Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
èëè
FuQ() .=
ξ
Выражения для потока записываются следующим образом:
Q
Ô( )E
Ô( )u
=
=
; (4.29)
E
Σξ
s
Q
, (4.30)
Σξ
s
а плотность замедления
qu
=ξΣÔ( )
. (4.31)
s
4.9. Замедление в системе,
содержащей ядра нескольких сортов
Если ядра в системе имеют разные массы, то для асимптотического случая
()EE<< α
ние для плотности столкновений.
Обозначим через
энергии нейтронов
FEi()
′
на ядрах i-го сорта;
E
ное число нейтронов, рассеянных в единице объема в единицу времени ядрами i-го сорта в энергетическом интер-
′
âàëå d
. Из них в интервал dЕ будет рассеяна доля
E
можно получить выраже-
0
′
плотность столкновений при
′′
FEdE
()
i
– ïîë-
E
′
1 α
dE
.
−()
i
Число нейтронов, рассеянных в элемент dЕ из элемен-
′
ядрами i-го сорта, равно
òà d
E
′′
FEdE
()
i
′
E
()
−1 α
dE
.
i
Полное число нейтронов, рассеянных в элемент dЕ ÿäðà-
ìè i-го сорта, будет
101
E
/
α
i
′′
FEdE
()
i
′
E
()
E
−∫1 α
dE
.
i
Если замедлитель имеет N сортов ядер и F(E) – полная
плотность столкновений для рассеяния всеми ядрами, то
по условию стационарности
E
/
α
i
FE
()
N
=
∑
∫
i
=11
E
′′
FEdE
()
i
′
E
()
−
α
i
dE
.
Плотность столкновений пропорциональна эффективному сечению рассеяния:
Σ
si
′
FE FE
() (),
=
i
ãäå
i-го сорта;
– макроскопическое сечение рассеяния для ядер
Σ
si
– полное макроскопическое сечение рассея-
Σ
s
ния, равное сумме величин
тронам энергии
′
E
);
FE()
′
– полная плотность столкнове-
Σ
Σ
si
′
s
(сечения относятся к ней-
íèé äëÿ âñåõ N сортов рассеивающих ядер.
Следовательно,
E
/
α
i
FE
()
N
=
∑
i
=
Σ
sisi
∫
Σ 1
1
E
′
FE
()
′
E
()
−
α
i
dE
′
.
Если сечения постоянны или их зависимость от энер-
Σ
гии имеет одинаковый характер, т.е.
÷àå
EE<< α
для всех ядер замедлителя плотность
0
si
Σ
s
≅ const
, òî â ñëó-
замедления
E
/
α
i
N
qFE
=
∑
i
=
N
=
∑
i
=
Σ
si
∫
Σ
1
Σ
si
Σ
s
E
E
/
α
i
FE
()
∫
s
E
EE
′
()
′
E
EE
−
′
′′
E
()
11α
′
α
−
i
′
1
()
α
−
dE
α
−
i
′
i
′
dE
.
i
=
102
По аналогии с предыдущим:
() .=
С
FE
E
Получаем
N
Σ
qС
==
si
∑∑
i
==
i
ΣΣ
s
11
N
С
Σξξ
si i
s
i
.
В асимптотической области полная плотность замедле-
ния равна мощности источника Q, отсюда
qQ
==
N
С
∑
Σ
s
=
i
Σξ
1
si i
è
Q
Σ
N
∑
i
=
1
s
Σξ
si i
.
С
=
В результате имеем
FE
С
() .==
E
Q
N
E
∑
Σ
s
i
=
1
(4.32)
Σξ
si i
Среднее значение среднелогарифмического декремента
энергии на одно столкновение
для нейтронов, замедля-
ξ
ющихся в системе с ядрами нескольких сортов:
тогда
N
Σ
∑
si i
1
=
i
ξ
==
N
Σ
∑
1
=
i
FE
() ;=
FuQ() .=
N
ξξ
∑
i
1
=
Σ
si
Q
(4.34)
E
ξ
(4.35)
ξ
Σ
si i
(4.33)
,
s
103
Полученные результаты аналогичны для случая замедлителя из ядер одного сорта, только вместо
взято
ξ
среднее значение среднелогарифмического декремента
энергии
.
