Физика ядерных реакторов. Учебное пособие

7.13. Гомогенный реактор с отражателем

в двухгрупповом приближении. Постановка задачи

Некоторые эффекты влияния отражателя на характеристики реактора были проиллюстрированы на примере одногруппового приближения. Однако полученные результаты недостаточно точны, поскольку характерные изменения спектра нейтронов вблизи поверхности раздела активной зоны и отражателя не учитывались. Этот недостаток одногруппового приближения можно исправить, решая задачу с использованием уравнений для различных энергий (групп) нейтронов. Одним из широко применяемых методов определения критических размеров реакторов на тепловых нейтронах является двухгрупповое приближение.

Будем считать, что, испытав некоторые столкновения, быстрые нейтроны скачком переходят в группу тепловых нейтронов. Тогда необходимо определить коэффициенты диффузии и сечения реакций. Поток быстрых нейтронов определяется из условия

E

ÔÔ

==

υ

nEdE EdE

1

ãäå

– энергия рождающихся нейтронов;

E

0

() () ,

E

00

∫∫

E

cc

– энергия на

E

c

границе групп.

С учетом потока усредняются все сечения. Сечение упругого рассеяния в быстрой группе

E

0

∑

EEdE

() ()

Ô

s

∫

E

∑=

c

s

E

0

EdE

()

Ô

∫

E

c

.

Число столкновений для превращения быстрых нейтронов в тепловые равно

E

1

0

,

ln

ξ

E

c

211

Ô

∑

s

тогда

1

=∑

E

1

0

ln

E

ξ

c

– число быстрых нейтронов, перехо-

Ô

11

дящих в тепловую группу в единице объема в единицу времени, где

– некоторое условное макроскопическое

∑

1

сечение, которое характеризует исчезновение нейтронов из быстрой группы. Оно же иногда называется сечением

поглощения быстрых нейтронов, а чаще всего сечением «увода».

Аналогично определяется коэффициент диффузии в

быстрой группе D ставить

ÔÔÔ(, ) () ( )rE r E=

Если в первом приближении пред-

1.

, то для первой группы можно

записать

E

0



grad () () ()

D

=

1

В асимптотическом случае теории замедления

rDE EdE

ÔÔ

∫

E

c

E

0



Фr EdE

grad ( ) ( )

Ô

∫

E

c

.

Ô( )E

A

=

E

поэтому

E

0

∫

E

D

c

=

1

DE

()

E

ln

E

dE

E

.

0

c

,

Находим длину диффузии

E

00

∫∫

D

2

L

1

ãäå

=∑=

τ

E

1

cc

1

– возраст тепловых нейтронов.

ò

DE

()

E

ln

E

dE

E

ln

E

ξξ

0

c

∑

212

E

0

E

c

=

s

DE

()

∑

dE

E

0

E

s

DE

()

ddE

=

∫

E

c

ξτ∑

=

,

ò

s

Таким образом, длина диффузии совпадает с возрастом нейтронов:

2

L

=τò.

1

Теперь можем написать для двух групп уравнения, обеспечивающие достаточную точность.

7.14. Критическое уравнение реактора с отражателем в двухгрупповом приближении

Запишем уравнения реактора с отражателем в двухгрупповом приближении, т.е. уравнения диффузии для быстрых и тепловых нейтронов в активной зоне и отражателе:

K

D

cc cc cc11 11 22

∞

ϕ

; (7.59)

0ΔÔÔ Ô−∑ + ∑ =

D

cc cc cc22 22 11

D

rr rr11 11

D

rr rr rr22 22 11

0ΔÔÔ−∑ = ;

; (7.60)

0ΔÔÔ Ô−∑ + ∑ =ϕ

(7.61)

(7.62)

0ΔÔÔÔ−∑ +∑ = .

Индекс «1» относится к быстрой группе, а «2» – к тепловой. В этих уравнениях первый член представляет собой утечку, второй – увод, третий – источники.

Граничные условия:

è Ô2 конечны и положительны во всем объеме

1) Ô

1

активной зоны и отражателя;

и Ф2 для симметричных реакторов симметричны

2) Ô

1

по отношению к осям и плоскостям симметрии;

3) на границе активной зоны и отражателя плотности

потоков и токов равны;

4) потоки Ф

è Ô2 равны нулю на экстраполированной

1

границе отражателя.

