
3)
, разлагая по элементам 3-ей строки.
321
111
1.5. Вычислить определители, упростив их, если нужно:
23
022
)1
120
)2 ;
aax
axa
)3 ;
−−
321
;
125
)4
1.6 Найти x из уравнений:
12x
)1
AA-1 = E , если:
A)1
−−
=
23
1.7. Вычислить A-1 и проверить справедливость равенства
32
=
21
1.8. Даны матрицы
124
1111
−
−
−
)2 ;0
−
A )2 ;
=
4322
4333
4444
−
x1x
21x
53
42
xaa
)5 ;
−
−
111
)3 ;0
A )3 ;
3x2
2
9x4
=
)4 ;0
==
001
322
213
432
5442
10274
.
10724
2340
+
A )4 ;
=
4012x
.0
xx3
=
−
312
−
356
.
232
123
201
A =
дительном ответе – найти ее; б) найти матрицу ABC и проверить
−=
Выяснить: а) имеет ли матрица A обратную. При утвер-
−
432
011
B ,
0
2
=
1
−
24
( )
.
424C ,
выполнение ассоциативного закона умножения матриц: A(BC) =
λ
−
−
−
(AB)C ; в) вычислить r(ABC).
1.9. Вычислить матрицу (AB)′ + (AB)-1–14E где
32
и Е – единичная матрица.
10
21
A
B
=
021
=
,
530
1.10. При каких значениях λ матрица A является вырож-
денной, если
02
?
102
14
A
−
=
λ
1.11. Найти ранги матриц:
321
−
)1
024
−
−
120
144
)2 ;
654
987
121110
)3 ;
−
1320
.
0412
11104
2640
1.12. Определить максимальное число линейно независи-
мых строк матрицы:
3143
−−
−
.
2242
1121
−−
1032
25
1.13. Обувная фабрика выпускает изделия трех видов: сапоги, кроссовки и ботинки. Норма расхода сырья, необходимое
для производства одной пары обуви, себестоимость каждого вида сырья и ежедневный план выпуска изделий известны и приведены ниже в таблице.
Используя матричный анализ, найти:
1) затраты сырья каждого вида (в усл.ед);
2) общие затраты на сырьё (в ден.ед.).
Виды из-
делий
Сапоги 150 6 3 2
Кроссовки 200 3 2 1
Ботинки 120 4 1 1
Себестоимость сырья 4 2 3
1.14. Ниже в таблице приведены данные о дневной производительности четырех предприятий, выпускающих три вида
Количество
изделий (пар)
Нормы расхода сырья
(усл.ед.)
1 2 3
26
продукции с использованием трех видов сырья, а также для ка-
α
ждого предприятия указано число рабочих дней в году.
Требуется определить:
1) годовую производительность каждого предприятия по
каждому изделию;
2) годовую потребность каждого предприятия по каждо-
му виду сырья;
3) годовую сумму кредитования каждого предприятия
для закупки необходимого объема сырья.
Виды
изде-
лий
Производительность
(изд./день)
Затраты сырья
(ед.веса/изд.)
1 2 3 4 1 2 3
1 5 0 6 4 3 4 2
2 0 6 2 8 4 6 5
3 5 6 3 0 6 8 5
Количество рабочих дней Цена ед. сырья
250 260 280 240 50 40 60
1.15. Доказать следующие равенства:
1
)A( )2 ; AB)AB()1
=α=
′
=
1111111
−−−−−−−
′
.
BAAB )4 ; )A()A( )3 ; A
⋅=
27
1.16. Доказать, что если соответствующие операции оп-
ределены, то:
1) rang(AB) ≤min{rang(A), rang(B)};
2) rang(A+B)≤rang(A)+rang(B) ;
3) если, кроме того, матрица A невырожденная, то:
rang(AB)= rang(B) ; rang (CA) = rang(C).
28
2. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
∈
∈
УРАВНЕНИЙ
Многие прикладные задачи, в том числе и
экономические, приводятся к решению систем
линейных алгебраических уравнений.
2.1. Основные определения
Система уравнений вида:
или в компактной форме записи
=+++
,bxa ... xaxa
1nn1212111
=+++
,bxa ... xaxa
2nn2222121
(2.1)
... ... ... ... ...
=+++
bxa...xaxa
mnmn22m11m
n
m1,i , bxa
∑
1j
=
называется системой m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными, где Ra,...,a,a
Rb,...,b,b
m21
темы).
Решением системы (2.1) называется совокупность чисел
(x1, x2, …, xn), которая, будучи подставлена в систему, обращает каж-
дое уравнение системы в тождество. Система (2.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система (2.1) несовместна, если она не имеет решений.
- свободные члены (правые части уравнений сис-
==
ijij
mn1211
- коэффициенты системы,
(2.2)
29
Совместная система (2.1) называется определенной, если она
имеет единственное решение и неопределенной, если имеет более
одного решения.
Если в системе (2.1) все правые части уравнений равны нулю
(
i
ществует хотя бы один свободный член в уравнениях, то система называется неоднородной.
совместна и определенная, т.к. имеет единственное решение
(1,2) ;
шений) ;
ная, т.к. имеет более одного решения (вернее, имеет бесконеч-
==
2.1. а) неоднородная система уравнений
б) система
в) система
), то система называется однородной. Если су-
m1,i , 0b
21
=−
,4xx2
21
21
=−
21
21
несовместна (не имеет ре-
=−
5x3x6
,4xx2
совместна и неопределен-
=−
12x3x6
21
5x2x
=+
,
=−
1xx3
ное множество решений).
Две линейные системы из m уравнений с n неизвестными называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одни
и те же решения.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]