Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Продолжение таблицы 6
В
11
13
15
17
19
55 60 40 45
А
12 5 5 4
50
4 6 3 8
30
6 11 5 4
70
10 7 10 7
50
В
55 45 80 60
А
4 2 3 8
60
8 6 12 5
70
5 7 10 4
50
4 12 7 8
60
В
30 50 45 35
А
8 4 5 6
60
16 15 9 7
30
4 8 6 8
45
10 5 7 12
25
В
35 25 30 20
А
13 7 6 9
20
5 4 8 5
30
16 7 14 5
35
5 3 8 7
25
В
30 20 25 15
А
10 6 5 9
25
7 8 4 12
35
8 4 12 3
20
8 10 9 8
10
12
14
16
18
20
В
80 70 60 90
А
10 3 2 8
60
5 2 9 14
80
9 4 12 5
85
12 11 3 4
75
В
80 80 90 70
А
16 7 9 15
60
10 5 6 8
90
7 8 14 7
90
12 9 5 9
80
В
90 80 80 90
А
10 6 2 5
110
6 4 11 13
70
3 12 4 5
90
5 4 6 10
70
В
50 50 55 45
А
4 6 5 2
40
7 6 9 14
60
13 6 12 5
45
8 10 6 3
55
В
60 65 75 80
А
11 5 8 12
60
3 4 11 6
70
6 5 8 2
80
14 6 4 3
70
231
Окончание таблицы 6
В
21
23
25
65 80 60 75
А
9 5 17 8
80
8 15 9 6
60
10 6 12 7
65
7 10 8 9
75
В
80 70 60 80
А
10 7 3 5
75
3 6 11 7
85
12 5 4 7
70
3 9 6 4
60
В
90 90 95 80
А
9 3 9 6
105
4 8 5 12
95
7 6 10 8
90
8 14 7 6
70
22
24
26
В
45 30 55 50
А
8 6 7 14
50
3 10 6 13
40
4 5 10 5
55
7 12 4 9
23
В
80 90 80 100
А
7 4 8 5
100
12 6 9 5
60
2 5 8 14
85
8 6 4 9
75
В
25 50 45 40
А
8 6 3 14
50
7 4 70 6
35
4 9 3 6
45
3 5 6 12
30
232
9. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
a
(
)
a
−
(
)
0
+ − =
1
A
2
A
9.1. Основные определения. Платёжная матрица.
Нижняя и верхняя цена игры
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и
множественной, если число участвующих игроков больше двух.
Парная игра называется антагонистической (или игрой двух
лиц с нулевой суммой), если выигрыш одного игрока равен, например,
рышей равна нулю, т.е.
пример, A и B), которые по определённому сигналу выбрасывают
один или два пальца. Если число выброшенных игроками пальцев
одинаково (т.е. их сумма чётна), то игрок A платит игроку B 3 руб.,
если же сумма пальцев нечётна, то ужé игрок B платит игроку A 3
руб.
ещё говорят, применить две стратегии): выбросить один палец –
стратегия
, то выигрыш второго составит
a a
9.1. Игра «чёт-нечёт». В этой игре участвуют два игрока (на-
Составить математическую модель игры.
Игрок A может осуществить два действия (два хода или
или два пальца – стратегия
.
, и общая сумма их выиг-
. Игрок B аналогично
233
располагает двумя стратегиями:
1
B
2
B
3 3
3 3
1
A
2
A
1
B
2
B
1
A
2
B
m
1
A
2
A
m
A
1
B
2
B
n
B
m n
×
n
nijm m mn
⋅ ⋅ ⋅
ij
a
A
i
A
j
B
Результаты игры можно описать с помощью квадратной матрицы второго порядка – платёжной матрицей (или матрицей игры):
- показ одного пальца,
- двух.
−
A
=
,
−
где элементы, стоящие в 1-ой и 2-ой строках, соответствуют стратегиям
и
игрока A, а в столбцах – стратегии
рока. Например, число 3, стоящее на пересечении 1-ой строки и 2-го
столбца выражает величину выигрыша первого игрока, равную 3, и
и
второго иг-
соответствует паре стратегий
игроками - нечётно).
