Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
da
a
Рис. 5.4. Элемент плоского источника
r
x
плоскости бесконечно малый элемент плоского источника
(рис. 5.4). В пределе это и будет точечный источник. Тогда
распределение плотности замедления на расстоянии х îò
плоского источника равно
∞
q x q r ada
(,) (,) .ττπ=
ïë òî÷
∫
0
2
Поскольку
222
a x r rdr ada
+= =,òî
è
qx q rrdr
(,) (,) .τπ τ=
ïë òî÷
∞
2
∫
x
Продифференцируем левую и правую часть по x:
∂
qx
(,)
τ
ïë
∂
=−
qxx
(,),
πτ2
x
òî÷
отсюда находим
qr
òî÷
Из (5.13) определим
получим
qx
(,)
(,)
òî÷
1
=−
x
π
2
∂∂qx
(,)τ
ïë
x
Q
τ
e
=
4
()
qx
(,)
ïë
τ
(5.14)
.τ
x
∂
∂
и, подставив в (5.14),
x
/( )
τ
−24
,
/
32
πτ
121
èëè
r
/( )
τ
−24
Q
Если источник находится в точке
ления определяется в точке
qr
(,)
òî÷
qr
(,)
τ
òî÷
τ
=
′
r
Q
=
e
4
πτ
()
, òî
rr
−−24
e
4
πτ
()
(5.15)
.
/
32
′
, а плотность замед-
r
/( )
τ
(5.16)
.
/
32
5.5. Физический смысл возраста
Возраст нейтронов определяет распределение плотности замедления. Малые
близкие к энергии нейтронов деления, большие
ласть вблизи энергии тепловых нейтронов. Если
то за это время нейтроны замедлились и продиффундировали на большие расстояния от источника. Кривая распределения (рис. 5.5) будет низкой и широкой.
Зная распределение плотности замедления (5.15), находим средний квадрат расстояния по прямой, на которое
сместится нейтрон в процессе замедления до тепловой
энергии.
Считая среду бесконечной (нет утечки), записываем
q(r, τ)
τ
1
τ
2
0
Рис. 5.5. Распределение плотности замедления при раз-
íûõ
ττ τ τ
()<<
11 2 3
отвечают за интервалы энергий,
τ
– çà îá-
τ
велико,
τ
∞
22
⎡
rrqrdr
4
πτ
∫
2
0
r
=
∞
4
∫
0
òî÷
⎣
2
rq r dr
πτ
òî÷
Подставив значение
из (5.15), получим
τ
3
∞
r
∫
22
0
rr
===
∞
0
2
r
−
/( )
44
rdr
e
24
rdr
e
∫
τ
2
r
−
/( )
τ
(,)
(,)
6
ττ
,
⎤
⎦
.
qr
(,)τ
òî÷
1
6
.
122
По значению τ определяют, на какое расстояние сме-
стится нейтрон от места своего рождения до некоторого
рассматриваемого момента;
– длина замедления;
τ
–
τ
ò
длина замедления теплового нейтрона.
Итак, возраст нейтронов – это 1/6 часть среднего квадрата расстояния по прямой, на которое смещается нейтрон
от рождения до того момента, когда он стал тепловым.
Правильнее считать возраст от энергии деления до перехода энергетического спектра нейтронов в максвелловское распределение.
Возраст нейтронов определяет утечку нейтронов в процессе замедления (чем больше возраст нейтронов, тем
больше утечка). Как указывалось выше, утечка нейтронов
в процессе диффузии определяется длиной диффузии L,
тогда общая утечка в процессе замедления и диффузии
определяется величиной
2
ML=+τ
,
которая называется длиной миграции нейтронов и имеет
размерность
⎡⎣⎤
ML
=
[]
τ
– единицы длины.
=
[]
⎦
По времени процессов замедления и диффузии определяют, какие нейтроны (замедляющие или тепловые) преобладают в реакторе.
