Физика ядерных реакторов. Учебное пособие

Нужно выразить D и

в виде групповых констант

Σ

a

(q – слабо меняется в интервале летаргий). Запишем приближенные значения

u

j

Мdu

() ,Ô

∫∫∫

u

j

−−−

111

≅

Δ

:

М()Ô

u

j

1

u

∂

ξΣ

js

u

j

u

j

Dq qdu

Δ−

()

u

j

Σ

a

ãäå

u

j

Σ

a

∫

u

j

−

1

j

Σ

=

u

du

ξ

Σ

s

ξ

du

Σ

.

s

j

∫

j

−

1

Δ= −

uuu

jjj1

u

j

D

du

∫

ξξΣ

s

u

j

−

1

j

;

D

−

=

u

j

∫

u

j

−

1

du

Σ

;

s

Примеры интерполяционных формул: 1-я схема

j

qq

= ;

2-я схема

q

uu

=

−

j

−−1

u

Δ

j

q

uu

−

j

+

u

Δ

j

1

q

;

j

3-я схема

j=−1

qq

.

Рассмотрим первую схему. Запишем уравнение для j-é

группы

jjjj j

∇∇ − =−Df

ÔÔΣ ,

ãäå

jj

−−

11

ξχΣ

j

f

=+

Ô

s

j

AA

A

j

Qr

j

=

ξξΣ

s

();

u

j

u

j

∫

j

−

1

j

ΣΣ

du

Σ

s

=+ξ;

a

j

Σ

j

s

j

A

(j = 1, 2, 3, …, m – номер группы).

171

Уравнение для тепловой группы имеет вид

∇∇ − =−D

ÔÔ ÔΣΣξ ,

òò òò

as

ãäå m – номер группы перед тепловой группой, а

mm

m+

1

ÔÔ

=

ò

поэтому функция

u

ò

⎛

ν

f

Qr

()=+

ν

f

=+

K

ýô

ν

f

=+

K

ýô

⎜

du

ÔÔ

ΣΣ

ff

∫

⎜

K

ýô

−∞

⎝

u

⎡

i

m

⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

∑

j

∑

j

du

ÔÔ

ΣΣ

ff

∫∫

=

1

u

j

−

1

u

i

m

du

ΣΣ .

q

Σ

ξ

s

ff

∫

=

1

u

−

j

1

⎞ ⎟

=

ò

⎟ ⎠

⎤ ⎥

=

ò

⎥ ⎦

⎤ ⎥

Ô

ò

⎥ ⎦

6.11. Конечно-разностное уравнение диффузии

Дифференциальные уравнения групп заменяются конечными разностями, в результате чего приходим к системе алгебраических уравнений. Общий метод следующий.

Весь объем реактора разбивается на отдельные интервалы таким образом, чтобы в пределах одного интервала потоки менялись слабо.

Возьмем уравнение диффузии для одномерных областей:

,

1rd

α

dr

α

rD

d

dr

Ô

Ô−=−Σ ,

a

(6.77)

f

ãäå α = 0, 1, 2 соответственно для плоской, цилиндрической и сферической геометрий.

С учетом

Ô

d

α

rD

= J

dr

запишем уравнение (6.77) в многогрупповой форме в виде системы конечных разностей:

172

1rd

J

−=−Σ Ô.

dr

a

α

(6.78)

f

Уравнение диффузии проинтегрируем в диапазоне от

(рис. 6.4), тогда

r

k+12/

r

k−12/

äî

r

k–1/2

r

k

k+1/2

JJ

r

k

=−

r

k

−=

kk

+−

12 12

//

+

12

/

()

a

∫

−

12

/

α

frdr

(6.79)

,Σ Ô

Рис. 6.4. Система узловых

точек

ãäå

JJ

kk

++

12 12//

ÔÔ

−=

kk

+

1

r

≡

()

r

+

k

∫

r

12

/

k

;

J

α

rD

(6.80)

.

dr

Система уравнений (6.79), (6.80) и будет исходной для получения конечно-разностных уравнений диффузии в многогрупповой записи.

Нужно заменить подынтегральные выражения интерполяционными функциями, которые слабо зависели бы в интервале разбиения r и интервале летаргии соответственно от r è u.

Будем считать, что разрыв

, f è D приходится на

Σ

a

.

r

k

Правую часть уравнения (6.79) запишем в виде двух интегралов:

r

k

+

12

/

ΣΣ

ÔÔ

()

a

∫∫

r

k

−

12

αα

frdr frdr

−

r

/

12

k+

+−

∫

r

k

r

k

=−

()

a

r

k

−

12/

/

α

Σ

()

Ô

a

frdr

..

