Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
2
l
01
l
s
s
ψ
l
tr
4
l
s
ψ
3
l
s
ψ
5
ψ
Рис. 3.4. Рассеяние нейтронов на рассеивающих цен трах
1, 2, 3, 4, 5 è ò.ä.
Для учета анизотропии рассеяния вводят транспортное
макроскопическое сечение
ΣΣΣ
=+ −()10μ
tr a s
, ãäå
–
μ
0
средний косинус угла рассеяния. Коэффициент диффузии
для потока
Dtr= 13/ Σ
. Åñëè
ΣΣ
as
<<
, òî
ΣΣ
=−()10μ
tr s
.
Когда рассеивающие ядра имеют большие массовые
числа
()μ
, òî
1<<
ΣΣΣΣ
0
==+
tr t a s
.
При рассеянии на легких ядрах необходимо учитывать
анизотропию.
Введем понятие транспортной длины
Dl
= /3
.
tr
l
= 1/Σ
tr tr
, тогда
Рассмотрим рассеяние нейтрона в анизотропной среде
со средним косинусом угла рассеяния
μψ
= cos
0
, ãäå ψ –
угол рассеяния. Представим, что рассеяние идет не под
углом
а под углом 90°, но при этом длину рассеяния ls
ψ
при каждом акте рассеяния будем увеличивать на значение проекции пройденного пути на первоначальное направление (рис. 3.4). В результате получим
ll
⎡
=+ + +
tr s
cos (cos ) ...
⎣
ΣΣ Σ
=− =−(cos) ( ).11
tr s s
2
ψμ
⎤
⎦
l
s
=
−11
0
cos
;ψψ
ψ
Заменяя
íà
Σ
s
при определении коэффициента диф-
Σ
tr
фузии, тем самым учитываем анизотропию при рассеянии
нейтронов.
51
3.3. Односкоростные уравнения переноса нейтронов
Часто при расчетах реактора с достаточной точностью
мож но полагать, что все нейтроны имеют одинаковую
скорость (среднюю скорость). Найдем пространственное
распределение моноэнергетических нейтронов в процессе
диффузии.
Выделим в среде элементарный объем dV около точки
(рис. 3.5). Рассмотрим нейтроны, движущиеся со ско-
r
ростью
нейтронов в единице объема вблизи точки
в направлении
в направлении
υ
в момент времени t и отнесенных к еди-
Ω
ничному интервалу изменения
число нейтронов в объеме dV, движущихся в элементе те-
dr
dV
r(t)
Рис. 3.5. Элементарный объем dV
вблизи точки
r’(t+dt)
r
dnr t d dV
⎡
nr ttnr txnr
(, ,) (, ,) (,
ΩΩ
∂
=
⎢
∂
⎣
+
∂
∂
èëè
Ω
Ω
⎡
(, ,)
ΩΩ
⎣
∂
+
. Полагаем
. Тогда
Ω
лесного угла
nr t(, ,)
nr td dV(, ,)
dΩ
– число
Ω
, движущихся
r
ΩΩ
. Через вре мя
dt нейтроны переместятся
на расстояние dr в направле-
нии вектора
. По скольку чис-
Ω
ло нейтронов в dV зависит
от координат и времени, то
изменение числа нейтронов
за время dt равно полному
дифференциалу от
умноженному на
⎤
⎦
y
∂
=
ΩΩΩ
,) (, ,)
t
+
nr t
∂
z
∂
nr t(, ,),
Ω
:
ddVΩ
⎤
Ω
dz d dV
⎥
⎦
–
,
dnd dV
ãäå
nnr t= (, ,)
ΩΩ=
Ω
⎡
ntn
∂
∂
+
⎢
⎣
;
υυυ
xyz
x
∂
∂
x
∂
=
;;.
t
∂
n
∂
+
υυυ
xyz
=
+
y
∂
y
∂
t
∂
⎤
n
∂
⎥
z
∂
⎦
z
∂
=
t
∂
Переходя к векторным обозначениям, получаем
n
∂
52
dnd dV
⎡
⎢
t
∂
⎣
+∇
υ
⎤
n d dVdtΩΩ=
⎥
⎦
ddVdt
;
,
поскольку
υυ
=Ω
dnd dV
, à
nυ= Ô
1
⎡
⎢
υ
⎣
∂
, òî
Ô
∂
+∇
t
⎤
Ô
ddVdtΩΩΩ=
⎥
⎦
.
