Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
щает нашу задачу. Если выде лим
Ô
вблизи Е (рис. 4.5), то число
актов рассеяния в единице объема за единицу времени, испытываемых нейтронами с энер-
′
гиями от
E
äî
′
+′EdE
, равно
E
’
dE
dE
E
0
’
E
E
′′′
ΣsEФE dE()() ,
где
при энергии
′
– сечение рассеяния
ΣsE()
E
тронный поток;
– плотность столк но-
E()×′Ô
′
;
FE E
– íåé-
Ô( )′E
′
() ()
=
s
0
Рис. 4.5. Энергетический интервал при соударении нейтрона
′
×Σ
с водородом
E = 0
вений.
Тогда
′′′=′′
Ô( ) ( ) ( ) .
E E dE F E dE
Σ
s
После столкновения с ядрами водорода значение энергии нейтронов, имевших первоначальную энергию Е
жит в интервале между
′
и нулем. При этом доля ней-
E
, ëå-
0
тронов, рассеянных в элементарный интервал энергии dЕ,
равна
результате рассеивающих столкновений в элементе
равно
′
. Число нейтронов, рассеянных в элемент dE â
dE E
dE
′′
FE dE
() .
′
E
dE
′
,
Полное число нейтронов, рассеянных в элемент dЕ â
результате всех столкновений этого типа, т.е. после предшествующего рассеяния в интервале от Е
E
0
′
FE dE
()
∫
E
′
.
dE
′
E
äî Е:
0
При этом предполагается, что нейтроны уже были рассеяны в элементы
′
и лишь после этого рассеялись в
dE
элемент dЕ. Но поскольку однократное столкновение с
ядром водорода может уменьшить энергию нейтрона от ее
начального значения Е
до нуля, некоторые нейтроны бу-
0
дут рассеяны в элемент dЕ в результате своего первого
столкновения. Если Q – число генерируемых нейтронов с
энергией Е в единице объема в единицу времени, то число
91
столкновений в стационарном процессе также равно Q.
Из этого числа доля dЕ/Е
рассеивается в элемент dЕ.
0
Число нейтронов, рассеянных в элемент dЕ в результа-
те первого столкновения, будет
Q
dE
.
E
0
Полное число нейтронов, рассеянных в элементарный
энергетический интервал dЕ в результате первого и последующих столкновений, равно сумме:
E
0
⎡
⎢
⎢
⎣
∫
E
FE
()
′
E
′
dE
⎤
Q
⎥
+
dE
E
.
⎥
0
⎦
Условие стационарности энергетического распределения нейтронов означает, что число нейтронов, выбывающих в результате рассеяния из каждого элементарного
энергетического интервала, должно равняться полному
числу нейтронов, поступающих в этот же интервал. Число
нейтронов, выбывающих вследствие рассеяния из элемента dЕ, равно F(E) dЕ. Условие стационарности для dЕ на
единичный интервал энергии запишется так:
E
0
∫
E
FE
()
E
′
′
(4.19)
dE
.=+
′
FE
()
Q
E
0
Поскольку в (4.19) Е входит в качестве нижнего предела, то можно записать
dF E
() ()
dE
FE
E
.=−
Решение этого уравнения:
() ,=
C
FE
E
ãäå С – константа.
Из граничного условия
92
FE
() ,
Q
получаем
=
0
E
0
Находим поток
C = Q;
FE
() .=
Q
(4.20)
E
Èç (4.18)
Ô( ) .E
ÔÔ() ( ) .uEE
==
Q
=
(4.21)
E
Σ
s
Q
Σ
s
Плотность столкновений
Ô( ) ( ) ( ) ( ) .uuFuEFEQ
Σ= = =
s
Таким образом, плотность столкновений в водороде
постоянна при всех значениях летаргии и равна мощности источника.
4.7. Плотность замедления в водороде
Введем понятие плотности замедления. Это число нейтронов, замедлившихся ниже энергии Е (их энергия попадает в интервал от 0 до Е) в единице объема в единицу
времени. Найдем данную величину.