ξ
Выражения для потока имеют следующий вид:
Ô( ) ;E
Ô( ) ,u
Q
=
=
(4.36)
E
ξΣ
is
Q
(4.37)
Σξ
s
à òàê êàê Q = q, òî
qu
=ξΣÔ( ).
(4.38)
s
4.10. Замедление в средах при поглощении
Рассмотрение замедления при поглощении затруднительно. Легко можно получить точное решение для гомогенной смеси водорода и тяжелого поглотителя. Прак тический интерес в реакторной технике представляет смесь
238
водорода и урана-238
()
Рассмотрим замедление нейтронов в этой смеси. Для
относительно медленных нейтронов сечение поглощения
238
обладает довольно резкими резонансными максиму-
U
мами. Нейтроны, замедлившиеся в результате рассеяния
ядрами замедлителя до энергий, лежащих в резонансной
области, могут быть захвачены ураном. Наличие поглощения будет влиять на стационарное распределение энергий
нейтронов. При замедлении систему считаем бесконечной
и предполагаем, что рассеяние нейтронов ядрами урана не
изменяет энергии нейтронов. Таким образом, в нашей среде нейтроны замедляются только на водороде, а поглоща-
ются в процессе замедления только
Плотность столкновений, т.е. полное число актов рассеяния и поглощения, испытываемых нейтронами энергии
Е, равна
U
.
238
U.
104
FE E E
() () (),=+ΣΣÔÔ
as
ãäå
⎝
⎠
ΣaEÔ( )
ΣsEÔ( )
– плотность столкновений для поглощения;
– плотность столкновений для рассеяния. Условие
стационарности в отсутствие поглощения нейтронов источника запишется так:
E
0
FE
()
Q
E
0
Σ
s
∫
+
ΣΣ
as
E
FE
⋅
′
()
′
E
(4.39)
dE
.=+
Если поглощением нейтронов источника нельзя прене-
Σ
бречь, то первый член необходимо умножить на
где сечения относятся к энергии Е
множитель равен единице (
Σ
a
. Но практически этот
0
мало), тогда
s
+
ΣΣ
as
,
dF E
() ()
E
Σ
s
⋅
+
ΣΣ
as
FE
E
.=−
Разделим переменные и проинтегрируем:
FE
()
00
−
∫∫
FE
()
dF E
()
FE
()
′
′
dE
E
=
E
Σ
s
+
ΣΣ
as
dE
E
′
,
′
èëè
E
ln
()
FE
()
FE
0
Σ
∫
+
ΣΣ
as
E
s
=
0
dE
E
′
.
′
Из условия стационарности (4.39) при E = E0 имеем
FE
() ,
Q
=
0
E
0
тогда
E
0
FE
() exp ,=
⎛
Q
E
0
⎜
∫
⎜
ΣΣ
E
Σ
s
+
as
dE
E
⎞
′
⎟
⎟
′
íî
Σ
s
=−
+
ΣΣΣΣΣ
asaas
1
+
105
è
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
E
0
ãäå
⎛
⎜
exp −
⎜
FE
Q
() exp ,=−
E
E
0
Σ
a
∫
+
ΣΣ
as
E
dE
E
⎞
′
⎟
⎟
′
⎛
⎜
⎜
Σ
∫
+
ΣΣ
as
E
a
– экспоненциальный множитель,
⎞
′
dE
⎟
(4.40)
⎟
′
E
который представляет собой вероятность избежания резонансного захвата.
