Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
максимального значения, равного
(
)
40;20 40 1,5 20 70
= + ⋅ =
1
40
=
2
20
=
2
− ≤
n
(
)
2
≥
(
)
r a m
= =
L
4 2 max
2 4 , 0 , 1;5
5 3 2
− = − =
ед.
L
ден.
Таким образом,
ном выпуска мебели фабрикой, при котором она получит максималь-
ную прибыль, равную 70 ден. ед. Этот же результат мы получили, решая эту задачу симплексным методом.
20. Геометрические методы также применимы и к решению
многомерных ЗЛП, удовлетворяющих условию
n
ничений (см. формулу (5.14)).
- число переменных, а
5.8. Решить геометрическим методом ЗЛП:
(х)
x x x x x= + + + + → ,
1 2 3 4 5
x x x
1 2 4
x x x x i
2 3 10 ,
x x x x
Поскольку для этой задачи
x
+ − =
+ − = ≥ =
2 3 4
+ − + =
1 2 4 5
2 ,
и
x
rang
является оптимальным пла-
ij
i
n r
n r
- ранг системы огра-
, где
, то для её ре-
шения применим вышеуказанный геометрический метод. Сначала,
используя преобразования Жордана – Гаусса, систему ограничений
задачи (одновременно и целевую функцию) запишем в разрешённом
виде
`
131
(
)
3 2 8 , 0 , 1;5
L x
(
)
3 12 max ,
2 4 ,
3 2 8 ,
− − ≤ −
0 , 0.
≥ ≥
ABCD
(
)
6;0
(
)
6;0 3 6 1 2 30
= ⋅ + ⋅ =
5
x
1
x
2
x
3
x=-8+3·6 = 10,
4
x
n
r
4x5
x
2 2 4 ,
x x x
− − = −
1 4 5
x x x x i
− − = − ≥ =
3 4 5
x x x
+ + =
2 4 5
Затем, отбрасывая в полученной системе ограничений разре-
шённые неизвестные, мы получим равносильную двумерную ЗЛП
3 12 max ,
= + →
x
4
6 ,
i
(5.17)
L x= + →x
− − ≤ −
x x
4 5
Ниже на рисунке изображен четырёхугольник
решений задачи. Из чертежа непосредственно следует, что в точке
B целевая функция имеет максимум
оптимальное решение исходной задачи находим по формулам (5.17):
C (0; 6)
x x
4 5
x x
4 5
+ ≤
4
x x
4 5
6 ,
допустимых
L
.А
=-4+2·6 = 8,
= 6-6= 0,
D (0; 4)
= 6,
= 0.
O A (8/3; 0) B (6; 0)
Рис.5.3.
132
Задачи и упражнения
0,
4,
− ≥
+ ≥
2 4,
3,
6,
− + ≥
3 2 0,
3 2 12,
4 4,
2 2,
7,
2 5,
− ≥ −
2 6,
3,
2 10,
− ≥ −
2 2 0,
2 10 0,
3 2 14 0,
+ − ≥
3 18 0,
3 2 6 0,
10 0,
+ − ≤
− + ≥
5 15,
4 5 30,
Построить множество решений систем линейных неравенств и
найти координаты их угловых точек.
x x
1 2
5.9.
x x
1 2
4.
x
≤
1
x x
− ≤
1 2
x x
+ ≤
5.11.
1 2
x x
1 2
x
1
− ≤
0.
≥
5.10.
5.12.
x x
1 2
x x
1 2
x
1
x
2
x x
1 2
x x
1 2
≤ ≤
x
2
x x
1 2
+ ≥
+ ≤
4,
≤
0.
≥
+ ≤
x
1
0.
≥
5.13.
5.15.
x x
1 2
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x
≥
2
x x
1 2
x x
1 2
x x
+ − ≥
1 2
x
≤
1
5.14.
0.
5.16.
4.
x x
− − ≤
1 2
x x
+ − ≥
1 2
x x
1 2
0.
x
≥
1
x x
+ ≥
1 2
x x
+ ≥
1 2
1,
x
≥
1
4.
x
≤
2
Следующие ЗЛП решить:
1) методом перебора опорных решений;
2) геометрическим методом;
133
3) упрощенной схемой симплексного метода;
4 6 max,
1,
− + + − =
0, 1,4
2 4 min,
2 1,
3 9,
− + − =
0, 1,4
L
3 max,
2 3 10,
0, 1,4
2 min,
3 3 18,
2,
0, 1,4
4 max,
4 15,
2 4 22,
0, 1,5
4) симплексным методом.
5.17. L(х)=
x x x x
1 2 3 4
2 8,
x x x
+ + =
1 2 4
5.18. L(х)=
x x x x
1 2 3 4
x x x
+ + =
2 3 4
5.19.
