Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Практикум по линейной алгебре и линейному программированию. Учебное пособие
.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический университет»
Р.Ш.Хуснутдинов
ПРАКТИКУМ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
И ЛИНЕЙНОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
Учебное пособие
Казань
КГТУ
2009
УДК 517
ISBN 978-5-7882-0787-2
ББК 22.1
Практикум по линейной алгебре и линейному программирова-
нию. Учебное пособие/ Хуснутдинов Р.Ш., Казань: КГТУ, 2009, 271с.
Приведены необходимые теоретические сведения и формулы,
даны решения типовых задач, приведены задачи для упражнений с
пояснениями и ответами, а также варианты контрольных работ и расчетных заданий.
Предназначено для бакалавров, специалистов, аспирантов и
преподавателей специальностей социально-экономического профиля,
а также для лиц, использующих экономико-математические методы в
практической работе.
(Индекс учебной дисциплины – ЕН.1математика)
Подготовлено на кафедре высшей математики КГТУ.
Печатается по решению учебно-редакционного совета Казанского государственного технологического университета.
Рецензенты: зав. кафедрой математического анализа ТГГПУ,
д.ф.-м.н., профессор Мухлисов Ф.Г.
профессор каф. высшей математики КГАСУ,
Семенов И.П.
Предисловие
Настоящее учебное пособие написано в результате многолетнего преподавания автором курса высшей математики в
КГТУ для студентов экономических специальностей, и охватывает следующие разделы программы по математике: элементы
линейной и векторной алгебры с их приложением в экономике,
линейное программирование, включая транспортные задачи, целочисленное программирование и теорию матричных игр.
Каждому разделу предпослано краткое изложение необходимых теоретических сведений и подробные решения примеров, демонстрирующие основные методические приемы, применимые и в более сложных случаях. Также приведены образцы
контрольных работ и типовых расчетных заданий для самостоятельной работы студентов.
Особое внимание уделено активному применению рассмотренных разделов математики в экономических исследованиях. С этой целью в каждом разделе сборника рассматриваются
и решаются задачи, посвященной использованию методов данного раздела в построении математических моделей в экономике. Среди задач и упражнений, рекомендованных для самостоятельной работы, также широко представлены задачи с экономическим содержанием. Автор надеется, что это сделает книгу не
3
только стандартным учебным пособием для студентов, но и полезным практическим руководством по основам экономикоматематических методов для магистров, аспирантов и преподавателей экономических факультетов.
В задачнике используется общепринятая система математических обозначений, основные определения выделены жирным шрифтом, теоремы (утверждения) – курсивом, нумерация
формул и задач для самостоятельного решения ведется по разделам задачника. В конце сборника приведены ответы на задачи
и упражнения.
Автор будет благодарен за критические замечания и советы, которые следует направлять по адресу: Казань, 420015, ул.
К.Маркса, 68, Казанский государственный технологический
университет, кафедра математики
4
.
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
( ) , i 1,m , j 1,n,
∈
Матричный анализ широко используется
при решении линейных математических и
экономических задач. Это в частности связано
с тем, что, используя основные понятия и идеи
матричного анализа, значительную часть математических моделей экономических объектов и процессов, удается записать в достаточ-
но компактной форме – матричной.
1.1. Матрицы. Действия над матрицами
Матрицей размерности (порядка) mxn называется таблица,
содержащая mxn чисел, расположенных в m строках и n столбцах:
...
...
...
n
n
(1.1)
где Ra
a a a
11 12 1
a a a
21 22 2
A a
≡ ≡ = =
ij
- элемент матрицы, находящийся на i-ой строке и в j-ом
ij
... ... ... ...
a a a
1 2
m m mn
столбце. Если число строк равно числу столбцов, т.е. m =n , то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Если же m ≠ n , матрица называется прямоугольной.
1.1. В таблице 1.1. приведено распределение ресурсов по
отдельным отраслям экономики страны (в усл. ед.).
Таблица 1.1.
5
Отрасли экономики
=
=
=
R∈α
=
Ресурсы
Трудовые ресурсы
Электроэнергия
Водные ресурсы
Промышленность Сельское хозяйство
3,2 2,5
6,2 4,9
5,3 6,1
По таблице можно составить матрицу распределения ре-
сурсов по отраслям. Она имеет вид:
5,22,3
9,42,6
1,63,5
A
=
и представляет собой прямоугольную матрицу размерности 3x2.