При выводе сначала будем рассматривать систему уравнений для активной зоны, а потом для отражателя.

Активная зона. Разделим уравнение (7.59) на D (7.60) – íà D

. В результате получим

2с

1с

, à

213

ΔÔÔ Ô

1

−+∑=

11122

c

τϕ

с

1

−+∑=

2

c

2

L

c

K

∞

c

2

c

D

ϕ

D

c

1

c

2

c

cc

1

; (7.63)

0

. (7.64)

0

c

Рассмотрим общее решение однородных частей этих

уравнений:

è В2 – геометрические параметры системы и для за-

ãäå В

1

данной геометрии реактора

Δψ ψ

B+=;

1121

cc

B+=,

2222

cc

2

BB

1

линейная и однородная, следовательно, решения

(7.65)

0

(7.66)

0

2

. Система уравнений

=

2

,

ψ

1c

2c

пропорциональны между собой и являются решениями уравнения

2

Δψ ψ+=B

. (7.67)

0

Решение этого уравнения ищем в виде

ψψ1cr= ()



;

ψψ

2c



Sr= ()

,

ãäå S – постоянная, некоторый коэффициент пропорциональности.

Подставив решения в уравнения (7.63) и (7.64), по лучим

1

Δψ

τ

сc

S

Δψ ψ

K

∞

ψ

ϕ

D

1

S

2

L

r

S

2

c

ϕ

1

c

ψ−+∑=10

D

2

c

;

0

ψ−+ ∑ =

.

Воспользовавшись уравнениями (7.65) и (7.66), имеем

214

1

2

−− + ∑ =

B

τ

2

−−+∑=SB

K

∞

ψ

ϕ

D

сc

L

1

S

2

r

ψ

S

2

c

ϕ

c

1

ψ

D

c

2

;

0ψ

.

0Δψ ψ

Из второго уравнения определяем

∑

ϕϕ

c

S

=

DB LDDB L

2

1

22

+

cc

11(/) (/)

=

τ

2

cc c

1

c

22

+

.

Подставив S в первое уравнение, получим квадратное уравнение относительно

K

∞

22 2

++

()()11

BL B

cc

τ

– критическое уравнение для реак-

=

1

KBLB

=+ +()()11

22 2

cc∞

τ

èëè

тора без отражателя в двухгрупповом приближении. Эта формула совпадает с полученной (7.31) для большого реактора в одногрупповом приближении. Решая уравнение, получаем

4

B

⎡

1

22

B

==− +

μ

1

⎢ ⎢

2

⎢

⎣⎣

⎡⎡

1

22

B

=− = − +

ν

2

⎢ ⎢

2

⎢

⎣

Если учесть, что

⎛

11

⎜ ⎜

τ

⎝

⎛

11 11

⎜

ττ

c

⎝

⎛

11 11

⎜

ττ

c

⎝

()K∞−<<11

⎞ ⎟

2

⎟

L

c

ccc

⎠

⎞

++

⎟

2222

⎟

LLKL

c

⎠

⎞

−+

⎟

2222

⎟

LLKL

c

⎠

K

1

2

B

⎛ ⎜

⎜ ⎝

⎛ ⎜

⎜ ⎝

−

∞

−

L

τ

c

ccc

c

ccc

;

0++

=

2

⎞

41

()

+

⎟

⎟ ⎠

⎞

41

()

+

⎟

⎟ ⎠

, то выражение под корнем

⎤

−

⎥

∞

τ

;

> 0

⎥ ⎥

⎦

⎤

−

⎥

∞

τ

.

< 0

⎥ ⎥

⎦

разлагается в ряд. Получим упрощенный вид уравнений:

μ

2

K

∞

2

τ

+

L

cc

;

2

≈+

ν

L

11

.

2

τ

c

1≈−

Постоянная S принимает два значения:

S

=

1

ϕ

DL

1

τμ(/ )

cc c

1

D

c

1

22

+

;

S

=

2

τν(/ )

D

ϕ

c

1

22

−

DL

cc c

1

Следовательно, уравнение (7.67) можно записать в виде двух уравнений:

ΔXX+=μ

2

;

0

.

215

тогда

ΔYY−=ν

2

,

0

Ô1cAX CY=+

;

Ô

SAX SCY=+

21 2c

.

Функции X è Y решаются для соответствующей систе-

мы координат, своего типа реактора.