Изменение числа нейтронов в dV происходит вследствие
их поглощения, рассеяния, образования.
Число поглощенных нейтронов в объеме dV за время
dt при движении в направлениях между
ΣΦ Ω Ω
rtddVdt(, ,) .
a
è
Ω
ΩΩ
+ d
равно
Столкновение нейтронов, движущихся в элементе телес-
íîãî óãëà
с ядрами замедлителя приводит к изменению
dΩ
направления их движения, а следовательно, и к изменению
числа таких нейтронов в объеме dV. Число нейтронов, убывающих из объема dV за время dt в результате рассеиваю-
щих столкновений, равно
ΣΦ Ω Ω
rtddVdt(, ,) .
s
Увеличение числа нейтронов в объеме dV происходит
за счет рассеяния нейтронов, движущихся до столкновения с ядрами в других направлениях, отличных от рассматриваемого, и за счет источников.
Введем вероятность того, что при рассеянии нейтроны
меняют направление
да однородная, т.е.
Тогда число нейтронов, которые до столкновения двигались в других направлениях
′
íà
Ω
g(; )ΩΩ
ΩΩΩ
−′g(; )
′
не зависит от координат).
(полагаем, что сре-
′
и после рассеивающего
Ω
столкновения с ядрами среды приобрели направление в
элементе телесного угла
dΩ
, будет
⎡
⎢
ΣΦ Ω ΩΩ Ω Ω
∫
⎢
′
⎣
Ω
Интегрирование ведется по всем направлениям
′
Ô( , , )
rt
– поток нейтронов в точке
Ω
имеющих направление
правления между
′′′
rtg dddVdt(, ,)( ; ) .
s
′
. Число нейтронов, имеющих на-
Ω
Ω
è
ΩΩ
, возникающих за время dt â
+ d
объеме dV за счет источников, равно
⎤
⎥
⎥
⎦
в момент времени t,
r
S r t d dVdt(, ,)
ΩΩ
Тогда уравнение баланса нейтронов будет
′
;
Ω
.
53
⎡
⎢
=− +
ΣΣΦ ΣΦΩΩ
()
as s
⎢
⎣
èëè
1υ∂
⎡
⎢
⎣
+
∫
Ω
Φ
+∇
ΩΦ Ω
∂
t
′′
g
()
′
⎤
ddVdt
⎥
⎦
; ddSrtddVdt
=
⎤
′
+
ΩΩΩ
()
⎥
,, ,
⎥
⎦
ãäå
распределение диффундирующих нейтронов по координатам, направлениям и времени. Поскольку рассматриваются нейтроны с постоянной скоростью, оно называется
односкоростным кинетическим уравнением.
не зависит от времени,
ãäå
начальным условием
которая заданная функция, и граничными условиями.
рую будем считать кусочно-гладкой. Выберем на границе
раздела произвольную площадку S
кий» объем V. С помощью уравнения (3.11) запишем баланс нейтронов для объема V:
1υ∂
ΦΦΩ= (, ,)
Интегродифференциальное уравнение (3.11) связывает
В стационарном состоянии
Полученное уравнение (3.11) должно быть дополнено
Рассмотрим границу раздела двух сред (рис. 3.6), кото-
Φ
+∇ =− +
ΩΦ ΣΦ ΣΦ ΩΩ Ω
∂
t
rt
′
;
ΦΦΩ(, ,)
ΩΦ ΣΦ ΣΦ ΩΩ Ω
∇+ =
ΦΦΩ= (, )
ts
=
ts
′
rt
∫
′
Ω
r
ΦΩ ΦΩ(, ,) (, )
rt r=
′′
gdS
∫
′
Ω
;
ΣΣΣ
=+; SSr t= (, ,)
tas
∂
Φ
=
∂
t
′′′
gdS(; ) ,
;
SSr= (, )
и заключим ее в «тон-
0
′
, (3.11)
+
ΦΩ(, )
+
Ω
ΦΩ(, ,)rt
– íå-
r
;
()
, т.е. когда
0
.
