Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Таблица 2.3
37
37
37
−
∆
−
∆
−
∆
Вид
сырья
S
1
S
2
S
3
Расход сырья по видам из-
делий, вес.ед./изд.
Р
1
5
3
6
Р
2
3
6
4
=++
321
=++
321
=++
321
Запасы
сырья
Р
3
4
2
3
1160
1160
1260
,1160x4x3x5
,1160x2x6x3
.1260x3x4x6
Определитель системы ∆ = -37 ≠0, поэтому для нахождения неизвестных можно применить формулы Крамера:
x
=
=
1
−
∆
2960
1
4420
2
x;80
2
=
==
−
∆
x;120
==
3
3700
3
=
−
∆
.100
=
2.7. Две ткацкие фабрики получают станки с двух заводов. Запасы станков, произведенных заводами, потребности фабрик в станках, а также стоимость их перевозки к потребителям известны и приведены в таблице 2.4.
Найти оптимальный план поставок станков потребителям,
если минимальные перевозки составляют 3510 ден.ед.
Введем переменные xij , выражающие количество стан-
ков, поставляемых i-ым заводом j-ой фабрике. Поскольку все
станки, произведенные заводами, вывозятся, а потребности
фабрик в станках полностью удовлетворяются, то соответствую-
41
Таблица 2.4.
130,
170,
120,
180,
8 12 10 15 3510.
1
2
Потребность
фабрик
Потребители и стои-
мость перевозки Заводы
П
8
10
1
П2
12
15
120 180 300
Запасы
заводов
130
170
щие балансовые соотношения запишутся в виде системы пяти
уравнений с четырьмя неизвестными:
x x
11 12
x x
11 21
x x x x
+ =
x x
+ + =
21 22
+ =
x x
12 22
+ + + =
11 12 21 22
+ =
Эта система переопределенная (число уравнений больше
числа неизвестных), однако первые четыре уравнения линейно
зависимы и, следовательно, одно из них можно исключить. Тогда, решая эту систему методом Гаусса, получим , что x11= 0, x12=
=130, x21= 120, x22= 50.
2.9. Общая задача о прогнозе выпуска продукции может
быть поставлена и решена следующим образом.
42
n,1j , m,1i ,)c(C
Q
CX
=
−
Пусть
рица расхода сырья, использующегося для выпуска n видов продукции, где технологический коэффициент cij выражает норму
расхода i-ого сырья для производства единицы продукции j-ого
вида. Если, кроме того, известен вектор запаса сырья Q = (q1, q2,
…, qm) , то при условии использования всего сырья вектор-план
выпуска продукции X =(x1, x2, …, xn) находится из системы
уравнений
Если матрица С имеет обратную (т.е. m = n = =r(C)), то
решение задачи единственно:
Если же m ≠ n , например m<n, то система (2.9), если она
ij
===
-технологическая мат-
1
=
QCX
имеет решение, разрешима неоднозначно. Чтобы система и в
этом случае имела единственное решение, на систему приходится накладывать дополнительные условия. В частности, добавляют условие необходимости нахождения оптимального решения.
2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Основным инструментом построения и сохранения необходимых пропорций в многоотраслевой экономике является балансовый
43
метод. Он состоит в том, что валовой выпуск i-ой отрасли должен быть
Y
AX
X+=
=
=
равен сумме объемов продукции, потребляемой в производственной и
непроизводственной сферах., т.е.
(2.10)
n,1yx...xxx
iin2i1ii
где xi – общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли, xij –объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при производстве
объема xj , yi – объем продукции i-ой отрасли, используемый в непроизводственной сфере (так называемый продукт конечного потребления).
Уравнения (2.10) называются соотношениями баланса.
=++++= i ,
Вводя коэффициенты a
ных затрат по формуле:
a =
ij
уравнение баланса можно записать в виде
n
или в более компактной (матричной) форме
где )x,...,x,x(X
...,y,y(Y
∑
1j
=
- вектор конечного продукта,
)y,
n21
– коэффициенты прямых материаль-
ij
x
ij
, (2.11)
x
j
i ,
i
jiji
, (2.13)
- вектор валового продукта,
n21
n,1yxax
=+=
(2.12)
44
n,1ji, ),a(A
X)AE(AXX
Y
−=−
=
ij
нологическая или структурная матрица).
Уравнения (2.12) (или (2.13)) называются уравнениями межотраслевого баланса или линейной моделью Леонтьева. Полученные
уравнения баланса (2.12) можно использовать в двух направлениях:
1) по вектору конечного потребления определяют (планируют) необ-
ходимую величину валового выпуска каждой отрасли (основная задача!);
2) по известному вектору валового выпуска Х находят вектор конеч-
ного потребления Y:
== - матрица прямых материальных затрат (тех-
(2.14)
2.10. В таблице 2.5 приведены данные об исполнении баланса между двумя видами отраслей за некоторый период. Вычислить: 1) величину конечного продукта, если вектор валового
выпуска будет равен
T
, 2) необходимый объем
)140,100(X =
валового выпуска отраслей, если объем конечного потребления
нужно увеличить до уровня
T
.