Из общего числа столкновений в водороде, происходя-
′
щих в элементарном энергетическом интервале
столкновений, переводящих нейтроны в область энергии,
′
лежащую ниже Е, равна
. Число нейтронов, замедля-
EE
ющихся ниже энергии Е в результате рассеяния в элемен-
′
, равно
òå
dE
E
′′
FE dE
() .
′
E
dE
, äîëÿ
Полное число нейтронов, замедляющихся ниже энергии Е в результате предшествующего рассеяния в интервале энергий от Е äî Е
:
0
E
0
′
()
FE
E
∫
E
E
′
.
dE
′
93
К этому нужно прибавить число нейтронов, замедля-
ющихся ниже энергии Е в результате первых столкнове-
QE
íèé:
.
E
0
Тогда плотность замедления
E
0
′
QE
q
=+
E
0
()
FE
E
∫
E
E
′
(4.22)
.
dE
′
В стационарном состоянии из (4.20) имеем
FE
()′=
Q
E
′
è
E
0
∫
()
E
dE
E
′
(4.23)
=
Q
,
2
′
QE
q
=+
E
0
QE
т.е. в бесконечной водородной среде, в которой отсутствует поглощение нейтронов, плотность замедления постоянна, не зависит от энергии и равна мощности источника.
4.8. Замедление в средах с массовым числом À > 1
Äëÿ ÿäåð ñ А > 1 наименьшая возможная энергия ней-
трона после первого столкновения равна
нейтронов в интервале энергий от Е
äî
0
как первыми столкновениями, так и многократным рассеянием нейтронов с энергиями между Е
ных энергий меньше
первые акты рассеяния не влия-
αE
0
0
ют на плотность столкновений. Поэтому при вычислении
плотности столкновений (замедления) данные интервалы
энергий нужно рассматривать отдельно.
Первый интервал
< Е < Е0. Число столкновений,
αE
0
испытываемых нейтроном в элементарном энергетическом интервале
dE
′
, равно
′′
FE dE() .
Доля нейтронов, рассеянных в элемент dЕ, составляет
dE
ãäå
′
EE
,
−′α
′′
(– )
EEα
– энергетический интервал, в кото-
. Замедление
αE
0
обусловлено
αE
0
и Е. Для нейтрон-
94
рый могут попасть нейтроны энергии
′
в результате од-
E
нократного рассеяния.
Таким образом, число нейтронов, рассеянных в эле-
′
ìåíò dЕ в результате столкновений в элементе
dE
, равно
′′
FE dE
()
dE
′
E
()
−1 α
.
Полное число нейтронов, попадающих в элемент dЕ â
результате предшествующего рассеяния в энергетическом
интервале от Е
Е äî Е
:
0
äî Е, определяется интегрированием от
0
E
∫
E
′
FE
()
′
−
E
()
10α
dEdE
′
.
Из числа нейтронов источника с энергией Е0 в элемент
dЕ рассеивается доля
dE
.
−α
EE
00
Åñëè Q – число генерируемых нейтронов с энергией Е0
в единице объема и в единицу времени, то число нейтронов, рассеянных в элемент dЕ в результате первых стол-
кновений, равно
QdE
1()
−α
E
0
.
Число нейтронов, выбывающих из элемента dЕ, будет
F(Е) dЕ.
Запишем условие стационарности:
E
FE
()
Q
E
()
−
11
0
0
+
∫
αα
E
Продифференцировав по Е, получим
dF E
()
FE
()
=
E()
′
FE
()
′
−
E
()
dE
.−
′
dE
(4.25)
−1 α
(4.24)
.=
95
Решением уравнения является
F
ln ( ) ln ln ,FE E C=−
1
−
1 α
+
èëè
FE
() .=
C
1
⎞
⎛
⎟
⎜
1 α
−
⎠
⎝
E
Используя граничное условие из (4.24), получаем
FE
()
0
Q
E
()
1=−α
0
,
ò.å.
α
⎞
⎛
⎟
⎜
1
−
α
⎠
⎝
QE
FE
()
0
=
1
α()
−
1
(4.26)
,
1
⎛
⎞
⎜
⎟
−
1
α
⎝
⎠
E
ãäå F(Е) – плотность столкновений в стационарном состоянии для нейтронов с энергией Е
()αEEE
<<
00
.