Ω
, ãäå
.
54
1υ∂
Φ
∫∫
∂
t
VV
=− +
ΣΦ ΣΦ ΩΩ Ω
dV g d dV
ts
∫
VV
+∇ =
ΩΦ
dV dV
′′
'
∫
S
(; )
SdV
∫∫
V
Ω
+ .
Если «стянуть» этот объем к
поверхности S
(
SS
→ , V 0→
0
10
),
то все интегралы обратятся в нуль,
v
+
S
n
2
Рис. 3.6. Поперечный разрез элементарного объема
охватывающего элемент гра-
ницы раздела двух сред
2
n
S
1
S
0
поэтому
lim
V
∫
→
0
V
dV
∇=
.
0ΩΦ
По формуле Гаусса – Остроградского объемный интеграл заменим поверхностным, тогда
lim lim ( , , )
V
→→
0
V
ΩΦ Ω Ω
=++
nr t n
[(,,) ΦΦΩ(,,)] .
∫
S
0
dV n r t dS
∇= +
ΩΦ Ω Φ Ω
∫∫
SS
10
lim
+
SS
20
12
∫
→
S
2
0
ΩΩΦ Ω
nrtdS
2
S
1
(, ,)
1
=
rtdS
−=
00
(3.12)
Поскольку площадка выбрана произвольно, то из полученного равенства следует равенство нулю подынте-
грального выражения. Обозначая
÷òî
nn
21
, получаем граничное условие
=−
ΩΦ Ω ΩΦ Ω
nr t nr t
00
00( , ,) ( , ,)−= +
через
n
1
и учитывая,
n
0
. (3.13)
Если среда, представляющая собой выпуклое тело, граничит с вакуумом, то (в случае отсутствия в вакууме
внешних источников) нейтроны из пустоты в среду не поступают. Тогда из (3.12) получаем:
ΩΦ Ω
nr t
0
где единичная нормаль
00(,,)−=
предполагается направленной в
n
0
ïðè
Ω
, (3.14)
n00≤
вакуум.
1
55
3.4. Решение кинетического уравнения
методом сферических гармоник
Точное решение односкоростного кинетического уравнения связано с большими трудностями, поэтому для решения кинетических уравнений в теории ядерных реакторов
используются различные приближенные методы. Одним
из наиболее распространенных является метод сферических гармоник. Сущность метода состоит в том, что решение кинетического уравнения представляется в виде нескольких первых членов разложения в ряд по сферическим
функциям. Это позволяет свести кинетическое уравнение
к уравнениям, в которых отсутствуют интегралы по на-
правлению движения нейтронов
Наиболее простым видом этого метода является диффузионное приближение. Уравнение диффузии нейтронов
(переноса) в диффузионном приближении удовлетворительно описывает поведение тепловых нейтронов в реакторах, размеры которых значительно больше длины свободного пробега рассеяния нейтронов.
В диффузионном приближении при разложении потока нейтронов
ΦΩ(, )
r
в ряд по сферическим функциям
ограничиваются членами нулевого и первого порядков.
Поскольку в таком приближении используются полиномы Лежандра нулевого и первого порядков, то такое приближение называется Р
-приближением метода сфериче-
1
ских гармоник.
В общем случае поток
следующем виде:
.
Ω
ΦΩ(, ,)
rt
можно представить в
∞
ΦΩ Φ(, ,)
rt
=
где символ Кронеккера
m
YP m
(cos ) (cos ) sinθθϕ=
n
56
n
21
()( )!
nnm
+−
∑∑
21
()()!
