Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
Элементарной ячейкой, или просто ячейкой, будем называть элемент периодичности решетки (твэл с прилегающими к нему теплоносителем и замедлителем либо технологический канал с окружающим его замедлителем);
пред полагается, что все элементарные ячейки в решетке
имеют одинаковую геометрическую форму и нейтронные
характеристики.
В теории решетки реальная среда заменяется эквивалентной ей гомогенной. Критерием эквивалентности служит равенство скоростей всех видов взаимодействия нейтронов с ядрами. Иными словами, задача сводится к
вычислению для гомогенной среды сечений вида
∑
rE rEdV
(, ) (, )
Ô
i
∫
V
∑=
()
i
ÿ÷
E
rEdV
(, )
Ô
∫
V
ÿ÷
.
После завершения первого этапа дальнейшие расчеты
проводятся так же, как и для любого гомогенного реактора.
Детальный ход решения задачи зависит от вида решетки в рассматриваемом реакторе. Будем различать решетки
простые и сложные.
В простой решетке ячейка состоит из одного твэла с
окружающим его теплоносителем и замедлителем (см.
рис. 8.1, а, б).
Ячейка сложной решетки состоит из технологического
канала и окружающего его замедлителя (см. рис. 8.1, в, г).
Поэтому часто сложные решетки называют также каналь-
ными. Технологический канал включает в себя сборку
твэлов, теплоноситель и трубу, рассчитанную на полное
давление теплоносителя.
Простые решетки, в свою очередь, делятся на разреженные и тесные. В разреженной решетке твэлы расположены на большом расстоянии друг от друга и нейтрон,
родившийся в блоке или испытавший там столкновение,
следующее соударение испытает обязательно в замедлителе. Следовательно, средний путь нейтрона в замедлителе
значительно превышает длину свободного пробега до рассеяния в той же среде.
221
1
ложены так близко друг от друга,
что нейтрон, вылетевший из то-
В тесной решетке твэлы распо-
T
З
плива, с довольно большой веро-
2
ятностью может испытать первое
соударение в соседних топливных
сборках.
Сложная решетка содержит
элементы как разреженной, так и
Рис. 8.2. Цилиндрическая
ячейка 2 эквивалентная квад-
ратной ячейке 1:
Т – топливо; З – замедлитель
тесной решетки. Первая образуется технологическими каналами,
расположенными в замедлителе,
вторая – твэлами внутри канала.
Если число ячеек велико, то
все ячейки находятся в одинаковых условиях и можно
ограничиться рассмотрением только одной из них. При
этом влияние соседних ячеек учитывается условием симметрии или условием зеркального отражения на границе.
Поперечный размер реальной ячейки практически
всегда значительно меньше продольного. Поэтому в ячейке поток нейтронов можно считать функцией только двух
пространственных переменных. Более того, во многих
случаях нет необходимости проводить громоздкие расчеты двумерных ячеек, поскольку расчет одномерной ячейки не вносит существенных ошибок. Реальная ячейка,
чаще всего имеющая в плане форму квадрата или шестиугольника, заменяется расчетной моделью – круговой одномерной ячейкой той же площади, которую принято называть ячейкой Вигнера – Зейца (ðèñ. 8.2).
Переход к такой модели не приводит к заметным погрешностям в расчетах простой решетки. В сложной решетке такая замена упрощает расчет решетки каналов
(макроячейки); в то же время точный расчет потока нейтронов внутри канала (микроячейки) остается весьма громоздким. Задачи для сложной решетки обычно решаются
приближенно и в два этапа – сначала для микроячейки, а
затем для макроячейки.
8.2. Преимущества и недостатки гетерогенных систем
Преимущества гетерогенных систем. 1. Возрастает вероятность избежания резонансного захвата. Это является
222
результатом поглощения резонансных нейтронов во внешних слоях топлива (уранового блока) – эффект экранирования. Нейтроны, попадая в блоки, имеющие энергию,
близкую к резонансной, поглотятся. Другие нейтроны
пройдут через данный блок из-за малой вероятности захвата. В замедлителе нейтроны быстро замедляются и их
энергия переходит за резонансные уровни. Резонансное
поглощение происходит только на внешних слоях блоков.
Этот эффект и приводит к возрастанию вероятности избежания резонансного захвата. Чем шире резонансный
пик, тем больше будет поглощение внутренними слоями
блока, тем меньше эффект экранирования.