(х)=
x x x
− + =
1 2 4
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
5.20. L(х)=
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
− + − =
1 2 3 4
5.21. L(х)=
x x x x+ + + →
x x x x+ + + →
2 2 3 4
x i≥ = .
i
x x x− + + →
1 2 4
x i≥ = .
i
x x x x− + + →
1 2 3 4
2,
x i≥ = .
i
x x x x− − + − →
1 2 3 4
x i≥ = .
i
1 2 3 5
2 2,
x x x
− + =
1 2 3
x x x x
− + + =
1 2 3 4
x x x x
+ + + =
1 2 4 5
Следующие ЗЛП решить: 1) геометрическим методом, 2) сим-
плексным методом.
x i≥ = .
i
134
5.22. 5.23.
(
)
3 5 max ;
(
)
7 6 max ;
5 2 20 ,
(
)
2 3 max ;
(
)
3 10 min ;
(
)
2 min ;
2 3 9 ,
(
)
2 2 max ;
(
)
min ;
0 , 0.
(
)
2 3 max ;
0.
≥
L x x
= + →
x
1 2
L x x
x
= + →
1 2
x x
+ ≤
1 2
2 3 12 ,
x x
− + ≤
3 2 12 ,
x x
1 2
x x
5.24. 5.25.
L x x
= + →
x
x x
− + ≤
x x
1 2
x x
.26. 5.27.
5
L x x
= − →
x
x x
− ≥
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x
− + ≥
x x
1 2
9 ,
1 2
− ≤
, 0 .
≥
1 2
1 2
1 2
2 2 ,
− ≤
, 0.
≥
1 2
1 2
2 2 ,
8 ,
1 2
, 0 .
≥
11,
L x x
x
L x x
x
5 4 60 ,
x x
− ≤
1 2
5 4 100 ,
x x
+ ≤
1 2
x x
− + ≤
1 2
, 0 .
x x
= − →
x x
− + ≤
1 2
4 3 36 ,
− + ≤
4 5 126 ,
x x
1 2
2 3 30 ,
x x
1 2
= − →
x x
1 2
x x
1 2
3 2 1,
− + ≤
x x
1 2
1 2
3 45 ,
x x
1 2
+ ≤
− ≤
, 0 .
x x
1 2
1 2
+ ≤
− ≤
x x
2 2
, 0.
1 2
≥
≥
8 ,
2 ,
≥
5.28. 5.29.
L x x
= − →
x
1 2
x x
+ ≤
1 2
x x x
− ≤ ≥
1 2 2
1 3 ,
≤ ≤
6 ,
x
1
x
L x x x x
= + + + →
1 2 3 4
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
2 3 4 5 14 ,
+ + + =
x x x x
1 2 3 4
2 5 ,
135
x
i
Следующие ЗЛП решить симплексным методом.
(
)
3 2 3 min ;
(
)
3 2 max ;
(
)
9 5 4 3 2 max ;
2 24 , 0, 1,5.
5.30. 5.31.
L x x x
= + − →
x
1 2 3
x x
− ≤
1 2
2 2 3 ,
x x x
− − =
1 2 3
2 6 ,
x x x
− + + ≥
1 2 3
, , 0 .
x x x
1 2 3
5.32.
L x x x x x
x
2 ,
≥
= + + + + →
1 2 3 4 5
L x x x
x
2 10 17 ,
x x x
3 2 19 ,
x x x
x x x
− + + ≤
, , 0.
x x x
1 2 3
= − − →
1 2 3
+ − ≤
1 2 3
+ + ≤
1 2 3
2 3 7 ,
1 2 3
≥
x x x x x
− − − − =
1 2 3 4 5
x x x x x i
+ + + = ≥ =
1 2 3 4
x x x
− + ≤
1 2 3
.33. Для выпуска трёх видов продукции требуются затраты
5
сырья, оборудования и рабочего времени. Экономико- производственные показатели приведены в таблице.
Виды
ресурсов
Сырьё 4 2 1 50
Оборудование 12 8 4 112
Рабочее время 10 8 2 200
Прибыль на 1 продукции
Составить математическую модель задачи на максимум при-
были и найти оптимальный план выпуска продукции.
5 6 ,
2 2 6 ,
Нормы затраты ресурсов
i
1 2 3
20 12 7
Запасы
ресурсов
136
5.6. Метод искусственного базиса (М-метод)
max min
ij j i
a x b
=
0
≥
1,
i m
1,
j n
, 1,
x i m
max(min)
ij j n i i
a x x b
+ =
, 0
≥
0
≥
1,
i m
(
)
n
x x x
В случае, когда оказывается затруднительным нахождение
первого опорного решения, для решения ЗЛП обычно используют метод введения искусственного базиса (М-метод).