Под временем замедления понимают время, в течение
которого нейтрон уменьшает свою энергию от энергии
рождения до тепловой энергии. Из (5.1)
ldu l
SS
dt
==−
υυ
ξξ
с учетом
2E
υ
=
получим
m
E
0
ldEEl
ãäå
t
çàì
– время замедления; т – масса нейтрона; Еò – ýíåð-
t
çàì
S
=− = −
∫
ξξ
υ
E
ò
S
гия тепловых нейтронов; E
нейтронов.
dE
,
E
⎛
11
m
2
⎜
⎜
EE
ò
⎝
– энергия рождающихся
0
⎞
,
⎟
⎟
0
⎠
123
Под временем диффузии понимают время, в течение
y
которого тепловой нейтрон диффундирует в замедлителе
до захвата его каким-нибудь ядром:
l
1
ãäå
– продолжительность процесса диффузии; la – äëè-
t
äèô
на поглощения;
t
äèô
– скорость теплового нейтрона;
υ
a
==
υυ
,
Σ
a
– ìà-
Σ
a
кроскопическое сечение поглощения среды.
Общее время жизни нейтронов определяется временем
замедления и диффузии. В реакторах на тепловых нейтронах (с замедлителем в активной зоне) нейтрон большую часть жизни проводит как тепловой
()tt
>
äèô çàì
,
следовательно, при рассмотрении размножающих сред
(ядерных реакторов), где источник нейтронов – цепная
реакция деления, можно с достаточной степенью точности
пользоваться уравнением диффузии тепловых нейтронов.
5.6. Замедление и диффузия быстрых нейтронов
от бесконечно плоского источника в бесконечной среде
Рассмотрим задачу: в начале координат расположен
бесконечно плоский источник, испускающий в направлении х один нейтрон с единицы поверхности в единицу
времени (рис. 5.6).
Решая сначала задачу замедления нейтронов, на основании (5.13) находим
2
/( )
τ
−
4
qxx(,) .
e
τ
=
πτ
4
z
dx
x
0
Рис. 5.6. Плоский источник быстрых нейтронов
x
124
Если под τ понимать возраст тепловых нейтронов, то
âñå
qx(, )τ
нейтронов будут тепловыми. Тогда задачу
ò
можно поставить следующим образом: будем полагать,
что эти нейтроны диффундируют из какого-то источника,
расположенного нормально к оси х на некотором расстоянии х
и имеющего мощность (5.13):
0
2
−
0
qxx(,) .
e
=
/( )04
τ
4τπτ
Используя (3.30), выражаем диффузионный поток че-
рез функцию влияния:
−−
xx L
/
e
2
DL
0
0
,
/
Sdx
∫
Ô =
−−xx L
0
ãäå
e
DL
2//
dx
0
– функция Грина;
Sx=
ция источников.
Заменив L íà
Ô
1 χ
∞
=
∫
−∞
, получим
2
−
x
4
/
τ
()
0
e
dx
4
πτ
e
0
−−
xx L
χ
D
2
χ
/
0
Будем интегрировать по двум областям: от
После интегрирования имеем
+∞îò äîx .
2
−
4
/ τ
()
⎧
e
Ô
=+−
2
+−
⎪
⎨
xD
⎪
⎩
⎡
χ
x
eerf
1
⎢
⎣
u
ãäå
erf( )= eudu
0
ux=−
2
χτ
2
u
−
∫
π
0
– функция Лапласа от аргумента
.
⎡
χ
−xx
eerf
1
⎢
⎣
x
⎛
⎜
2 τ
⎝
x
⎛
0
⎜
τ
2
⎝
⎤
00
⎞
χτ−
⎥
⎟
⎠
⎦
2 τ
−
e
dx
χτ
⎫
⎪
,
⎬
⎪
⎭
2
0
πτ
.