++
πδ
=−=
mn
n
0
m
ΦΦΩ Ω
rt r tY d(,) (, ,) (cos ) ;
n
=
m
n
δ
∫
Ω
m
m0
0
nm
ïðè
0=
m
n
m ≠ 0, δ
m
n
mnm−
;
YP m
= (cos ) cosθϕ
n
(,
rt
))(cos),Y
m0
m
n
θ
ïðè
1=
(3.15)
m = 0;
θ
;
m
mm
P
() ( ) ();
μμ
n
P
n
()
1
n
ndd
2
22
!
d
/
m
m
μ
P
μ=−1
n
m
d
μ
n
2
[( ) ];μ
μ=−
1
(3.16)
μθ= cos
,
ò.å.
P
0
1212
P
1
1(cos )θ=, P1(cos ) cos ,θθ=
1(cos ) ( cos ) .
θθ=−
/
Найдем все члены разложения (3.15) в Р1-приближении:
n è т принимают следующие значения:
nm
==
00
,;
nm
==±
101
,,.
Ïðè
n = 0, m = 0
из (3.16) находим
0
Yrtd
0
0
1(cos ) ; ( , , ) ,θ= =
ΦΦΩΩ
0
∫
Ω
тогда первый член разложения будет таким:
1
4π
ΦΩ Ω
(, ,)
rtd
∫
Ω
.
Ïðè п = 1, m = 0 из (3.16) находим
0
Yrtd
(cos ) cos ; ( , , ) cos ,θθ θ==
1
0
ΦΦΩ Ω
1
∫
Ω
тогда второй член разложения следующий:
3
4π
θθcos ( , , ) cos .ΦΩ Ω
rt d
∫
Ω
Ïðè п = 1, m = 1 из (3.16) находим
1
YP
1
1212
θθϕ θϕ==−
1
1(cos ) (cos ) sin ( cos ) sin ;
/
57
1212
ΦΦΩ Ω
1
(, ,)( cos ) sin ,
rt dθϕ
∫
Ω
1=−
тогда третий член разложения:
/
3
11
cos sin ( , , )( cos ) sin .
()
4
π
12
2
θϕ θϕ−
ΦΩ Ω
rt d
∫
Ω
Ïðè п = 1, m = –1 из (3.16) находим
/
−
/
212
1
−
YP
1
1212
–/
ΦΦΩ Ω
1
1212
==−(cos ) (cos )cos ( cos ) cos ;
θθϕ θϕ
1
( , , )( cos ) cos ,=−
rt dθϕ
∫
Ω
1
1
/
тогда четвертый член разложения следующий:
//
3
11
()
4
π
12
2
cos cos , , cos cos .
θϕ θϕ−
∫
Ω
ΦΩ Ω
rt d
()
−
()
12
2
В результате получим
ΦΩ ΦΩ Ω ΦΩ Ω
(, ,) (, ,) cos (, ,)cos
rt rtd rt d=+
1
4
3
+− −
π
4
3
+− −
π
4
212 212
11
11
θϕ θϕ(cos)sin (,,)(cos)sin
212 212
θϕ θϕ( cos ) cos ( , , )( cos ) cos
∫
Ω
//
//
∫
Ω
Ω
3
θθ
4ππ
ΦΩ Ω
rt d
ΦΩ Ω
rt d∫∫.