Пусть игрок A располагает
а игрок B- n стратегиями
ность (порядок)
) . Тогда матрица
a a a
a a a
A a
= =
( )
a a a
элементы
первого игрока
ся платёжной матрицей или матрицей игры. Строки этой матри-
которой выражают выигрыш одного из игроков (обычно
), соответствующие стратегиям
и
,
11 12 1
21 22 2
1 2
(число показанных пальцев
стратегиями
, …,
( т.е. игра имеет размер-
,
L
L
L
, (9.1)
L
и
, …,
, называет-
,
234
цы соответствуют стратегиям игрока A, а столбцы – стратегиям игро-
i
A
{
}
i ij
a
i ij
0
i
A
j
B
{
}
j ij
a
A
ij
B
ка B. В частности, если игрок A примет стратегию
мости от выбранной стратегии второго игрока (а он попытается при
этом иметь наименьший проигрыш) его минимальный выигрыш со-
ставит
Величина
называется нижней ценой игры, или максимальным выигрышем
(максимином) . Это гарантированный выигрыш игрока A при любой стратегии игрока B.
максимальной стратегией.
min
α
= .
1,
j n
=
max max min
α α
= =
Стратегия
Аналогично, если игрок B выбирает стратегию
{ }
i m
1,
i m
=
, соответствующая максимину, называется
=
1,
j n
=
a
{ }
, то в зависи-
(9.2)
, то его
наибольший проигрыш составит
этом постарается получить наибольший выигрыш.
Величина
называется верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем
(минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока
β
=
min max
1,
j n
=
1,
i m
=
235
max
β
= , ибо игрок
1,
i m
=
a
{ }
(9.3)
при
.
Стратегия
0
j
B
{
}
min 3;3 3
= − = −
2
=
{
}
min 3; 3 3
= − = −
(
)
3
−
{
}
max 3; 3 3
= − − = −
{
}
max 3;3 3
= − =
{
}
max 3; 3 3
= − =
{
}
min 3;3 3
= =
α β ν
= =
0 0
i j
0 0
i j
a
0 0 0 0
ij i j i j
a a a
0
i
A
0
j
B
нимальной стратегией.
, соответствующая минимаксу, называется ми-
9.2. Найти нижнюю и верхнюю цены игры, рассмотрен-
ной в примере 9.1.
вит
Поскольку величина
равны и равны
α
. Аналогично находим и верхнюю цену
α
1
и
, нижняя цена игры соста-
α
игры:
β
1
Если
то их общее значение ν называется ценой игры, а сама игра – игрой с седловой точкой. В этом случае в платёжной матрице (9.1)
существует элемент
и называется седловой точкой, для которой выполняется следующее
важное условие:
;
β
2
, т.е. совпадают нижняя и верхняя цены игры,
a , равный цене игры, т.е.
и
β
ν
= , который
.
≤ ≤ . (9.4)
Следовательно, для игры с седловой точкой стратегии
и
игроков A и B являются оптимальными: если при этой игре
один из игроков выбрал оптимальную стратегию, то другому игроку
невыгодно применять стратегии, отличные от оптимальной.
236
9.3. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной
6 8 3 4
7 6 5 6
1 7 4 3
i
α
j
β
j
B
i
A
1
B
2
B
3
B
4
B
i
α
1
A
2
A
3
A
j
β
5
α β
= =
5
ν
=
5
=
2
A
A
3
B
A
платёжной матрицей
A
=
.
Добавив к платёжной матрице A дополнительный столбец
и строку
, составим платежную таблицу 9.2. Из этой табли-
цы следует, что
Таблица 9.2.
6 8
7 6
1 7
7 8
нижняя и верхняя цены игры совпадают, т.е.