0
44/( )τ
– ôóíê-
−∞ äî èx
⎤
⎞
+
⎥
⎟
⎠
⎦
125
5.7. Влияние неупругих столкновений на возраст нейтрона
Чтобы учесть влияние неупругих столкновений на возраст нейтронов, введем обозначения:
– возраст для нейтрона, который не испытал неупру-
τ
0
гого столкновения;
– возраст для нейтрона, который испытал неупругое
τ
1
столкновение;
P – вероятность того, что нейтрон испытывает когданибудь столкновение (упругое или неупругое);
– сечение неупругого столкновения;
σ
in
– сечение упругого столкновения;
σ
еl
σσ σ σ
==+
tSеlin
вения с ядром в отсутствии поглощения.
σ
Тогда
in
+
σσ
еl in
до выхода нейтрона в замедлитель;
σ
1 −
in
+
σσ
еl in
тает неупругого соударения.
Выражение для возраста нейтронов можно записать в
виде
– полное сечение упругого столкно-
– вероятность неупругого соударения
P
– вероятность того, что нейтрон не испы-
P
⎛
ττ
=−
⎜
01
⎝
=−−
1
σσ
еl in
⎡
τ
11
⎢
0
⎢
⎣
σ
in
+
⎛
⎜
⎝
⎞
+
PP
⎟
⎠
⎞
τ
1
⎟
τ
σσσ
0
⎠
τ
σσ
еl in
σ
in
+
еl in
σ
in
=
+
⎤
.
P
⎥
⎥
⎦
Для тяжелых замедлителей поправка, учитывающая неупругие соударения, небольшая (для графита она составляет около 0,5%). Для водородсодержащих сред поправка
на неупругое столкновение значительна.
5.8. Влияние немоноэнергетичности нейтронов
деления на возраст
Нейтроны, образующиеся в результате реакции деления,
имеют неодинаковую энергию. Распределение этих нейтронов по энергиям имеет вид
126
E
−
χ() , sh ,EE
048 2
=
00
0
e
что необходимо учитывать при определении возраста нейтронов.
Сначала вычисляют
по обычной зависимости
τ
∞
0
DdE
∫
∑
E
E
s
τζ(, ) ,EE
ãäå E0 = (1,4...2) МэВ – среднее значение энергии спектра
рождающихся нейтронов.
Затем это значение возраста усредняют по спектру
E
0
ττχ() (, )( ) .EEEEdE
=
∫
0
000
Таким образом, получена зависимость возраста нейтро-
нов от спектра нейтронов деления.
5.9. Влияние немоноэнергетичности тепловых нейтронов
на возраст
Если считать, что все тепловые нейтроны имеют одну
и ту же энергию, то
E
0
τξ(,) .EE
0
ò
В действительности тепловые нейтроны распределены
по спектру, близкому к спектру Максвелла (E
Поэтому возраст нейтронов усредняют по максвелловскому спектру:
∞
ττχ() (, )() ,EEEEdE
=
òòòò
∫
0
=
∫
E
ò
0
DdE
E
∑
s
∼ 0,025 ýÂ).
ò
ãäå
– спектр Максвелла, или
χ()E
ò
∞∞
τχ χ
=
() () .EdE EdE
òòò
∫∫∫
0
0
E
0
00
E
ò
DdE
ξ
∑
s
E
127
При расчетах ядерных реакторов определяют
ãäå ïîä
τ( ) ( ... )EE
= 78
ãð ò
понимают граничную энергию
τ()E
ãð
между спектрами тепловых и замедляющихся нейтронов:
E
0
τξ(,) .EE
0
ãð
Поскольку τ – логарифмическая зависимость от
некоторая неопределенность в
влиять на
. Кроме немоноэнергетичности рождающихся
τ
=
DdE
∫
E
ãð
E
∑
s
не будет существенно
E
ãð
, òî
E
ãð
и тепловых нейтронов, при определении возраста необходимо учитывать энергию связи ядер, но поскольку интервал, где энергия связи оказывает влияние, мал, то эта поправка незначительна.
5.10. Пределы применимости теории возраста
Теория возраста применима при следующих условиях.