Две матрицы )a(A
ij
и )b(B
одной и той же размер-
ij
ности равны, если равны их соответствующие элементы, т.е.
ba
.
ijij
Произведением матрицы n1,j , m1,i ),a(A
число
ределяются формулой
называется матрица )b(B
ij
, элементы которой оп-
ij
n1,j , m1,i ,a b
ijij
==α= . (1.2)
=== на
6
Например, если
=
=
A
−
=
151
, то
342
A6
−
=
6306
.
182412
Пусть )a(A
рицы одной и той же размерности m x n. Суммой матриц A и B называется матрица )c(C
и n1,j , m1,i ),b(B
ij
, элементы которой определяются формулой
ij
ij
ijijij
==+= . (1.3)
=== - две мат-
n1,j , m1,i ,bac
1.2. Два обувных магазина специализированы на продаже мужской, женской и детской обуви трех сортов. Примерный
объем ежедневной реализации товаров приведен в таблице 1.2 :
Таблица 1.2
магазин II магазин Сорт
I
oбуви
Муж. Жен. Дет. Муж. Жен. Дет.
I 200 250 300 180 220 200
II 150 150 200 120 110 130
III 100 50 100 50 60 40
Требуется определить:
а). Сколько пар обуви каждого сорта продает ежедневно
каждый магазин?
б). Сколько пар обуви каждого сорта будет реализовано
обоими магазинами, если первый магазин будет работать 3 дня,
а второй – 2 дня?
7
а). Ежедневная продажа обуви магазинами может быть
описана соответствующими матрицами:
300250200
=
A
Тогда их сумма
количество обуви, реализуемое ежедневно обоими магазинами.
В частности, женской обуви будет продано: I сорта – 470 пар, II
сорта - 260 пар и III сорта – 110 пар.
б). Объем проданной обуви при указанном режиме рабо-
ты магазинов может быть выражен матрицей
B A
B2A3 .
=+
200150150
8050100
=+
13001190960
860670690
20270400
3
.
=
B ,
500470380
330260270
120110150
200220180
130110120
406050
выражает
.
Умножение двух матриц возможно только в том случае, если
число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Такие матрицы называются согласованными.
8
Под произведением двух матриц
1
k
−
AEAAE==
l1,k , m1,i ),a(A
ik
=== и n1,j , l1,k ),b(B
kj
=== по-
нимают матрицу n1,j , m1,i ),c(C
определяются формулой
Например, если
произведение есть:
==
ABC
ij
A , , то их
Квадратная матрица размерности n вида
=
E
=== , элементы которой
l
=+++=
∑
−
=
−
baba...babac . (1.4)
kjikljilj22ij11iij
=
321
265
0...001
0...010
0...100
0............
1...000
=
B
⋅+⋅−+−⋅⋅+⋅−+⋅
333)2()1(1130)2(21
⋅+⋅−+−⋅⋅+⋅−+⋅
323)6()1(5120)6(25
12
30
31
=
145
912
называется единичной матрицей. Она обладает следующим свойством:
Целая положительная степень квадратной матрицы A определяется по формуле:
9
k
; )CB(AC)BA()2
; ABBA)
1
++=+++=
+
разk
По определению считают, что A0 = E.
1.3. Возвести в квадрат следующие матрицы:
Nk,A...AAA
∈⋅⋅⋅=
.
б)
21
а)
2
а)
A
2
=
B
=
20
00
=
A
−
21
03
−
⋅
20
00
; б)
03
⋅
=
21
03
−
00
00
=
B
−
=
- нулевая матрица
Θ=
20
.
00
25
;
63
−−
размерности 2. Отметим, что из того, что An = Θ еще не следует,
что сама матрица нулевая, т.е.A = Θ.
Введенные выше операции над матрицами подчиняются следующим арифметическим законам:
;AAA)()4 ; BA)BA( )3
β+α=β+αα+α=+α
;ACAB)CB(A )6 ;BCACC)BA()5
+=++=⋅+
);B(AB)A()AB( )8;C)AB()BC(A)7
α⋅=⋅α=α⋅=⋅
+
mnnmnmnm
==⋅
.A)A()10 ;AAA)9
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]