По скольку
Fu EFE() ( ),=
α
⎛
⎞
⎜
⎟
−
α
1
⎝
⎠
0
1
α
−
1
(4.27)
1
⎛
⎞
⎜
⎟
α
−
1
⎝
⎠
E
òî
(u)
Fu
() .=
QE
При убывании Е значение
F(u) монотонно возрастает в
пре делах от Е
Рассмотрим интервал Е < αЕ
äî αЕ0 (ðèñ. 4.6).
0
.
0
Число нейтронов, рассеянных в
элемент энергии dE в результате
Рис. 4.6. Изменение плот ности столкновений в интервале
αE
0
Е
0
…αЕ
0
0
E
E
0
столкновений в
′′
FE dE
()
′
, равно
dE
dE
′
E
()
−1 α
.
96
F(u)/Q
1,4
1,2
1,0
Водород
0,01
a
Дейтерий
1/ξ=1,0
αE
0,1
1/ξ=1,38
0
1,0
E
0
E, МэВ
F(u)/Q
8
6
4
0,01
б
Углерод
1/ξ=8,33
0,1
αE
0
1,0
E
0
E, МэВ
а – для дейтерия и водорода; б – для углерода (энергия нейтронов источника
Рис. 4.7. Плотность столкновений:
принята равной 2 МэВ)
Наибольшая исходная энергия нейтрона, который может
оказаться с энергией Е после такого столкновения, равна
. Следовательно, полное число нейтронов, рассеянных в
E α
элемент dE, определяется интегрированием в пределах от Е
äî
, т.е. число нейтронов, рассеянных в dE, равно
E α
E
/
α
′′
FE dE
∫
E
E
()
′
()
−
1 α
dE
.
В стационарном состоянии
E
/
α
FE
()
=
∫
E
′
FE
()
′
−
E
()
1 α
(4.28)
dE
.
Решение уравнения достаточно сложное. Рассмотрим
общие закономерности. Асимптотическое значение, к которому стремится F(u) ïðè
âàëå îò Е
äî
0
значение F(u) монотонно возрастает с
αE
0
EE<α
, равно
0
Q / ξ
. В интер-
уменьшением энергии для А > 1 (рис. 4.6, 4.7). В том интервале первые столкновения нейтронов источника дают
одинаковые вклады в F(u) для всех значений энергии, а
многократное рассеяние обусловливает возрастание F(u) ñ
уменьшением энергии нейтронов.
Ïðè Е = αЕ
кривая испытывает разрыв (см. рис. 4.7)
0
Из (4.24) имеем
FЕ
()
0
E
Q
=
E
()
αα
−
11
0
0
FE
∫
′
E
()
E
0
()
−
+
α
′
′
dE
.α
97
Из (4.28) получаем
E
FЕ
()
0
0
=
∫
E
α
0
′
FE
()
′
−
E
()
α
1
dE
′
.α
Перейдем к переменной по летаргии:
ΔΔFu E FE
() ( )
α
E
()
11
0
Q
0
α
α
.==−=
−
α
QE
Физически скачок плотности столкновений обусловлен тем, что нейтроны источника в результате однократного рассеяния попадают в энергетический интервал от
äî αЕ0 + dЕ, но не могут попасть в интервал от αЕ0 äî
αЕ
0
– dЕ.
αЕ
0
При дальнейшем уменьшении энергии менее αЕ
ïëîò-
0
ность столкновений осциллирует около асимптотического
значения
Влияние столкновений нейтронов с энергией αЕ
сказываться до энергий α
энергии – до α
и, затухая, стремится к последнему.