1. Сечение рассеяния должно слабо зависеть от энергии. Для большинства замедлителей это условие хорошо
выполняется, за исключением водородсодержащих.
2. Необходимо выполнение основного условия применимости теории диффузии: плотность нейтронов не должна меняться на расстоянии порядка длины рассеяния, т.е.
,
Ô
d
l
S
Ô .
dx
Это условие нарушается для сильно поглощающих сред.
3. Количество столкновений, испытываемых нейтроном при замедлении от энергии рождения до некоторой
заданной, должно быть велико. Данное условие можно записать так:
ln ln
−
00
11
èëè
ln /EE EE
,
.
ξξ
4. Энергия нейтронов должна быть больше, чем энергия химической связи атомов в молекуле. В этом случае
не будет изменяться вид распределения нейтронов в размножающей среде.
128
5.11. Температура нейтронного газа
В непоглощающей и незамедляющей средах тепловые
нейтроны находятся в состоянии термодинамического
равновесия с атомами среды. При столкновении с ядрами
атомов они в равной степени приобретают и отдают энергию, т.е. их средняя энергия не меняется. Распределение
таких нейтронов по энергиям описывается спектром
Максвелла. С повышением температуры среды увеличивается и средняя энергия тепловых нейтронов, однако
распределение остается максвелловским.
В реальных средах за счет поглощения нейтроны убывают из низкоэнергетической части теплового спектра, а
за счет замедления – перемещаются из высокоэнергетической части в низкоэнергетическую. В результате максвелловский спектр деформируется, причем сдвиг происходит
в сторону больших энергий. Тем не менее считают, что
нейтроны и в этом случае распределены по спектру
Максвелла, однако при более высокой температуре среды.
Данная температура называется температурой нейтрон-
ного газа и в гомогенной среде определяется выражением
ãäå
– температура среды;
T
1
при энергии
Знание
.
kT
1
дает возможность определить энергетиче-
T
í.ã
TT
í.ã
⎡
=+
118,,
⎢
1
⎣
∑
∑аkT
⎤
kT
а
1
⎥
∑
ξ
⎦
s
– сечение поглощения
1
ское распределение нейтронов и в конечном итоге узнать
сечения взаимодействия их с ядрами.
Упражнения
1. Нейтрон с энергией 2 МэВ попал в циркониевую среду и за-
медляется. Определить возраст нейтронов при энергии 1 эВ в предположении, что коэффициент диффузии и сечение рассеяния не зависят от энергии.
2. Точечный источник нейтронов в циркониевой среде испуска-
ет 100 нейтр/с при энергии 2 МэВ. Определить плотность замедления на расстоянии 100 см от источника нейтронов с энергией 1 эВ.
129
ГЛАВА 6
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
6.1. Кинетическое уравнение замедления
нейтронов Больцмана
Основной задачей кинетической теории нейтронов является рассмотрение поведения нейтронов в размножающей, рассеивающей и поглощающей средах, а также вывод
уравнений, описывающих их пространственно-энергетическое распределение. Вывод кинетического уравнения,
описывающего пространственно-энергетическое распределение нейтронов, основан на балансе, который заключается в следующем.
В общем случае изменение числа нейтронов в некотором элементе объема фазового пространства должно быть
равно их образованию в данном элементе объема за вычетом поглощения и утечки:
dn
= Образование – Поглощение – Утечка.
dt
В стационарном случае:
Образование нейтронов = Поглощение + Утечка.
dr
S = vdt
r
Рис. 6.1. Направление дви же-
íèÿ
нейтронов в элементе
Ω
объема dr
130
Ω
r
’
Рассмотрим баланс нейтронов в некотором элементе объема
(, )dr d
ства
равен dr. Рассмотрим баланс
вдоль направления
Обозначим:
фазового простран-
υ
, причем этот объем
(, )
r
υ
(ðèñ. 6.1).
Ω
nr t(, ,)
υ
– число
нейтронов в единице объема фа-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]