Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
на линии ас. Если положить μ = –1, то уравнение (6.88)
сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка по переменной r:
Ô
d
−+ −=
dr
rfr
t
с начальным условием
Ô( , ) .R010−=
Если решать данное уравнение каким-нибудь конечноразностным методом, то мы придем к конечно-разностной
формуле относительно величин
Ô
k,0
, причем
Ô
k,.0
0=
Предположим, что это дополнительное уравнение решено, т.е. известны значения Ф в узлах линии ас. Значения
в узловых точках (k, j) ïðè
Ô
kj,
12≤≤jn
могут быть
определены по формуле
ÔÔ
kj kj k j kj
−
GR
,,,,
+−1
(6.93)
,=+
ãäå
−
GDC
=−
kj kj kj,,,
−
R
kj
1
=+−−
D
Ef Ef A B
()
k k k k kj kj kj k j,
−
1
kj
,
+−−−−−
/;
−−
11
111111
ÔÔ
,, , ,
Следует особо подчеркнуть, что счет «сверху вниз»
(см. рис. 6.5) по формуле (6.93) при
12≤≤jn
направлением устойчивости счета. При
совпадает с
njn2 <≤
ñ÷åò,
напротив, будет устойчивым «снизу вверх». В этом случае
расчетная формула, получаемая из (6.92), имеет вид
ÔÔ
k j kj kj kj
+
1, , , ,
++
GR
=+
(6.94)
,
ãäå
+
GC D
=−
kj kj kj,, ,
+
R
kj
1
=+−−
D
Ef Ef A B
()
k k k k kj kj kj k j,
−
1
kj
,
+−−−−−
/;
−−
11
111111
ÔÔ
,, , ,
.
.
Для реализации счета по формуле (6.94) нужно знать
значения функции Ф на линии 0d. Наиболее естественно
данные значения получить из следующего условия, обеспечивающего нейтронный баланс в центре сферы:
181
ÔÔ
00
,,
jnj
−
().
2
jn=>
После того как значения функции
получены во
Ô
kj,
всех узлах сетки, легко подсчитать для следующей итерации значения функции
В соответствии с аппрокси-
Ô( ).r
мацией (6.90) имеем
Δ
μ
ÔÔÔÔÔÔ
r
0
k k k k kn kn
⎡
=
⎣
2
22 2( ) ... .
++++ +
,,, , ,
012 1
−
⎤
⎦
Далее итерационный процесс может быть повторен не-
обходимое число раз.
Предположим, что при счете по формуле (6.93) допу-
щена погрешность в точке (k + 1, j), равная
δФ
kj+1,
Данная
.
погрешность проявится в точке (k, j) и будет равна
−
G
,, ,
следует, что
+1
.=
−
G
kj,
(см. значения
< 1
Поскольку из
δδÔÔ
kj kj k j
jn≤ 2
коэффициента в уравнении (6.92)), то это означает, что
δδÔÔ
kj k j,,
(6.95)
,<
+1
т.е. дальнейшего наращивания погрешности не наблюдается. Если бы при
мы вели счет «снизу верх», то из
jn≤ 2
(6.95) наблюдался бы последовательный рост единожды
допущенной погрешности, что может при большом числе
расчетных узлов превратить счет в неустойчивый.
Ïðè
jn> 2
из формул (6.92) и (6.94) устанавливаем
+
;
G
kj,
δδÔÔ
< 1
kj kj+<1, ,
,
т.е. рост допущенной погрешности при счете «снизу вверх»
не наблюдается, но будет неуклонный рост погрешности
при попытке вести счет «сверху вниз».
Замечание. Как следует из уравнения (6.86), а также из соображений симметрии, в центре изучаемой сферы
поток не должен зависеть от угловой координаты, т.е. во
всех точках линии cd значения функции Ф должны быть
равны другу другу:
ÔÔÔ Ô Ô
00 01 02 0 1 0,,, , ,
...==== =
−nn
.
182
Решение уравнений с помощью SN-метода в цилиндри-
ческих координатах рассмотрено в [2; 12].
