Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
является оптимальным и доставляет линейной форме
(
)
X
(
)
2 100 3 150 2 250 1150
x a
≥
x b
≤
x a
≥
lk
x
x b
≤
k
b b
′
=
мальное значение:
XL = ⋅ + ⋅ + ⋅ = (ден. ед.).
2
7.6. Транспортная задача с ограничениями
Часто при решении транспортных задач приходится учитывать
возможные ограничения, которые возникают при перевозках груза от
поставщиков к потребителям. Различают два типа ограничений:
L
мини-
)
1
ставщика не менее a единиц груза);
2)
lk
потребителю не должен превышать b единиц).
Рассмотрим эти случаи подробнее.
1). Если
сокращают запасы l-го поставщика и запросы k-го потребителя на
величину a и транспортную задачу решают ужé в изменённом вари-
анте. После решения задачи поставку
увеличивают на величину a.
2). Если
дующим образом: а) запросы
чины
k
(k-ый потребитель должен получить от l-го по-
lk
(объём грузов l-го поставщика, отправляемых k-му
, то перед решением задачи предварительно
lk
в оптимальном решении
, то транспортную задачу видоизменяют сле-
lk
-го потребителя уменьшают до вели-
единиц; б) в дополнение к k-му потребителю вводят
191
(
)
1
n
+
b b b
= −
ik
c c
=
i l
≠
c M
=
0
=
x x x b b
′
= + ≤ + =
1
′
+ =
k k
b b b b
= + − =
0
=
0
=
l
(
)
,
l k
1
= >>
0
=
потребителя с запросами
1n k
+
и стоимостью перево-
зок
число. Поэтому при оптимальном решении
lk lk
полностью удовлетворяются, ибо
возки от
пают следующим образом: 1) либо из рассмотрения исключают клетку
ствляемой через эту клетку, считают достаточно большой, т.е.
c M
lk
бодной, т.е.
приведены в таблице 7.10, при следующих ограничениях: объём пере-
1
i n
+
( )
Если же
(её просто вычёркивают); 2) либо стоимость перевозки, осуще-
7.7. Решить транспортную задачу, исходные данные которой
,
1
l n
+
( )
-го поставщика к k-му потребителю запрещены), то посту-
. Поэтому при оптимальном решении она остаётся сво-
x
lk
и
0
b
, т.е.
. В остальном задача решается обычным способом.
1l n
+
( )
. А запросы «прежнего» потребителя
x
lk
, где M - достаточно большое
1
l nx+
( )
b b
k n
(в этом случае говорят, что пере-
+
.
и
возок груза от 2-го поставщика к 3-му потребителю должен быть не
менее 150 единиц, а от 3-го к 1-му – не более 250 единиц.
Поскольку объём перевозки от 2-го поставщика к 3-му по-
требителю должен быть не менее 150 ед., то сначала запасы 2-го поставщика и запросы 3-го потребителя уменьшим на 150 ед. А чтобы
удовлетворить 2-му условию задачи, запросы 1-го потребителя
192
Таблица 7.10.
j
b
i
a
5 5
6 5
7 6
600 250 350
− =
34
c
c M
=
j
b
i
a
5 4
6 5
7 6
M
600 300 400
300
250
400
2
3
4
уменьшим до 250 ед. и одновременно для компенсации потери в
ед. вводим 4-го потребителя с запросами в 350 ед. и с
теми же стоимостями перевозок, какие имеет 1-ый потребитель, за
исключением стоимости
большому числу M, т.е.
, которую примем равной сколь угодно
34
.
Таблица 7.11.
250 300 250 350
2
2
300
3
3
100
4
400
После сделанных корректив исходная транспортная таблица
193
⊕ ⊕ ⊕
запишется в виде таблицы 7.11. Сравнивая мощности поставщиков и
j
b
i
a
5 4
1
0
=
6 5
2
1
=
7 6
M
5
=
0 0
4
2
= −
1
2
=
2
2
=
1
=
4
2
=
250 0 0 50
0 0 0 100
0 150 250 0
0 150 0 200
потребителей (300+100+400 = 800 < 1150 = = 250+300+250+230) замечаем, что рассматриваемая задача имеет неправильный баланс. Приведём её к задаче с правильным балансом, введя фиктивного поставщика с запасами в 1150-800=350 ед. и нулевыми стоимостями перевозок (см. таблицу 7.12).
Таблица 7.12.
250 300 250 350
2
300
250
100
400
350
Начальное решение
3
4
150
0
v
v
X
=
1
150
2
u
50
3
u
100
u
250
0
3
u
200
v
3
v
194
последней задачи найдено методом минимальной стоимости (оно со-
i
u
j
v
2 ,
2 ,3,7 ,
6 ,
0 ,
0.
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
1
0
=
1 1
2 2
= − =
4 1
2 2
= − =
2 4
3 1
= − =
4 4
2
= − = −
2 4
2
= − =
7 5
= − =
6 1
= − =
12
2 0 5 3
= + − = −
1 0 4 3
= + − = −
21
0
=
22
3
= −
3
= −
2 5 4 3 0
= + − = >
7 0
= − <
41
0
=
1
= −
держится в распределительной таблице 7.12). Для проверки оптимальности этого решения используем метод потенциалов. Потенциалы
находим из системы (см. формулу 7.8):
u v
+ =
1 1
u v
1 4
u v
2 4
u v
3 2
u v
3 3
u v
4 2
u v
4 4
Система из 7-ми уравнений содержит 8 неизвестных, т.е. является переопределённой. Поэтому одной из неизвестных дадим конкретное
значение, например, положим
находим значения других неизвестных:
v u
u v
;
;
v v
v u
u
. Тогда из системы «по цепочке»
;
;
u v
u v
3 2
;
;
,
v u
3 3
Оценки свободных клеток вычисляем по формуле (7.7):
α
α
α
34
.