Отражатель. Имеем

ΔÔÔ

ΔΣÔÔ Ô

−+ =

2

r

1

−=

11

r

τ

r

1

2

r

2

L

r

; (7.68)

0

r

1

r

D

2

r

. (7.69)

0

1

r

Запишем решения уравнений (7.68) и (7.69):

Ô

11r

ãäå Z

– решение уравнения

1

ÔÔ

GZ S GZ S FZ=+ =+

2 1231 1231rr

ãäå Z

– решение уравнения

2

В этих уравнениях F, G

1

ния. Для определения коэффициента связи S

è Ô2r подставим в уравнение (7.69) и получим

Ô

1

,

FZ=

ΔZZ

1

11

τ

r

;

0−=

,

ΔZ

1

2

L

r

.

0−=

Z

2

, S3 – константы интегрирова-

значения

3

S

=

3

DL

1

2

11

−

()τ

rr r

2

.

Σ

r

Теперь в общем случае для системы уравнений

ΔXX+=μ

ΔZZ

2

0

1

11

τ

0−=

r

;

ΔYY−=ν

ΔZ

2

;

0

1

2

L

r

0−=

Z

2

может быть записано решение в следующем виде:

216

Ô

1c

AX CY=+

;

Ô

SAX SCY=+

21 2c

;

Ô

;

FZ=

11r

ÔÔ

GZ S GZ S FZ=+ =+

2 1231 1231rr

.

Эти решения определяются для конкретной геометрии реактора. Постоянные находятся из граничных условий:

AX CY FZ+− =10

SAX SCY GZ SFZ

121231

′

DAXCY DFZ

cr111

DSAX SDCY DGZ SFDZ

′

ccr r21 22 212 3 21

+

′

+

−

′

−

;

0+−− =

′

;

0()

=

′′

.

0

=–

Решение данной системы возможно, если определитель системы равен нулю:

XY Z

SX SY SZ Z

12 312

′′

DX DY DZ

11 11

cc r

SD X S D Y S D Z

′′−′

12 22 32

cc r

−

1

−−

0

=

0

′

−

DZ

1122

r

.

Введем обозначения:

α=

′

X

;

X

β=

′

Y

;

Y

γ=

′

Z

1

;

Z

1

δ=

′

Z

2

;

g

Z

2

′

D

r

1

;

=

1

D

c

1

D

g

2

=

2

D

2

r

.

c

В результате получим критическое уравнение реактора в двухгрупповом приближении:

δγβ

++

gC gC C

21 12 3

α

=

CCC

++

123

,

ãäå

CSg

=−()γβ

111

;

CS g

=−()βδ

22 2

;

CSg

=−()δγ

332

.

Для реакторов различных форм решение волновых уравнений представлено в табл. 7.2. Значения параметров

и δ приведены в табл. 7.3.

αβγ,,

217

⎞⎠⎟

r

1

L

⎛⎝⎜

0

K

⎞⎠⎟

Tx

+−

2

Z

H

⎛⎝⎜

1

sh

⎞⎠⎟

Tr

+−

H

⎛⎝⎜

1

r

2L

r

2L

r

sh

⎞⎠⎟

Tx+−

1

2

Z

H

⎛⎝⎜

τ

1

sh

+−

r

RT r

()

r

τ

1

sh

+

RT

()

r

1

L

0

I

K

−

⎞⎠⎟

r

1

L

⎛⎝⎜

0

I

⎞⎠⎟

⎟

r

τ

1

⎛⎝⎜

⎜

0

Kr

+

()

r

1

τ

1

0

IRT

KRT

−

⎞⎠⎟

⎟

r

τ

1

⎛⎝⎜

⎜

0

r

L

r

τ

0

ch νx

XY

Активная зона Отражатель толщиной

cos μx

r

sh νr

r

sin μr

()ν Ir

0

()μ Ir

0

Ir

Таблица 7.2. Решение волновых уравнений для потока нейтронов в активной зоне и отражателе