)150,100(Y =
Сначала, используя данные таблицы и формулу (2.11),
составим матрицу прямых затрат
25,01,0
A
=
6,012,0
1
45
Таблица 2.5.
Внутрипроизводствен-
Отрасль
Энергетика 8 20 52 80
Машино-
строение
и затем построим матрицу полных затрат
1) Величину получающегося конечного продукта вычислим по
формуле (2.14):
2) Поскольку определитель матрицы
ное потребление,
ден.ед.
12 16 72 100
AE
=
Y
−
=−
−
−
25,09,0
84,012,0
⋅
100
140
−
Конечный
продукт
25,09,0
.
84,012,0
55
=
Валовый
продукт
.
6,105
25,09,0
AE ≠=
=−
−
имеет обратную:
( )
−
84,012,0
−
1
AE
1
=−
46
726,0
, то эта матрица
0726,0
25,084,0
.
9,012,0
Следовательно,
...
===
=
X
1
=
726,0
25,084,0
9,012,0
100
⋅
150
=
355,167
.
479,202
Таким образом, чтобы обеспечить конечный продукт в
объеме
T
)150,100(Y = , валовой выпуск в энергетической от-
расли нужно поднять до 167,55 ден.ед., а в машиностроении – до
202,479 ден.ед .
2.8. Решение однородной системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений
a x a x a x
+ + + =
11 1 12 2 1
a x a x a x
или в более компактной записи
+ + + =
21 1 22 2 2
... ... ... ...
a x a x a x
+ + + =
1 1 2 2
m m mn n
... 0,
n n
... 0,
n n
... 0
(2.15)
n
m1,i ,0xa
∑
=
всегда имеет решение. Это решение очевидное – нулевое:
n21
однородной системы и их структура выражены в следующих утверждениях:
jij
1j
. Условия существования ненулевых решений
0x...xx
==
(2.16)
47
1) для того, чтобы однородная система (2.16) имела ненулевое реше-
−
−
1
k
=++++
ние, необходимо и достаточно выполнения условия
r = r(A) < n
т.е. ранг матрицы системы должен быть меньше числа неизвест-
ных;
2) при соблюдении предыдущего условия, система (2.15) имеет (n-r)
линейно независимых решений
фундаментальную систему решений, через которые линейно выра-
жается общее решение системы
rn
=
∑
k
=
Для отыскания фундаментальной системы решений систему
(2.15) методом Жордана-Гаусса приводят к равносильной системе разрешенного вида:
X,...,X,X
)k(
.
XCX
++
)rn()2()1(
. Они образуют
,0xa...xa x
nn11r)1r(11
=++++
++
++
... ... ...
,0xa...xa x
nn21r)1r(22
(2.17)
=+++
.0xa...xax
nrn1r)1r(rr
Положив в системе (2.17) вместо свободных переменных последовательно
48
=====
=
,
=−+
...
++++
1x,...,0x,0x;;0x,...,0x,1x
n2r1rn2r1r
получим (n-r) независимых решений
)k(
.
)rn(,1k ,X
−=
2.11. Найти фундаментальную систему решений и общее
решение следующей однородной системы уравнений:
=−++
,0xx3xx
4321
=+−+
,0x2xx3x2
4321
=−+
.0x5x10x
431
Преобразуем исходную систему методом Жордана-
Гаусса к разрешенному виду.
x
1
1
2
1
1
0
0
1
0
0
x
1
3
0
1
1
-1
0
1
0
2
x
3
3
-1
10
3
-7
7
10
-7
0
x
-1
2
-5
-1
4
-4
-5
4
0
4
Из последнего блока таблицы следует, что равносильная разрешенная система имеет вид:
,0x5x10x
431
=+−
.0x4x7x
432
Отсюда, придавая свободным переменным x3 и x4 поочередно
49
x3 = 1, x4 = 0 и x3 = 0, x4 = 1 , находим фундаментальную систему
решений:
)2()1(
−=−= ,
. С их помо-
)1,0,4,5(X)0,1,7,10(X
щью общее решение исходной системы уравнений записывается
в виде:
+−
C5C10
)1(
1
)2(
=+=
XCXCX
2
2.9. Экономико-математическая модель линейного обмена
Эта модель иначе называется линейной моделью междуна-
родной торговли. Ее исследование сводится к решению однородной
системы линейных уравнений вида
n
∑
=
1j
где входящие величины имеют следующий смысл: xi –национальный
доход страны Si , коэффициент aij выражает часть национального дохода страны S
, которая используется при товарообороте со страной Si .
j
==
jiji
−
C
1
C
2
n,1xax i ,
21
C4C7
21
.
Матрица n,1ji, , )a(A
обмена (торговли), ее коэффициенты связаны отношением:
n
∑
ij
=
1i
.12. Структурная матрица трех стран S1, S2 и S3 имеет вид
2
ij
==
n,1j , 1a .
== называется структурной матрицей
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]