;
α
13
;
M
α
23
;
α
;
;
;
α
α
α
31
43
;
;
.
195
⊕
⊕
⊕
Опорное решение
1
X
(
)
3,1
{
}
min 250, 200,150 150
2
X
100 0 0 200
0 0 0 100
150 0 250 0
0 300 0 50
j
b
i
a
5 4
6 5
7 6
M
0 0
2
X
) с положительной оценкой. Для этой клетки строим цикл (см.
таблицу 7.12) и осуществляем перераспределение на величину
θ
= = ед. В результате получаем новое опор-
не оптимально, ибо есть свободная (это клетка
ное решение
(оно содержится в таблице 7.13):
X
=
2
250 300 250 350
2
300
100
100
400
3
4
150
Таблица 7.13.
2
0
200
3
1
100
2
250
350
Решение
0
300
2 2 4 2
также не оптимально, ибо оценка свободной
0
-2
50
196
клетки
(
)
4, 3
2 0
= >
{
}
min 50,100,250 50
= =
3
X
50 0 0 250
0 0 0 100
200 0 200 0
0 300 50 0
j
b
i
a
5 4
6 5
7 6
M
0 0
ние поставок по циклу, содержащему эту клетку, на величину
положительна:
α
43
. Совершим перераспределе-
θ
1
опорное решение
Это решение оптимально, ибо оценки всех свободных клеток
распределительной таблицы (см. таблицу 7.14), содержащей
300
100
.
X
3
250 300 250 350
2
3
(см. таблицу 7.13). В результате получим
=
Таблица 7.14.
50 250
2
3
100
0
1
400
350
4
200
0
300
2 4 4 2
200
50
197
2
0
-4
это решение, неположительны:
12
1
= −
0
=
21
0
=
22
1
= −
0
=
1
= −
M
= −
41
2
= −
42
0
=
44
2
= −
X
∗
(
)
2, 3
300 0 0
100 0 150
200 0 200
(
)
2 300 3 100 5 150 4 200 6 200 3650
1
A
2
A
m
A
1
a
2
a
m
a
1
B
2
B
n
B
1
b
2
b
n
b
ij
t, 1,
i m
1,
j n
i
α
α
32
нужно увеличить поставку в клетку
чину в 150 ед. и поставки, предназначенные для 4-го потребителя,
прибавить к поставкам 1-го потребителя:
При этом минимальные затраты на перевозки составят:
;
α
13
;
α
Чтобы получить окончательное решение
∗
XL
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ден. ед.
7.7. Транспортная задача по критерию времени
34
;
4
X
α
;
α
∗
=
;
α
;
α
на резервированную вели-
.
;
исходной задачи,
;
α
α
23
;
.
Такая задача возникает, когда приходится совершать срочные
перевозки. Как и при решении обычной транспортной задачи, одно-
родный груз, сосредоточенный у m поставщиков
объёме
время T n потребителям
если известно время
ся от каждого
,
, …,
-го поставщика каждому j-му потребителю.
необходимо доставить за возможно короткое
,
, …,
= ;
= , за которое груз доставляет-
198
в объёмах
,
,
, …,
, …,
в
,
Требуется составить такой план перевозок, при котором будут
j
b
i
a
1
b
j
b
n
b
11
t
1
j
t
1
n
t
1a11
x
1
j
x
1
n
x
1
i
t
ij
t
intia1
i
x
ij
x
in
x
1
m
t
mj
t
mntma1
m
x
mj
x
mn
x
(
)
,
i j
ij
x
ij
t
(
)
ij
x
X
(
)
X
вывезены все запасы поставщиков, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и время доставки всех грузов потребителям было
минимальным.
Для построения математической модели этой задачи составим
распределительную таблицу 7.15,
Таблица 7.15
…
…
… … …
…
… … …
…
где в клетке
поставщиком j-му потребителю, а слева – время его доставки
Пусть
рый план перевозок). За время выполнения плана перевозок
значение:
T
справа указан объём
X
= - некоторое опорное решение задачи (некото-
) естественно считать наибольшее время доставки
… …
… …
…
…
…
…
…
…
груза, поставляемого i-м
.
(обо-
всех грузов от поставщиков к потребителям, т.е. величину
199
{
}
maxX
ij
T t
{
}
max min
ij i
x a
=
1,
i m
ij j
x b
=
1,
j n
0
≥
1,
i m
1,
j n
1
X
{
}
1 1
ij l k
T t t
1 1
ij l k
t t
= ,
( )
где максимум берётся по всем занятым клеткам распределительной
таблицы (7.15), содержащей решение X.
Тогда математическая модель поставленной задачи будет
иметь следующий вид:
X
T t
= → ,
( )
x
n
∑
1
j
=
m
∑
1
i
=
0
x
>
ij
ij
0
>
ij
,
= ;
,
= ;
При решении транспортных задач по критерию времени обычно придерживаются следующего алгоритма.
10. По условиям задачи составляется распределительная таб-
лица.
20. Находится некоторое опорное решение
числяется значение целевой функции
вычёркиваются все свободные клетки распределительной таблицы,
для которых выполняется условие:
x
,
ij
= ,
= .
задачи и вы-
maxX
= = . Затем
( )
1
0
x
>
ij
≥ ,
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]