Действительно, плотность замедления q(E) в водороде
при энергии Е в стационарном состоянии по аналогии с
(4.22) запишется так:
E
qE
()
QE
E
0
Σ
E
0
s
∫
+
ΣΣ
as
E
FE
()
E
′
′
dE
.=+
′
Но из условия стационарности (4.39) имеем
E
0
Σ
s
∫
ΣΣ
as
E
FE
()
′
E
′
′
=−
dE F E
()
Q
E+
0
è
qE EF E() ().=
Используя выражение (4.40), получаем
E
0
⎛
qE Q
() exp .=−
⎜
∫
⎜
E
ΣΣ
Σ
a
+
as
dE
E
⎞
′
⎟
⎟
′
Вероятность избежания поглощения (резонансного захвата)
для нейтронов энергии Е равна отношению
ϕ()E
плотности замедления (для энергии Е) при наличии поглощения к плотности замедления в отсутствие поглощения
(),qQ=
ò.å.
()
ϕ()
qE
==−
exp ,E
Q
E
⎛
⎜
∫
⎜
E
0
Σ
a
+
ΣΣ
as
dE
E
′
′
что и требовалось доказать.
106
⎞
⎟
⎟
Следует отметить, что для поглощающих сред, содержащих ядра с массовым числом A > 1, вычисления плотности столкновений и вероятности избежания резонансного захвата аналитически не могут быть проведены в
общем случае, когда на зависимость сечения поглощения
от энергии не наложено никаких ограничений. Необходимо
рассматривать раздельно две области энергий, так как
нейтрон любой энергии Е может быть замедлен в одном
акте рассеяния лишь до энергии αE.
Рассматривая резонансный захват нейтронов в реакторе, нужно учитывать, что энергия нейтронов источника
(нейтронов деления) велика по сравнению с энергиями,
при которых становится существенным резонансный захват, т.е. нужно использовать условие стационарности
лишь для энергий
EE<< α
. Для общего случая системы,
0
содержащей N сортов рассеивающих ядер, условие стацио-
нарности имеет вид
E
/
α
i
FE
()
N
=
∑
i
=
1
Σ
∫
E
si
+
ΣΣ1
as i
′
FE dE
()
()
−
α
′
′
E
.
Поскольку правая часть уравнения есть функция как E
òàê è
, то это уравнение не удается свести к простому
Eiα
дифференциальному уравнению, которое затем можно
было бы решить с помощью граничного условия при
. Вместо нахождения плотности столкновений опре-
EE=
0
деляют вероятность избежания резонансного захвата.
4.11. Вероятность избежания резонансного захвата
в случае далеко отстоящих друг от друга резонансов
Найдем вероятность избежания резонансного захвата
при следующих ограничениях:
резонансы неперекрывающиеся (далеко отстоя щие);1)
ширина резонанса значительно меньше, чем потеря 2)
энергии нейтронами при столкновении;
вся область резонансных пиков расположена в об-3)
ласти энергий
EE<< α
ления успевают затухнуть.
, где осциляции плотности замед-
0
107
σ
a
Δ E
2
Число нейтронов, захвачен-
ных в области первого резонанса
Δ E
(рис. 4.8), равно
1
0
Рис. 4.8. Далеко отстоящие
друг от друга резонансы.
ΔΔEE
и второго резонансов соот-
– ширина первого
,
12
ветственно
E
ΣaEEÔ( ) ,
ãäå
– нейтронный поток
Ô( )E
1
при энергии в этой области.
При поглощении число ней-
тронов, рассеянных в элемент
, должно равняться полному
ΔE
1
числу нейтронов, выбывающих
Δ
11
из данного элемента, т.е. числу
рассеянных из него
ΣaEEÔ( )
ãäå
Ô( )E
:
Δ
11
′
ΣΣΣ
EE EE
ssa
′
– нейтронный поток, который должен быть в
1
ΣsEEÔ( )
Δ= + ⋅ ΔÔÔ() ( ) () ,
11 11
плюс число поглощенных
Δ
11
отсутствие поглощения, но при том же количестве выбывающих нейтронов в энергетическом интервале
ΔE
. Èç
1
(4.36) имеем
′
Q
=Ô( ) ,E
ξΣ
(4.41)
E
is11
тогда
Δ
Ô( )
Δ=
11
Q
()
+
ξΣ Σ
sa
E
1
.EE
E
1
Вероятность того, что нейтроны будут захвачены в ин-
тервале
ΔE
, равна
1
ΣaEE
Ô( )
Δ
11
Q
è
ΣΣ
EE
Ô( )
aa
Δ
11 1
=
Q
ΣΣ
()
+
ξ
sa
E
Δ
,
E
1
108
а вероятность того, что нейтроны не поглотятся в области
⎝
⎠
⎝
⎠
первого резонанса, будет
E
1
.