+

(6.81)

Разложим подынтегральные выражения в ряд Тейлора в точке

и ограничимся первым членом:

r

k

173

ΣΣ

()

ΣΣ

()

fr f rÔÔ−

a

fr f rÔÔ−

a

−−αα

≈−

()

ak k k k

++αα

≈−

()

ak k k k

;

.

Подставив полученные разложения подынтегральных функций в (6.81), получим следующее приближенное значение:

r

k

+

/

ΣΣ

ÔÔ−

()

a

∫

r

k

−

1212/

αα

frdr r fr r

⎡

≅Δ

()

⎣

k

−Δ

()

k

⎤

k

⎦

k

è

JJ

−−Δ

kkkkk

+−

12 12//

αα

rr frr

Σ Ô

()

=− Δ

()

k

(6.82)

.

k

Поскольку

J

≅+

αα

rD r D

то из (6.80) имеем

ÔÔ

−= Δ

kk

+

1

è

α

rD

kk

++

12 12

J

k

+

12

=

//

Δ

r

()

k

kkkkk

ãäå

μ

kk

Аналогично можно получить

J

k

−

12

/

174

J

k

+

12

/

kk

++

12 12

//

J

k

α

rD

//

kk

++

12 12

−

++

11/

D

α

r

++1212/

α

rD

kk

−−

12 12

//

=

Δ

... ,

/

+

12

=−

k

/

r=Δ

k

r

k

(6.83)

μÔÔ ÔÔ

()

,

.

. (6.84)

r

k

Подставив (6.83) и (6.84) в (6.82), получим

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

μμ

kk k k k k k

−

()

+−−

111

−−

()

αα

rr frrÔÔ ÔÔ Ô

−Δ

Σ .

()

k

=− Δ

()

k

С учетом замен

α

⎛ ⎜

⎜

⎞

r

k

+

12

/

r

k

⎟

=+

⎟

⎛

1

⎜ ⎝

α

⎞

Δ

r

k

≅+

⎟

2

r

⎠

k

Δ

r

1

k

α

2

r

k

è

α

⎛ ⎜

⎜

⎞

r

k

−

12

/

r

k

⎟

=−

⎟

⎛

1

⎜ ⎝

α

⎞

Δ

r

k

≅−

⎟

2

r

⎠

k

Δ

r

1

k

α

2

r

k

записываем данное уравнение в виде

abс F

ÔÔÔ

−+ =−

kk kk kk k

+−

11

(6.85)

,

ãäå

a

=+

k

⎛

1

⎜

c

=−

k

⎛ ⎜

D

⎞

r

Δ

2

1

+

12α/

k

⎟

r

k

r

Δ

r

2

k

bac r

=++Δ

;

r

Δ

k

D

⎞

k

⎟

kkk

−

12α/

k

;

r

Δ

k

Ffr

=Δ

k

Σ ;

()

k

()

.

k

Таким образом, найдена связь между потоками в узловых точках. К уравнению (6.85) необходимо 3добавить граничные условия. Считаем, на внешней границе поток равен нулю, Ф

= 0, ãäå т – расчетный узел на границе

т

реактора, а в центре реактора выполняются условия

d

ÔÔ

r ==0

;

1

dr

0.

rÔ==0

6.12. SN-метод (метод Карлсона)

Рассмотрим применение SN-метода для односкоростной задачи. Запишем соответствующее кинетическое урав нение переноса Больцмана (6.1) так:

175



1vd

В сферической системе координат



Ω∇ = +

В стационарном случае в сферической системе коорди-

нат имеем



Ô

rt rt r rt

,, ,, ,,ΩΩ ΩΣ Ω

()

dt



r

Σ

=

Ô

∫



′

Ω

FFr r td Sr t

()

s

ÔÔ

d

μ

dr rdd

ÔÔ

+∇



,, , , ,,.ΩΩ Ω Ω Ω

()

−

1

()



2

μ

′



Ô

()

ÔÔ= (, );r μ

;

μ

+

t

′



()

′



μθ= cos

=

()

+

()

.