Реакторы на естественном или слабо обогащенном ура-
не принципиально не могут быть гомогенными.
2. Коэффициент размножения для быстрых нейтронов
несколько увеличивается. Быстрые нейтроны рождаются
во всем объеме блока. Поскольку нейтроны в блоке практически не замедляются, то для быстрого нейтрона веро-
ятность захвата ядром
238
с образованием новых нейтро-
U
нов больше и коэффициент размножения увеличивается.
Недостатки гетерогенных систем. Коэффициент исполь-
зования тепловых нейтронов
снижается, что обусловлено
()θ
«выеданием» потока тепловых нейтронов в топливе.
8.3. Вероятность первых столкновений (ВПС).
Метод хорд
Диффузионное приближение (или РN-приближение низкого порядка) не обеспечивает достаточно точных результатов, если поток быстро меняется с изменением угла
()μ
или координаты х. Это происходит вблизи локализованных источников и границ или в сильно поглощающих
средах. Нередко вместо приближений высоких порядков
оказывается полезным применить некоторые специальные
методы, основывающиеся на определении вероятностей
столкновения в чисто поглощающих средах.
Рассмотрим часто встречающуюся в реакторах ситуацию: ядерное топливо в форме стержней окружено замедлителем. В таких случаях иногда оказывается полезным
наиболее просто определить вероятности того, что нейтрон, появившийся в какой-то области, испытает следую-
223
щее столкновение в той же области. Например, в случае
⎠
регулярной решетки нейтроны деления появляются более
или менее равномерно в топливных элементах. Для вычисления коэффициента размножения на быстрых нейтронах надо определить вероятность того, что эти нейтроны испытают столкновение в топливном элементе до
попадания в замедлитель. Нейтроны, попавшие в замедлитель, теряют энергию. Для вычисления резонансного
поглощения можно воспользоваться вероятностью того,
что замедленный нейтрон испытает следующее столкновение в топливном элементе.
При расчете ячейки кроме потоков в топливе Ф
медлителе Ф
деления пользуются величиной
надо знать и средние сечения. Для их опре-
1
RV
=∑ Ô
itiii
скорости вза-
è çà-
0
имо действия.
Для определения потока Ф в любой зоне воспользуемся уравнением Пайерлса, которое справедливо для любой
области.
Всю область разбиваем на N зон, где потоки и сечения считаем постоянными. Это дает возможность свести
интегральное уравнение к системе алгебраических уравнений:
1
N
ÔÔ() ( ) (,) .
rSKrrdV
=∑+
∑
=−0
i
s
∫
Vi
′
Умножим на
∑=∑′∑
tj
rdV dV rKrr dV
ÔÔ() () (, )
∫∫∫
Vj
и проинтегрируем по Vj:
∑
tj
⎛
⎜
∑
si tj
⎜
+∑
i
⎝
′
d
VVSrKrrdV
tj
∫∫
VjVi
VjVi
′′
()(, ) .
Для упрощения введем средние величины:
111
ÔÔ Ô Ô
i
V
224
′′
() ; () ; () ,
rdV
∫∫∫
i
Vi
==
j
V
j
rdV S
Vj
′
+
⎞
⎟
⎟
′′
i
Sr dV=
V
i
Vi
тогда
−
1
N
ãäå
PdVVKrrdV
ij tj
∑=∑ +
VPVPSVÔÔ
tj j j si ij i i ij i i
1
=∑
∫∫
Vj Vj
(, )
i
()
∑
=
0
i
′′
– вероятность того, что ней-
(8.1)
,
трон, «родившийся» в зоне i, испытывает столкновения
в зоне j.
Перепишем выражение (8.1) в следующем виде:
−
1
N
∑= ∑+
VPVSÔÔ
tj j j ij i si i i
∑
=
i
()
0
,
ãäå
VSP
∑+
Ô
ii
()
isi
– число нейтронов, вылетающих из
ij
объема Vi и испытывающих первое столкновение в зоне j.
Просуммировав, получим полное число нейтронов, вылетающих из всех зон и испытывающих первое cтолкновение
в зоне j.
Определим вероятность Р
того, что нейтрон появится
00
в блоке топлива и там же столкнется. Тогда вероятность
избежания столкновения в блоке топлива или, что то же,
появления нейтрона в блоке и испытания первого столкновения в замедлителе
PP P
001 00
Запишем это для произвольного объема
=∑
V
i
1
dVdV K r r
∫∫
V
i
ViVi
l
’
S
r
r
’
P
ii ti
1
n
0
.