Геометрия реактора

Бесконечный плоский

с толщиной активной

çîíû

Сферический с радиусом

активной зоны

Бесконечный цилиндри-

ческий с радиусом

активной зоны

218

Таблица 7.3. Значение параметров

Параметр Сферический реактор Цилиндрический реактор

γ=

δ=

α=

β=

⎡ ⎢

⎛

⎢

1

ττ

⎛

′

Z Z

X X

Y

11

1

−

cth

ττ

1

′

2

′

rr

11

−

cth

L

rr

μμcth( )RR−

vcth( )νRR−

⎞

T

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

T

−

⎜

⎟

LR

⎝

⎠

1

R

I

⎜

1

⎢

⎜

rr

⎝

⎢ ⎢

⎣

⎛

⎞

R

I

⎜

⎟

0

⎜

⎟

τ

r

⎝

⎠

⎡ ⎢

⎛

R

1

⎢

I

⎜

1

⎢

⎜

L

⎝

rr

⎢ ⎢

⎣

⎞

⎛

R

I

⎟

⎜

0

⎟

⎜

L

⎠

⎝

r

⎞

−

⎟ ⎟

⎠

I

−

K

⎞

−

⎟ ⎟

⎠

−

K

−μ

⎛

I

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

K

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

RT

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

RT

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

I

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

K

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

RT

I

⎜

0

⎜ ⎝

⎛

RT

⎜

0

⎜ ⎝

()

1

IR

()

0

IR

()

ν

1

v

IR

()

ν

0

RT

+

τ

r

RT

+

τ

r

⎞

+

⎟ ⎟

τ

r

⎠

⎞

+

⎟ ⎟

τ

r

⎠⎠

+

RT

L

r

+

RT

L

r

⎞

+

⎟ ⎟

L

⎠

r

⎞

+

⎟ ⎟

L

⎠⎠

r

μμIR

⎞ ⎟

⎟ ⎠

K

⎞ ⎟

⎟ ⎠

⎛

K

⎜

0

⎜ ⎝

⎞ ⎟

⎟ ⎠

K

1

⎞ ⎟

⎟ ⎠

⎛

K

⎜

0

⎜ ⎝

⎤ ⎥

⎛

⎞

⎥

R

⎟⎟

⎜

1

⎥

⎟

⎜

τ

r

⎝

⎠

⎥ ⎥

⎦

⎞

R

⎟ ⎟

τ

r

⎠

⎤ ⎥

⎞

⎛

R

⎥

⎜

⎟⎟

⎥

⎜

⎟

L

⎠

⎝

r

⎥ ⎥

⎦

⎞

R

⎟ ⎟

L

⎠

r

Упражнения

1. Определить оптимальный объем цилиндрического реактора

диаметром 1 м.

2. В гомогенный цилиндрический реактор на расстоянии 1 м от

оси и 1 м от торца реактора поместили образец с поверхностью

2

для облучения нейтронами. Определить число нейтронов, ко-

1 см торые воздействовали на образец в течение одних суток (флюенс нейтронов), если реактор имеет следующие размеры: диаметр – 3 м, высота – 3 м (отражатель не учитывать).

3. Построить график зависимости эффективной добавки отра-

жателя плоского реактора больших размеров от толщины отражателя. Замедлитель и отражатель выполнены из графита.

219

ГЛАВА 8

ГЕТЕРОГЕННЫЕ РЕАКТОРЫ

8.1. Классификация решеток

В гетерогенной среде топливо, замедлитель, конструкционные материалы и теплоноситель разделены в объеме активной зоны. Упорядоченная система топливных стержней образует решетку активной зоны гетерогенного реактора. Расстояние между осями стержней называется ша- гом решетки (ðèñ. 8.1).

а

1

c

’

a

’

b

’

d

b

p

d

0

’

l

’

f

d

2

в

l

k

n

m

b

p

б

a

b

c

d

2

d

b

г

p

m

’

l

’

k

p

’

2

1

3

4

1

2

’

d

3

n

o

к

5

’

b

кp

Рис. 8.1. Различные решетка активной зоны гетерогенного реактора:

а – тесная простая; б – разреженная простая; в – сложная (канальная); г – канал; d

– диаметр топливного блока; d2 – диаметр твела; dк – диаметр канала; bð – øàã

0

решетки; b теплоноситель; 4 – замедлитель; 5 – труба канала; a′b′c′d′l′f′ – элементарная шестиугольная ячейка; abcd – элементарная квадратная ячейка; klmn –

– шаг внутриканальной решетки; 1 – топливо; 2 – оболочка; 3 –

êð

макроячейка; k′l′m′n′o′p′ – микроячейка

220