Упражнения
1. Записать уравнения диффузии для цилиндрического гомоген-
ного реактора с отражателем в стационарном режиме.
2. Записать необходимые граничные условия для решения урав-
нений диффузии (применительно к упражнению 1).
ГЛАВА 7
КРИТИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ РЕАКТОРОВ
7.1. Уравнение для материального параметра реактора
в диффузионно-возрастном приближении
Рассмотрим однородную активную зону реактора без
отра жателя. В таком реакторе нейтроны, вылетевшие за
пределы активной зоны, обратно не возвращаются, и спектр
нейтронов, таким образом, в каждой точке одинаков. Это
означает, что переменные r è Е, входящие в поток Ф (r, Е),
разделяются.
Считаем, что размеры реактора достаточно большие и
точное значение длины экстраполяции d не имеет значения. Разделим нейтроны на две группы:
1) замедляющиеся с энергией от Е
2) тепловые с энергией Е < Е
ãð
Будем также считать, что при замедлении возраст нейтронов изменяется от 0 до τ
.
ò
Предположим, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, а все резонансное поглощение сосредоточено на границе области, плотность замедления скачком
уменьшается в ϕ ðàç.
Для замедляющихся нейтронов справедливо уравнение
возраста
dq r
Δqr
(,)
(,).ττ
=
d
äî Е;
ãð
.
(7.1)
τ
Диффузия тепловых нейтронов описывается уравнением
ãäå
D
Dr rqr
ÔÔΔ () () (, ) ,−∑ + =ϕτ 0
– усредненные константы; Ф (r) – усредненный
, ∑
аòò
аòò ò
по тепловой области поток нейтронов;
ϕτqr,
(7.2)
– скорость
()
ò
генерации тепловых нейтронов.
184
Исходя из начального (по энергии) условия, должна
быть определена скорость генерации быстрых нейтронов
при
. В рассматриваемом случае генерация вторич-
τ=0
ных нейтронов происходит только в результате поглощения тепловых. На каждый поглощенный тепловой нейтрон генерируется
θηε ϕ=∞K
быстрых нейтронов. Полное
число тепловых нейтронов, поглощенных в единице объема и в единицу времени, равно
∑
аrò
. Поэтому ско-
Ô( )
рость генерации быстрых нейтронов
qr r K
(, ) () .0 =∑∞òÔ ϕ
а
(7.3)
Итак, будем искать решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка (7.1) и (7.2) с граничными
– экстраполированный размер реактора) и начальным
(
R
ý
qR(,)
ý
00=
;
Ôý()R = 0
(7.3) условиями. Допускаем, что переменные
(7.4)
è τ â
r
qr(, )τ
разделяются, т.е.
ãäå
qr rX(,) () ()ττ= Ô
– спектр замедляющихся нейтронов в реакторе
X()τ
, (7.5)
конечных размеров.
Подставляя (7.5) в (7.1) и разделяя переменные, получаем
ΔÔÔ()
r
=
() ()
rXdXd
Правую и левую части уравнения можно приравнять
константе. Обозначим ее как
1
–χ
()
τ
(7.6)
τ
2
.
τ
.
В результате имеем два уравнения:
ΔÔÔ() ()rr+=χ
dX X d() ()ττχτ=−
2
; (7.7)
0
2
. (7.8)
После интегрирования (7.8) получим
2
XX() ()expτχτ=−
⎡
0
⎣
⎤
,
⎦
185
ãäå
– значение
X()0
вия (7.3) следует, что
ïðè
K
τ=0
∞
X()τ
X
() ;0 =∑
ϕ
. Из начального усло-
а
ò
K
qr
(,) ()expτ
Видно, что знак перед
∞
ϕ
χ
r
Ô
а
ò
2
выбран правильно. Это следу-
ет из физического условия: плотность замедления
⎡
⎣
2
⎤
. (7.9)
χτ=∑ −
⎦
qr(, )τ
может только убывать при уменьшении энергии нейтронов. Подставляя значение
qr(, )τ
в уравнение (7.2), по-
ò
лучаем
DrK r
ÔÔΔ () exp ()+−
⎡
∞
⎣
χτ210
()
⎤
−
∑=
aòòò
⎦
(7.10)
èëè
exp
K
ΔÔÔ
()
∞
2
−
()
2
L
χτ
ò
−
1
ò
() .r
r+
=
(7.11)
0
Из сравнения выражений (7.11) и (7.7) имеем
2
1
−
ò
(7.12)
.