1==−
V
′′
(, )
S
R
Ω
(ðèñ. 8.3):
i
n
Рис. 8.3. К определению вероятности вылета
225
èëè
′
rr
−∑ −
t
PdV
=∑
00 0
t
11
∫∫
4
V
0
VV
00
π
e
rr
−
0
′
,
dV
2
′
ãäå
rr SdV SdSd−′=
Проинтегрируем по
−∑ −
1
ee
∫∫∫
4
1
=−
∫∫
4
ππ
ΩΩ
ππ
rr
V
0
⎛
ΩΩ
dd
⎜
⎝
′
rr
0
t
22
′
−
11
−∑
ee
∑
t
0
11
=
∑
′′=′′
;().
′
:
r
1
′
=
dV d
S
0
t
−
tt
00
′
4
4
rR
⎞
⎟
⎠
0
π
∑
Ω
−
=
∫
Ω
2
Ω
−
rR
−∑
′
S
0
t
Ω
′
S
()
0
−
4
∑
0
t
−∑ −
d
e.
Ω
t
0
rR
⎛
⎜
⎝
2
′
′
S
(
−∑
))
dS
0
t
rR
−
=
⎞
−
=
1
⎟
⎠
В результате имеем
⎛
11 1
PdV
=∑
00 0
t
∫∫
V
0
=−
⎜
−
⎜
V
00 0
⎝
1
∫∫
4
π
VV
4
∑
tt
1
dV d
V
0
Ω
d
Ω
∑
π
Ω
rR
−∑ −
t00
Ω
e,
−∑ −
t
e
rR
0
⎞
⎟
=
⎟
⎠
тогда
PP P
==−=
001 00
1
V
0
Введем замену
d
Ω=
– нормаль к поверхности в точке
ãäå
n
верхности в точке
. Можно записать
R
226
1
π
V
4
0
dA n
()
Ω
rR
−
dV d
∫∫
Ω
,
2
rR
−∑ −
t
0
Ω
e.
; dA – элемент по-
R
=
PdA
0
dV
∫∫
4
π
V
0
Проинтегрировав по S, получим
ãäå
ld(, )Ω
P
0
1
=
4
V
∑
π
t
00
хорда вдоль направления
–
nddA
ΩΩ
() e ,
∫∫
A
Ω
(топлива).
Приближенно можно записать
rR
−∑ −
t
0
e
−
Vr R
0
−∑
1
−
(
().
Ω
n
2
Ω
(, )
ld
t
0
)
; d – размер блока
Ω
(8.2)
P
0
Åñëè
⎡
1
1
−−∑
A
≅
V
4
0
1
l
<
∑
lE
exp ( )
[]
t
0
E
∑
()
t
00
−∑
l
t
0
,e
t
0
=
, то после интегрирования в вы-
1
<
−−∑
A
V
4
lE
exp ( )
00
⎣
E
∑
()
t
0
⎤
t
⎦
.
ражении (8.2) получим
P
0
Обозначим через
Ïðè
A
,.
òàê êàê
V
4=∑
t
00
l
0
11
>
lP
0
имеем .
∑
t
0
A
V
4
0
длину средней хорды в блоке.
=
A
0
=
0
n
()
∑
nddA A
ΩΩΩπ
()
∫∫
0
>
l
t
00
=
Полученное выражение для Р0 применимо только для
больших тел, для малых вероятность Р
должна быть
0
близка к единице. Вигнер предложил для тел всех размеров приближение, называемое рациональным приближени-
ем Вигнера:
1
() .∑≅
Pl
tt000
1
+∑
(8.3)
l
00
227
Длина средней хорды для цилиндра
d
– диаметр цилиндра; для плоского слоя
ö
42
– толщина слоя; для сферы
d
ï.ñ
V
A
40V
A
d=
ñô
3
ld==
42
V
A
, ãäå
3
d
ñô
, ãäå
ö
, ãäå
d=
ï.ñ
– äèà-
метр сферы.