∫
ΩΩ
С учетом
ΦΦΩΩ
(,) (, ,) ;
rt r td=
0
Ω
=++ijksin cos sin sin cos ;θϕ θϕ θ
J (,) (,,) sincos (,,)rt rtd i rtd=Ω Ω=
++
ΦΩ ΦΩ Ω
∫∫
ΩΩ
j r td k r td
sin sin ( , , ) cos ( , , )θϕ θ
∫∫
ΩΩ
ΦΩ Ω ΦΩ Ω
∫
Ω
θϕ ++
+
+
58
запишем
ΦΩ ΦΩ Ω
(, ,) (, ,)
rt rtd
⎡
⎢
θϕ ttd
sin cos ( , ,
+
⎢
⎣
sin sin ( , , ) sin sin
θϕ θϕ
+++
+
cos ( , , ) cos ,θθΦΩ Ω
Функции
ΦΩ Φ Ω(, ,) (,) (,)
r t rt rt=+
Φ0(,)
rt
движения нейтронов.
Из выражения для
è
⎧
1
⎪
=
⎨
43π
⎪
⎩
ΦΩ
r
∫
Ω
rt d
ΦΩ Ω
∫
Ω
rt d
∫
Ω
1
⎡
0
⎣
4
π
J (,)rt
ΦΩ(, ,)
rt
∫
Ω
)sin cos
θϕ
⎫
⎤
⎪
⎥
⎬
⎥
⎪
⎦
⎭
3
J
не зависят от направления
видно, что в Р1-прибли же-
+
Ω
+
⎤
. (3.17)
⎦
нии поток нейтронов представляется суммой двух слагаемых, первое из которых не зависит от направления ней-
тронов
, а второе зависит. Такое представление потока,
Ω
хотя и имеет определенную погрешность, допустимо для
решения многих задач при расчете ядерных реакторов.
Если поток нейтронов изотропен, т.е. нейтроны движутся в любом из возможных направлений с равной вероятностью, тогда
J (,) (, ,) (,)rt r td rt d===
∫∫
ΩΩ
ΩΦ Ω Ω Φ Ω Ω
0
и поток
ΦΩ Φ(, ,) (,).
rt rt=
4
Представление потока
ΦΩ(, ,)
первого порядка возможно только при условии
1
0
π
членами нулевого и
rt
Φ0>>
.
J
59
Поскольку при изотропности потока
зотропности потока
, то условие
J > 0
Φ0>>
, à ïðè àíè-
J = 0
достаточно
J
хорошо выполняется для областей среды, удаленных от
источников и стоков (сильных поглотителей).
Представим вероятность
жения в ряд по сферическим функциям. Для удобства совместим направление
ñ îñüþ z. В этом случае вероят-
Ω
ность рассеяния нейтрона с направления
g(; )ΩΩ
′
также в виде разло-
Ω
′
íà
будет
Ω
определяться только значением полярного угла. Тогда
останутся два члена:
′
ggdgd(,) (;) cos (;)cosΩΩ ΩΩ Ω ΩΩ Ω
⎡
1
⎢
=
43π
⎢
′
⎣
Ω
′′
+
θθ
∫∫
′
Ω
′′
⎤
⎥
.
⎥
⎦
Вероятность рассеяния нейтрона с направления
является функцией
Ω
′
gg gd gd(; ) ( ) (; ) (; )ΩΩ ΩΩ Ω ΩΩ Ω
==
μ
000
μθ
0
⎡
1
⎢
4
π
⎢
′
⎣
= cos
:
′
3
+
μμ
∫∫
′
ΩΩΩ
′
íà
Ω
′′
Введя обозначения
gg d
=
0
∫
′
Ω
′′
(; )ΩΩ Ω
,
gg d
10
=
(; )ΩΩ Ω
∫
′
Ω
′′
μ
, (3.18)
получим
ggg() .μ
1
0001
4
π
Как видно из определения,
упругого рассеяния нейтронов с любого из возможных на-
правлений
′
в направление
Ω
сти равно единице. В выражении
стоит произведение
под углом
, соответствующим данному
ψ=0
на вероятность упругого рассеяния
0
3=+
[]
μ
– это полная вероятность
g
0
. Значение этой вероятно-
Ω
под знаком интеграла
g
1
, ò.å.
μ
g
0
=μ
10
Тогда
⎤
⎥
.
⎥
⎦
.
60
g()μ
1
13=+
000
[]
π
4
μμ
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]