Параметр
KLexp
2
=
χ
2
, определяемый трансцендентным уравне-
χ
−
χτ
()
∞
2
ò
нием (7.12), зависит только от характеристик реактора,
поэтому он называется материальным параметром, а само
уравнение – уравнением для материального параметра в
диффузионно-возрастном приближении.
7.2. Условие критичности реактора
в диффузионно-возрастном приближении
Установим связь между нейтронно-физическими ха-
рак теристиками критического реактора и его размерами.
186
Для этого будем считать, что поток нейтронов зависит не
только от координат, но и от времени, т.е.
1
Ô
vD
∂
∂
T
ΔÔÔ
(,) (,)
2
+=
χ
ÔÔ= (,)rt
(,)
rt
(7.13)
.rt rt
t
.
Найдем условие, при котором нестационарное уравнение (7.13) переходит в стационарное уравнение реактора.
Пусть переменные r и t в функции Ф (r, t) разделяются:
Ô rt r t,()exp().
=ψ ω
()
(7.14)
Подставляя (7.14) в уравнение (7.13) после сокращения на exp(ωt), имеем
Δψ ψ() ()rBr+=
2
, (7.15)
0
ãäå
22
BvD
=−
χωò.
(7.16)
()
Граничное условие для уравнения (7.15) примет вид
ψ()Rý= 0
. (7.17)
Общее решение уравнения (7.15) представим в виде
разложения по полной системе ортогональных собственных функций:
∞
ψψ() ().rAr
=
Каждой собственной функции
2
ственное число
B
, ò.å.
n
è
ψ
n
∑
nnn
=
0
2
связаны между собой урав-
B
n
(7.18)
соответствует соб-
ψnr()
нением
Собственные числа
Δψ ψ
nnn
2
rB r() () .+=
2
расположим в следующей воз-
B
n
(7.19)
0
растающей последовательности:
2
2
<
0
≤ B
2
– наименьшее собственное число. Решение уравне-
ò.å.
B
0
< … <
B
0
1
2
… ,
B
n
ния (7.13) запишем в виде
187
ãäå
∞
Ô( , ) ( ) exp( ),rt A r t
=
ωχ
nn
ψω
∑
nn n
=
0
n
22
BvD=−().
ò
(7.21)
(7.20)
Проанализируем полученное решение при различных
2
2
è
соотношениях
2
1.
χ
= B
Ôò(,) () ()exp .rt A r A r B vDt
Ïðè
t →∞
χ
2
. Тогда
0
=+ −−
ψψ χ
00
второй член правой части стремится к нулю и
22
2.
χ
Ôò(,) ()exp( )
rt A r B vDt
() ()
Ar A r
++
ψψ
ll nn
Ïðè
первый член в правой части неограниченно
t →∞
и больших значениях t.
B
n
∞
∑
nn n
1
=
n
ÔÔ(,) () ().rt r A r→=
В этом случае
0=>Bll().
1
−
l
=−
ψχ
∑
nn n
0
=
n
∞
∑
==+
n
l
1
00
20
⎡
⎣
⎡
−−
exp ( ) .χ
⎣
02
⎡
()
⎣
(7.22)
ψ
⎤
⎦
02
BvDt
n
⎤
⎦
+
⎤
ò
⎦
возрастает, второй остается постоянным, а третий стремится к нулю. В этом случае стационарное состояние реактора никогда не достигается. Таким образом, из рассмот-
202
ренных выше примеров видно, что при
Ô( , )rt
во времени возрастает и реактор находится в надкри-
2
тическом состоянии. При
χ
< B
2
поток
0
Ô( , )rt
χ
поток
> B
уменьшает-
ся с течением времени, а реактор оказывается в подкритическом состоянии. Стационарное (критическое) со стояние
реактора достигается только при
2
2
χ
(7.23)
= B .