Вероятность поглощения в блоке равна
l
∑
t
PP
11=− ≅
00 0
+∑
00
t
00
l
PP
=;,
001
èëè
PlP
=∑ .
t00 0 0 01
На основании известной теоремы взаимности
PVPV
∑=∑.
ij ti i ji tj j
Для гетерогенной ячейки можно записать
∑=∑
VP VP
tt
0 0 01 1 1 10
.
Это можно доказать. Будем считать, что область, для
которой рассматривалась вероятность избежания столкновения, – топливный элемент объемом V
замедлителем объемом V
. В таком случае вероятность из-
1
бежания столкновения эквивалентна Р
, окруженный
0
для чисто погло-
01
щающей среды. Теперь представляется возможность найти зависимость между P
è P01 с помощью уравнения
10
∑=∑
VP VP
tt
0 0 01 1 1 10
(здесь Р10 – вероятность того, что нейтроны, равномерно
рожденные в замедлителе, испытают все первое столкновение в топливе).
Для изолированного топливного элемента, окруженного достаточно большим количеством замедлителя, согласно теореме взаимностей, соотношение, связывающее P
, может быть найдено на основании следующих сооб-
P
01
10
è
ражений. Предположим, что в большом объеме замедли-
228
теля плотность равномерных и изотропных источников
составляет
1
. Если объем замедлителя достаточно ве-
4
πV
1
лик, можно считать, что поток в нем такой же, как и в бесконечной среде. Следовательно, если сечение замедлителя
равно
, то поток
∑
t1
Ô
,,Ω
()
âõ
r
1
=
V
∑
4
π
t
11
и полное число поглощений в топливе нейтронов, покидающих замедлитель, равно
⎡
−−∑
nlddA
ΩΩ
exp .
∫∫
n
Ω()
⎣
0
<
()
⎤
t10
0
⎦
41=∑
π
1
t
11
V
A
P
Сравнивая это выражение с Р01 и принимая во внима-
ние, что интегралы имеют одинаковое значение для
nΩ<0è
, имеем
∑=∑
VP VP
tt
0 0 01 1 1 10
.
nΩ>0
8.4. Поправки Данкова
В предыдущем параграфе предполагалось, что топливный элемент окружен достаточно большим количеством
замедлителя (разреженная решетка). Для вычисления в
тесных решетках вероятность того, что нейтрон, рожденный в топливе, испытает следующее столкновение в замедлителе, необходимо учесть вероятность прохождения
им на своем пути других топливных блоков без столкновения (рис. 8.4).
Определим вероятность первого столкновения в замедлителе. Пусть нейтрон вылетел из блока 1 в направлении
. При этом вероятность Р01 складывается из вероятно-
Ω
l
11
l
01
Рис. 8.4. К расчету поправки Данкова
l
02
l
12
l
03
Ω
229
стей прохождения нейтроном замедлителя между первым и
вторым блоками (l
рым и третьим блоками (l
), топлива (l02), замедлителя между вто-
11
), третьего блока (l03) è ò.ä. äî
12
столкновения в замедлителе. Это можно записать в виде
Pll
ãäå
exp( )−∑tl
1 −−∑exp( )tl
Вычисление Р
11=− −∑
exp exp
⎡
01 1 11 1 11
⎣
×−∑
exp exp ll
()
()
tt
l
⎡
tt
002 1
⎣
– вероятность прохождения данной среды;
– вероятность столкновения.
сложно. С определенной степенью точ-
01
+−∑
⎤
⎦
−−∑
()
()
12
⎤
⎦
×
+ ...,
ности можно записать приближенное значение вероят ности
c
1
PP
=
01 0
11
−−∑
−
ctP
()
t
000
,
ãäå с – поправка Данкова.
Подставив
1
P
1≅+∑
l
t000
,
получим
P
≅
0
()
∑+−
tt
00 00
0
=
cl l c
1
() ()
11
1
+∑ −
.
cl
1
−
Сравнивая последнее выражение с (8.3), видим, что
учет этого факта эквивалентен увеличению средней длины хорды в
11()− c
раз. Существуют достаточно точные
аппроксимационные формулы, по которым можно вычислить коэффициент с.
8.5. Коэффициент размножения на быстрых нейтронах
Во всех реакторах, даже в реакторах на тепловых нейтронах, происходит деление ядер, вызванное нейтронами
с энергией, которая больше тепловой. Различают два вида
деления ядер этими нейтронами: на резонансных (по-
скольку сечения деления нуклидов
230
233
U,
235
U è
239
Pu îò-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]