Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Откуда следует, что
11 22 12 21
a a a a
−
11 22 12 21
a a a a
−
3 3
3 3
−
11 22
3
= = −
12 21
3
= =
1
2
= = = =
0
ν
=
1 1
,
2 2
n
n
m m mn
⋅ ⋅ ⋅
a a
q
=
1
22 12
+ − −
,
q
=
2
a a
11 21
+ − −
. (9.12)
9.5. Найти оптимальное решение игры «чёт-нечёт» с пла-
−
тёжной матрицей
A
=
(см. пример 9.1).
Для нахождения оптимальных стратегий игроков и це-
ны игры, используем формулы (9.11) - (9.12), положив в них
a a
и
a a
. Имеем:
p p q q
1 2 1 2
, т.е. чтобы никто из игроков не проиграл (цена игры равна
нулю!), противники должны применять смешанную стратегию
S S
= =
A B
.
9.3. Решение матричных игр методом
;
Пусть некоторая матричная игра с платёжной матрицей
a a a
11 12 1
a a a
21 22 2
=
A
a a a
1 2
линейного программирования
L
L
не имеет седловой точки. Тогда её реше-
L
L
241
нием являются смешанные стратегии
(
)
A m
S p p p
(
)
B n
S q q q
Aи B
min
1
≥
1,
j n
0
= ≥
1,
i m
1
ν
=
max
1
≤
1,
i m
0
= ≥
1,
j n
1
ν
=
1
A
2
A
3
A
1
B
2
B
3
B
4
B
, , ,
= K . Причём для оптимальной стратегии игроков
1 2
должны выполняться условия (9.9) и (9.6), что равносильно ре-
шению двойственной ЗЛП:
m
L x
= →
X : (9.13)
m
∑
=
i
( )
a x
1
ij i
∑
i
1
i
=
,
= , (9.14)
, , ,
= K и
1 2
m
x
∑
i
1
i
=
n
= →
∑
j
1
j
=
,
= , (9.16)
n
∑
1
j
=
и
; (9.15)
y
.
i
,
где
где
p
i
x
,
i
ν
q
j
y
ν
j
= ,
F Y y
( )
n
a y
∑
ij j
1
j
=
,
= ,
9.6. Предприятие выпускает три вида продукции:
. Прибыль, получаемая от реализации выпускаемой продук-
ции, зависит от спроса, который может находиться в одном из
четырёх состояний
,
,
и
. Зависимость между при-
,
242
былью предприятия и спроса задана с помощью матрицы A (см.
ij
a
2 9 4 10
8 3 6 3
4 7 5 7
3 3
×
формулу (9.17)), где её элементы
характеризуют величину
прибыли, получаемую предприятием от реализации i-ой продукции при j-ом состоянии спроса.
A
=
(9.17)
Определить оптимальный план (стратегию) выпуска продукции, который гарантирует среднюю величину прибыли при
любом состоянии спроса.
Легко усмотреть, что задача сводится к игровой моде-
ли с участием предприятия A и спроса B с платёжной матрицей A. Анализируя платёжную матрицу A, замечаем, что она
допускает некоторые упрощения. В частности, поскольку элементы последнего столбца больше элементов второго, то последний столбец отбрасываем, ибо стратегия, соответствующая
этому столбцу, для игрока B является явно невыгодной по
сравнению со второй. Получаем игру размерности
с пла-
243
тёжной матрицей
2 9 4
8 3 6
4 7 5
{
}
max 2,3, 4 4
= =
{
}
min 8, 9,6 6
= =
α β
≠
(
)
min ;
2 8 4 1,
9 3 7 1,
4 6 5 1,
(
)
max ;
0, , , ,0, 0
1
ν
=
A
=
1
.
Поскольку
нижняя и верхняя цены игры не совпадают (т.е.
вательно, рассматриваемая задача не имеет седловой точки, и
она может быть сведена к следующей паре двойственных задач
линейного программирования:
Задача 1. Задача 2.