0
Поскольку собственное число определяется геометрией
(размерами) реактора, то
2
принято называть геометри-
B
0
ческим параметром. Тогда условие (7.23) формулируем
188
следующим образом: в критическом реакторе матери альный параметр равен геометрическому.
Соответственно уравнение реактора (7.7) и выражение
(7.9) можно записать следующим образом:
(индекс «0» у
ΔÔÔ() () ;rB r+=
qr
(,) ()expτ
K
ϕ
2
опущен).
B
0
2
∞
∑
Ô
а
ò
(7.24)
0
2
rB
()
(7.25)
τ=−
Такая форма записи позволяет легко установить физический смысл экспоненты в соотношении (7.25). Причиной
убыли нейтронов в отсутствие поглощения служит утечка.
Поэтому
exp( )−B2τ
жания утечки нейтронов при замедлении. Заменяя в выражении (7.12)
KB
2
B
=
представляет собой вероятность избе-
2
2
íà
χ
exp( )τ
∞
, имеем
B
2
−−
2
L
ò
1
ò
èëè
KB
exp( ).τ
∞
1
−
1
+
BL
−
22
2
ò
(7.26)
ò
Таким образом, мы установили связь между нейтроннофизическими характеристиками реактора и его размерами. Соотношение (7.26) будем называть критическим
уравнением в диффузионно-возрастном приближении.
В критическом реакторе
Kýô= 1
. Поэтому из сравнения
выражений (2.15) и (7.26) следует, что в диффузионновозрастном приближении вероятность избежания утечки
нейтронов из реактора
−
PBBL=−
exp .
222
+
()
1τ
()
òò
1
(7.27)
Экспонента
exp( )−B2τ
ность для нейтронов, имеющих возраст
утечки в процессе замедления; сомножитель
представляет собой вероят-
ò
избежания
τ
ò
22
1
+
BL
()
ò
–
1
–
вероятность избежания утечки тепловых нейтронов в процессе диффузии.
Покажем, что это так. С учетом (7.24) уравнение (7.2)
запишется так:
189
)
2
DB r r qr
ÔÔ
() (, ).+
òò
а
ò
=∑ϕτ
()
(7.28)
Первый член в левой части описывает пространственную утечку, второй – поглощение тепловых нейтронов.
Тогда вероятность избежания утечки равна отношению
числа поглощенных нейтронов к числу поглощенных нейтронов и вышедших из системы в результате утечки:
r
Ô
P
=
∑
ÔÔ
∑
а
ò
()
а
ò
rDB r BL
() ()
222
+
òò
1
=
1
+
(7.29)
.
На рис. 7.1 представлено изменение плотности замедления нейтронов в ядерном реакторе от момента их рождения до поглощения в тепловой области энергий.
На практике могут встретиться две задачи:
при заданных параметрах размножения 1)
KL
()
2
è
,,τ
∞
выбранной форме реактора найти его критические размеры. Иными словами, задача сводится к отысканию геоме-
2
трического параметра
;
B
при заданной форме и размерах реактора (т.е. при 2)
известном параметре В
множения (
KL
,,τ
∞
2
2
) выбрать такие параметры раз-
, а следовательно, и
2
), чтобы данный
χ
τ = 0
Σ Φ(r)
at
τ=τ
т
τ
q(r, 0) – скорость генерации быстрых нейтронов; [1 – exp(–B2τò)] q(r, 0) – скорость
утечки нейтронов при замедлении до тепловой области; (1 – ϕ) q(r, τ
поглощения при замедлении; ϕq(r, τ
Рис. 7.1. Изменение плотности замедления:
Σ
Ô(r) – скорость поглощения тепловых нейтронов
аò
q(r, 0)
[1–exp(–B τ )]q(r, 0)
(1–ϕ)q(r, τ )
ϕq(r, τ )
2
т
т
т
q(r, τ
) – скорость генерации тепловых нейтронов;
ò
ò
) – скорость
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]