Согласно этому методу для исходной задачи
n
L c x
= →
x
( ) ( )
∑
j j
1
j
=
n
,
∑
1
j
=
путём введения искусственных переменных (искусственного бази-
x
,
j
= ,
= .
са)
где M- произвольное положительное достаточно большое число. Оно
берется со знаком «-» («+»), если отыскивается максимум (минимум).
шениями исходной и расширенной задачами.
ходной задачи (
= строится так называемая расширенная задача
n i
+
%
L c x M x
( )
n
∑
1
j
=
Следующие утверждения выражают тесную связь между ре-
0
. Каждому допустимому решению
1
n m
%
= →
x
∑ ∑
j i
= =
5.4) – (5.5) соответствует допустимое решение
m , (5.18)
j j n i
1 1
+
,
+
x x
i n i
,
b
,
+
i
= . (5.19)
, , ,
=x K ис-
1 2
137
(
)
, , , , 0, , 0
%
(
)
, , , , 0, , 0
(
)
n
x x x
()(
)
x x
%
%
(
)
, , , , 0, , 0
(
)
n
x x x
∗ ∗ ∗
x x x=x
K K расширенной задачи (5.18) - (5.19) и, на-
1 2
оборот, каждому допустимому решению вида
%
x x x=x
1 2
n
K K расширенной задачи соответствует ре-
n
шение
ниях совпадают и значения целевых функций, т.е.
20. Если расширенная задача линейного программирования
имеет оптимальное решение вида
(т.е. с нулевыми искусственными переменными), то
∗
=x K является оптимальным решением исходной
1 2
задачи.
30. a). Если расширенная задача имеет оптимальное решение,
у которого хотя бы одна из искусственных переменных отлична от
нуля, то исходная задача не имеет решения в виду несовместности
системы ограничений.
b). Если расширенная задача не имеет решения в виду неограниченности её целевой функции, то по той же причине не имеет оптимального решения и исходная задача.
, , ,
=x K исходной задачи. При этом на этих реше-
1 2
, , ,
∗
%
=x
L L=
∗ ∗ ∗
x x x
1 2
K K
.
n
138
5.7. Алгоритм метода искусственного базиса
(
)
M
(
)
M
(
)
L L L M
k
∆
L
∆
(
)
M
(
)
L M
(
)
2 9 4 max
В связи с тем, что в целевую функцию расширенной задачи
входит произвольная постоянная
методом имеет свои особенности. Укажем наиболее важные из них.
10. В виду того, что базису начального опорного решения соответствуют искусственные переменные, то оценки небазисных векторов системы и приращение целевой функции зависят от произвольной постоянной M и они, в частности, могут быть представлены в
виде:
∆ = ∆ + ∆ ,
где первые слагаемые не зависят от постоянной M. Поэтому на знаки
оценок
оказывают влияние вторые слагаемые
торой искусственной переменной, то его исключают из дальнейшего
рассмотрения.
и
20. Если из базиса выводится вектор, соответствующий неко-
′ ′′
k k k
, а также на их величины существенным образом
± , то её решение симплексным
∆ = ∆ + ∆ ,
′ ′′
′′
∆ и
k
′′
∆ .
30. После завершения решения расширенной задачи для нахождения оптимального решения ужé исходной задачи используют п.
10 – 30 утверждения.
5.34. Используя метод искусственного базиса, решить ЗЛП:
L x x x x= + + + →x ,
1 2 3 4
139
2 3 7 ,
3 4 2 10.
x x x x
0
≥
1;4
5
x
6
x
(
)
M
(
)
2 9 4 max
2 3 7 ,
3 4 2 10 .
0
≥
1;6
(
)
0, 0,0, 0, 7,10
(
)
1 5 6
A A
(
)
1
x
%
503M
2
A
6
A
+ + + =
1 2 3 4
x x x x
+ + + =
1 2 3 4
x
,
i
i =
Введя искусственные переменные
уравнений ограничений и в правую часть целевой функции с коэффициентами
дующую задачу:
Расширенная задача имеет очевидное начальное опорное решение
=x
1
базисных векторов системы и значение целевой функции
ставим симплексную таблицу (см. таб. 5.8).
вий, соответствующим неискусственным переменным, отрицательны,
− (ибо решается задача на максимум), составим сле-
L x x x x Mx Mx= + + + − − →x ,
В первой симплексной таблице оценки всех векторов – усло-
1 2 3 4 5 6
x x x x x
+ + + + =
1 2 3 4 5
x x x x x
+ + + + =
1 2 3 4 6
с базисом
%
=Б
,
и
в левые части
x
,
i
i = .
. Вычислив оценки не-
%
L
, со-
но целевая функция получит наибольшее приращение, равное
если в базис будет переведён вектор
, который в дальнейшем исключается из рассмотрения.
140
,
, а из базиса выведен вектор
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]