тельно, и цена игры
точку
a
23
. Стратегия
, а платёжная матрица имеет седловую
является оптимальной для игрока
3 4 3
5 6 5
4 3 1
5 6 5
. Следова-
, при этом его выигрыш не меньше 5. Аналогично, стратегия
является оптимальной для игрока B, при этом его проигрыш
не превысит 5. Отклонение игрока
от оптимальной стратегии
237
уменьшит его выигрыш, а отклонение от оптимальной стратегии
(
)
ij
A a
1,
i m
1,
j n
mAm
A A A
p p p
nBn
B B B
q q q
i
p
j
q
i
A
j
B
1
=
1
=
A
S
B
S
ij i j
a p q
игрока B увеличит его проигрыш.
9.2. Смешанные стратегии
Если у платёжной матрицы
ствует седловая точка, то для получения оптимального решения используют смешанные стратегии игроковAи B
S
=
где
стратегии
равна единице:
и
- вероятности, с которыми игроки применяют чистые
и
1 2
1 2
L
L
, причём сумма рассматриваемых вероятностей
m
∑
1
ip=
Выигрыш игрока A при использовании смешанных стратегий
(например, стратегий
математическое ожидание предполагаемого выигрыша (так называемый средний выигрыш)
и
, см. формулу (9.5)) определяется как
и
i
= ,
S
=
и
n
∑
jq=
1 2
1 2
j
1
= ,
= отсут-
L
L
, (9.5)
. (9.6)
n m
∑∑
1 1
j i
= =
238
. (9.7)
Стратегии
*
A
S
*
B
S
*
A
S
*
B
S
α ν β
≤ ≤
ν
≤
ij i
a p
1,
i m
1,
j n
.9)
ν
из игроков использует оптимальную стратегию, то другому игроку не
выгодно отклонять свою.
Решение игры, соответствующее оптимальным стратегиям
и
, называется оптимальным. Получаемый при этом выигрыш
называется ценой игры и обозначается ν. Цена игры удовлетворяет
условиям:
и
называются оптимальными , если один
, (9.8)
n
a q
∑
ij j
1
j
=
где α и β - соответственно нижняя и верхняя цены игры.
Чистая стратегия называется активной, если она в опти-
мальную смешанную стратегию входит с ненулевой вероятностью.
Следующие теоремы являются центральными теоремами мат-
ричных игр.
Теорема 9.1 (теорема Неймана). Каждая конечная игра имеет
хотя бы одно оптимальное решение.
m
≤
∑
1
i
=
,
= ,
= (9
Теорема 9.2 (об активных стратегиях). Если один из иг-
роков сохраняет свою оптимальную смешанную стратегию, а
второй не выходит за рамки своих активных стратегий, то выигрыш остаётся неизменным и равным цене игры
.
9.4. Найти оптимальное решение двумерной игры с пла-
239
тёжной матрицей
11 12
21 22
(
)
1 2
S p p
,,1.
ν
ν
+ =
+ =
11 22 12 21
a a a a
−
11 22 12 21
a a a a
−
11 22 12 21
a a a a
−
(
)
1 2
,BS q q
,
,
1.
ν
ν
+ =
Предположим, что игрок A придерживается опти-
A
=
a a
без седловой точки.
a a
мальной стратегии
A
,
= . Поскольку для игры без сед-
ловой точки чистые стратегии являются одновременно и активными стратегиями, то согласно теореме 9.2 формулы (9.9) представляют систему равенств. Добавив к этим равенствам первое
из соотношений (9.6), получим систему:
a p a p
11 1 21 2
a p a p
12 1 22 2
p p
+ =
1 2
Решая эту систему, найдём оптимальную стратегию первого игрока:
p
=
1
и цену игры
a a
22 21
+ − −
a a a a
ν
22 11 12 21
=
,
p
=
2
a a
11 12
+ − −
.
(9.10)
+ − −
Используя формулу (9.9), (9.6) и теорему об активных
стратегиях, получим систему для нахождения оптимальной стра-
тегии
= второго игрока:
240
a q a q
+ =
11 1 12 2
a q a q
21 1 22 2
q q
+ =
1 2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]