XL x x x
= + + →
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
x x x
+ + ≥
1 2 3
, , 0.
x x x
1 2 3
Поскольку для второй задачи проще построить её первое
опорное решение, то решаем вторую задачу. Решение этой зада-
α
≥
и
β
YF y y y
= + + →
1 2 3
2 9 4 1,
y y y
+ + ≤
1 2 3
8 3 6 1 ,
y y y
+ + ≤
1 2 3
4 7 5 1 ,
y y y
+ + ≤
1 2 3
, , 0 .
y y y
1 2 3
≥
, то
) и, следо-
чи проведено в таблице 9.3 симплексным методом. Последний
фрагмент таблицы содержит оптимальное решение задачи
∗
Y
=
1 4 2
27 27 27
. При этом линейная. форма
244
YF
( )
1 1 1 0 0 0
Б
б
С
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6A
1
q
2
q
3q
4
A
1
2
1
9
1
4
5
A
1
8
1
3
1
6
6
A
14171
6
k
∆
1
8
−
1
9
−−1
6
4
A
131
10
−
2
3
−
1
21
3
A
16431
2
1
6
1
12
6
A
168
3
−92
5
6
−1 1
27
k
∆
16131
2
−
1
6
1
54
−
4
A
22722
27
172714
9
−
3
A
42744
27
7271
9
−
2
A
12716
27
5
27
2
9
k
∆
52728
27
2
27
1
9
Таблица 9.3.
B
0 1 2 9 4 1 0 0
0 1 8 3
6
0 1 0
0 1 4 7 5 0 0 1
0 -1 -1 -1 0 0 0
0
1
0
0
7 0 1
1 0
0 0
0 0
0 0 1
0
0
0
1
1
0 1 0
−
1 0 0
−
0 0 0
245
имеет максимум, равный
5
27
27
5
4
A
5
A
6
A
1
0 0 0
= − =
2 2
27 27
1 1
9 9
= − =
i i
p x
= ⋅
1, 2, 3
=
27 1 27 1 27 2 3
0 , , 0, ,
5 27 5 9 5 5 5
2 3
0, ,
5 5
2
A
3
A
1
A
. Следовательно, цена игры пары
двойственных задач
ν
= . Решение двойственной задачи (т.е.
задачи 1) находим из последней строки таблицы (оно находится
под начальными ортонормированными векторами
x
По формуле
;
x = − = ;
2
ν
,
i
0
x
3
находим оптимальную смешан-
,
,
):
0
.
ную стратегию 1-го игрока (предприятия):
S
= ⋅ ⋅ ⋅ =
A
,
т.е. чтобы предприятие получало гарантированную среднюю
прибыль при любом состоянии спроса, оно должно придержи-
ваться оптимальной стратегии
S
=
A
, т.е. продукцию
выпускать в следующей пропорции: 40% продукции вида
,
60% - вида
Для игр, заданных ниже платёжными матрицами, определить
нижнюю и верхнюю цены, минимаксные стратегии, а при существовании седловой точки и оптимальные решения игры.
, а продукцию вида
вообще не выпускать
Задачи и упражнения
246
6 8 2
4 5 4
7 6 5 .
3 2 4 1
5 2 0 3
1 3 6 2 .
−
9 7 5
3 0 2
11 8 1 .
8 7 11 5
5 9 2 4
4 5 7 7 .
3 2
1 4 .
2 3
4 1 .
5 0
1 4 .
9.7.
9.8.
−
9.9.
Найти решение игр, заданных следующими платежными матрицами
9.10.
−
9.11.
9.12.
−
9.14. Найти решения игр, платёжные матрицы которых приведены в
примерах 9.2 и 9.4, сведя их к задачам линейного программирования.
9.13
−
247
Список литературы
1. Болгов В.А., Демидович В.П. и др. Сборник задач по математике.
Линейная алгебра и основы математического анализа. М.: Наука,
1986.
2. Бугров С.Я., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. М.: Наука, 1984.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций.- М.: Сов. Радио, 1972.
4. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, мето-
дология. – М.: Наука, 1980.
. Кремер Н.Ш. и др. Исследование операций в экономике: Учебное
5
пособие. – М.: ЮНИТИ, 1997.
6. Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей ма-
тематики для экономических вузов. Части 1- II. М.: Высшая школа, 1982г.
7. Общий курс высшей математитики для экономистов. /Под ред.
проф. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА -М, 2002.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. / Под
ред. Проф. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2002.
9. Математика. / Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. М.:
ИНФРА-М, 2006.
10. Практикум по высшей математике для экономистов. Под редак-
цией профессора Н.Ш. Кремера. М.: Изд-во ЮНИТИ, 2003.
248
11. Кастрица О.А. Высшая математика. Примеры, задачи, упражне-
ния. М.: Изд-во ЮНИТИ, 2003.
12. Живетин В.Б., Мухлисов Ф.Г. Высшая математика. Практикум.
Казань: Казанское математическое общество, 2003.
13. Живетин В.Б.. Высшая математика. Практикум. М.: Изд-во
ГРАФ, 2003.
14. Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и при-
кладные модели: Учеб. пособие для вузов. – М: ЮНИТИ, 2000.
15. Хуснутдинов Р.Ш. Курс теории вероятностей. Казань: Изд.
КГТУ, 2000.
6. Хуснутдинов Р.Ш. Курс математической статистики. Казань:
1
Изд. КГТУ, 2001.
17. Хуснутдинов Р.Ш. Сборник задач по теории вероятностей и ма-
тематической статистике. Казань: Изд. КГТУ, 2002.
18. Хуснутдинов Р.Ш. Экономико-математические методы и модели.
Казань: Изд. КГТУ, 2002.
19. Хуснутдинов Р.Ш. Практикум по курсу теории вероятностей.
Казань: Изд. КГТУ, 2008.
20. Хуснутдинов Р.Ш. и Жихарев В.А. Математика для экономистов
в примерах и задачах. Ч.1-3. Казань: Изд. КГТУ, 2008.
21. Хуснутдинов Р.Ш. Практикум по курсу математической стати-
стики. Казань: Изд. КГТУ, 2009.
22. Хуснутдинов Р.Ш. и Жихарев В.А. Математика для экономистов
в примерах и задачах. Ч.4. Казань: Изд. КГТУ, 2009.
249
Ответы
−
−
−
Раздел 1. Матрицы и определители
188
1.1. 1)
−
2)
2)
2)
5) x2 - x+2; 6) 1. 1.4. 1) 2; 2) -38; 3) -2. 1.5. 1) 0; 2) (x - a)2(x+2a); 3) 4;
4) 0; 5) -900. 1.6. 1) x=0,5; 2) x1=1; x2=2; 3) x1=2; x2=3;
4)
2,1
3)
; 2)
80
111
36
−−
383
1020
−−
83
48
−−136
; 3)
13
; 3)
112
; 3)
m−=
001
−
325
−−
214
−
224x
;
01
00
−−
. 1.7. 1)
−
; 3)
635
221
−−167
345
1348
−−
13721
−
43
.1.2. А+В: 1)
−−30
−2132
. 1.8. a)
; 2)
−
−
; А+3В: 1)
211010
; 3В-2А: 1)
382
−−12321
. 1.3. 1) 7; 2) -13; 3) 10; 4) a2+b2;
111
034
−−
835
−
20125
;
201310
−
−
−
10127
5,22
;
5,11
−−
312
−−
212
5,35,05,0
−
541
603
;
8154
; б)
;
−−−
848
=2; 2) r = 2; 3) r = 2. 1.12. Две строки. 1
строка затрат сырья; 2) 11720 – суммарная стоимость сырья.
; в) r = 1. 1.9.
848
−−−
848
01
. 1.10. λ1=-4; λ2=2. 1.11. 1) r =
10
.13. 1) (1980,97,62) – матрица-
250
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]