Q/ξ
2
3
Е0 и т.д. Однако многократные столкнове-
Е0, а столкновения при этой
будет
0
ния стремятся сделать энергетическое распределение более равномерным, поэтому максимумы и минимумы F(и)
по мере уменьшения нейтронной энергии становятся менее заметными и полностью исчезают при энергиях менее
3
Е0. При этих энергиях величина F(u) обусловливается
α
нейтронами, испытавшими по несколько актов рассеяния,
т.е. при энергии, меньшей примерно α
принимает свое асимптотическое значение
Поскольку α возрастает с увеличением массового числа,
то возрастает и α
3
Е0, т.е. чем больше масса рассеивающего
3
Е0 функция F(u)
.
Q/ξ
ядра, тем больше нейтронная энергия, при которой F(u)
практически принимает свое асимптотическое значение.
Для углерода плотность столкновений становится равной
при 0,7 МэВ, для дейтерия это равенство не на-
Q/ξ
ступает вплоть до энергии 0,02 МэВ (см. рис. 4.7).
Максимальное отклонение от асимптотического поведения, характеризуемого величиной скачка при энергии
также возрастает с увеличением α. Но осцилляции не
αЕ
0
простираются так далеко вниз по шкале энергий, как в
случае малых α.
98
Эти результаты имеют важное значение для замедления в поглощающей среде, когда значения энергии нейтронов проходят через ряд резонансных линий. Каждая из
данных линий обусловливает осцилляции плотности столкновений, сохраняющиеся в энергетическом интервале
около
Er⋅−(),13α
лежащем ниже энергии Еr резонансной
линии. Следовательно, различные резонансные линии
можно считать независимыми, если они отстоят друг от
друга по меньшей мере на
Er⋅−().13α
Третий интервал энергии нейтронов значительно меньше αE
(
0
EE α
– асимптотический случай). Число ней-
0
тронов, рассеянных в элемент энергии dЕ в результате
′
столкновений в элементе энергии
dE
, равно
dE
′
E
−
()
1 α
′′
FE dE
() .
Следовательно, полное число нейтронов, рассеянных в
элемент dЕ, определяется интегрированием от Е äî
E
/
α
∫
E
′
FE
()
′
−
E
()
1 α
′
dE dE
.
E α
:
Число нейтронов, выбывающих из элемента dЕ, равно
F(E) dЕ; в результате получим уравнение
E
/
FE
()
α
=
∫
E
′
FE
()
′
−
E
()
1 α
′
dE dE
.
В асимптотическом случае решение будет следующим:
C
FE
()=
,
E
à òàê êàê F(u) = ЕF(Е), òî F(u) не зависит от энергии. Опре-
делим постоянную С.
Найдем плотность замедления для нейтронов с энергиями
EE<α0.
99
В общем числе столкновений, происходящих в элемен-
те энергии
′
, доля столкновений, при которых нейтро-
dE
ны рассеиваются за энергию Е, составляет
EE
E
ãäå
EE−′α
– интервал ниже энергии
попасть нейтроны энергии
′
– максимальный энергетический интервал для
−E ()1 α
нейтронов после их рассеяния в элементе
′
−
′
,
−αα()
1
′
, в который могут
E
′
, рассеянные в элемент dЕ;
E
′
;
dE
FE dE()
′′
–
полное число рассеивающих столкновений в элементе энер-
′
dE
.
ãèè
Тогда полное число нейтронов с энергией ниже Е, ðàñ-
′
сеянных из интервала
, равно
dE
′′
FE dE
()
EE
E
′
−
′
()
−αα1
.
Плотность замедления q определяется интегрировани-
ем этой величины по всему интервалу от Е äî
E α
, èç êî-
торого нейтроны могут замедлиться ниже энергии Е:
E
/
При условии
α
qFE
=
∫
E
EE α
FE
EE
′
()
E
имеем
0
′
() ,
=
′
α
−
′
()
dE
α
−
1
C
′
E
′
.
тогда
E
α
/
CEE
q
=
∫
−
11
E
E
′
−
α
′
()
dE C C
−
α
⎛
′
=+
1
⎜
1α
⎝
α
ln .
−
α
⎞
=
αξ
⎟
⎠
Для всех энергий, где
EE α
, плотность замедления
0
постоянная, так как нет потерь и q = Q, èëè С =
() ,=
Q
E
ξ
FE
100
Q/ξ
, тогда
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]