E()
1
ϕ
1=−
1
ξ
sa
a
+ΔΣΣΣ
Нейтронный поток в области второго резонанса без
′
учета захвата
Ô( )E
птотического вида без учета захвата (4.41) на
Тогда вероятность
интервалах энергий
⎡
ϕ
11=−
⎢
2
⎣
получится умножением потока асим-
2
Q
ϕ
′
2
избежания захвата нейтронов в
ϕ
2
è
ΔE
1
Σ
a
ξξ
+
ΣΣ
sa
1
=Ô( ) .E
E
ξΣ
s
2
определится из выражения
ΔE
2
⎤
⎡
Δ
E
1
⎥
⎢
E
⎦
⎣
1
−
Σ
a
+
ΣΣ
sa
:
ϕ
1
Δ
E
2
E() ()
2
⎤
.
⎥
⎦
В случае N резонансов
N
ϕϕ
() ( )
==−
∏∏
i
==
11
N
⎛
1
i
⎜
i
Σ
a
ξ
()
+
ΣΣ
asii
⎞
E
Δ
.EE
⎟
E
Найдем логарифм вероятности избежания резонансного захвата:
N
ln ln
∑
=
1
i
⎛
1
⎜
Σ
()
ΣΣ
asii
a
+
⎞
Δ
E
.ϕξ=−
⎟
E
В случае узкого резонанса, т.е.
Δ<<EE
ii
1
под знаком логарифма можно разложить в ряд:
23
ln( ) ( ...),11
−= + + +xx
xx
23
ãäå
E
ΔΣ
x
=
a
+
ΣΣξ()
asii
.
E
выражение
109
Ограничиваясь первым членом разложения, получим
ln
N
∑
i
Σ
()
ΣΣ
asii
=
1
Δ
a
+
E
.ϕξ=−
E
Разобьем резонансную область на т энергетических
полосок шириной
нансами полагаем
, при этом в интервалах между резо-
ΔE
j
Σa= 0,
тогда
ln
N
=−
∑∑
i
Σ
() ()
ξξ
ΣΣ
asii
==
11
Δ
a
+
E
E
=−
m
j
Σ
a
+
ΣΣ
asjj
Δ
E
.ϕ
E
Åñëè m устремить к бесконечности, то получим
m
ϕ
( ) limexp
E
=−
⎡
⎢
=−
exp
⎢
⎣
⎡
⎢
∑
⎢
j
⎣
E
0
∫
ξ
Σ
ξ
()
ΣΣ
asjj
=
1
Σ
a
+
()
ΣΣ
as
a
+
dE
EE
⎤
E
Δ
⎥⎥=
E
⎦
⎤
⎥
.
⎥
⎦
Для всей области интервала энергий
∞
ϕξ=−
exp
⎢
⎢
⎣
⎡
Σ
∫
0
a
+
()
ΣΣ
as
⎤
dE
(4.42)
.
⎥
E
⎥
⎦
Замечания.
1. Если сечение захвата в резонансной области беско-
нечно велико
(),Σa=∞
то вероятность избежания резо-
нансного захвата остается конечной величиной, так как
Σ
lim
a
()
ΣΣ
as
= 1
+
è
E
⎛
1
ϕ
() exp ,
E
⎜
=−
∫
⎜
E
⎝
2
⎞
′
1
dE
ξ
⎛
⎟
=
⎜
′
⎟
E
⎝
⎠
dE
E
ξ
/
1
⎞
⎟
⎠
т.е. определенная доля нейтронов проходит резонансную
область энергий.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]