ÔÔ

d

μ

dr rdd

ãäå

Для изотропного рассеяния

тогда

Для изотропного источника

Для стационарного случая изотропного рассеяния и изо тропного источника кинетическое уравнение (6.86) име ет вид

2

1

μ

−

+

gr Fr d

Sr Sr d

(, ) ()

ÔÔ

+=

ΣΣ,, (, )

ts

μ

×′+

μμ

dSr



,, , .μμ μ ϕ

()

Fr,,μ

gr,, .μμ

()

==

42

1

gr r

()

∫

−

1

,,

()

2

π

′

=

()

∫

0

()

0

′

1

π

0

1

=

4

π

1

=

2

π

ϕ

∫

0

′

μμ μ

Sr

()

.μ

′

×

(6.86)

176

2

d

ÔÔ

μ

dr rdd

μ

−

1

ÔÔ+

+=

Σ

t

μ

1

Σ

s

22

r

()

∫

−

1

Sr

()

′

μ

+

,

. (6.87)

Предполагаем использование итерационного процесса, что позволяет рассматривать уравнение (6.87) следующим образом.

ÔÔ

d

μ

dr rdd

2

−

1

μ

Ô+

+=

Σ (),

t

μ

(6.88)

fr

где правую часть f(r) в каждой итерации считаем известной и равной

1

fr r Sr

() () (),=+

2

⎡

Σ Ô

⎣

s

0

⎤ ⎦

причем

1

ÔÔ

() (, )rrd=

0

∫

−

1

.

μμ

На внешней границе и на границах раздела сред используем условия

Ô

00

ÔÔ(,)(,)RR−= +00μμ

ïðè

0(,)R μ=

μ<0;

,

ãäå R – граница раздела сред.

Разобьем интервал равных частей

(, )μμ

бьем промежуток

−≤ ≤11μ

jj+1

, начиная с

00≤≤rR

íà n (n – четное число)

μ

íà N интервалов

. Далее разо-

1=−

0

(, )rr

kk+1

òàê,

чтобы границы раздела сред (если таковые имеются) содержались среди точек

возрастания радиуса r, начиная с r

Рассмотрим произвольную ячейку расчетной сетки В фазовом пространстве

, пронумерованных в порядке

r

k

(, )r μ

= 0 (ðèñ. 6.5).

0

элемент «объема» имеет вид

S

kj,

.

dS r drd=

2

μ.

177

r

1

a

c

–1

Рис. 6.5. Расчетная сетка узлов для SN-метода

R

b

0

R

d

0

1

k+1, j

S

μ

k, j

k+1, J+

kj

Проинтегрируем уравнение (6.88) в пределах ячейки

(ñì. ðèñ. 6.5):

r

1

+

j

1

+

k

2

rdr d

∫∫

r

k

⎡ ⎢ ⎢

⎣

r

j

d

−

ÔÔ

dr rdd

μ

+

ÔΣ ()

t

μ

2

1

r

++∫1

k

⎤

=Δμμ

μ

⎥ ⎥

⎦

r

k

fr

2

rdr,

(6.89)

ãäå

Δ= −

В пределах ячейки

μμ μ

+

jj1

аппроксимируем функцию Ф(r, μ)

S

kj,

.

интерполяционной формулой, полученной в результате последовательной линейной интерполяции сначала по одной переменной, а затем по другой (результат не зависит от очередности интерполяций):

1

⎡

−

rr rr

()

kkjkkj

11

++

⎣

Δ

r

k

(интерполяция по r между

+−

ÔÔ

è

r

k+1

Проведем также интерполяцию по

()

).

r

k

μ

,

, тогда

⎤ ⎦

k, j+1

Ô

r

μ

ΔΔ

ãäå

=−

по стоянным.

– значение функции

Ф

kj,

rr

+

kk1

–

178

⎡

rr rr

−

()

k

+

1

⎢

1

⎢

×−

μμ=

()

⎢

r

μ

k

⎢

×+−

ÔÔ

,,

kj k

+++

111

⎣

−

μμ

()

Ô (, )

j

()

Ô

j

+

1

kj

,

rr

kj k

,

+

rrr

−

()

+

1

μμ

−

()

Ô( , )r μ

шаг по переменной

, который может не быть

r

+−

()

+

1

μμ

()

j

+

k

j

kj

в точке

⎤

×

⎥ ⎥

−

1

(6.90)

×

,

⎥ ⎥ ⎦

(, );r

k

Δ=r

μ

j

k

Соответственно функцию

в промежутке

fr()

rrr

≤≤

kk

аппроксимируем линейной интерполяционной формулой

+1

fr

() ( ) ( ) .=

1

rrfrrf

−+−

[]

kkkk

++

r

Δ

11

k

Проинтегрируем это выражение в пределах ячейки:

μ

r

1

+

j

1

+

k

r

μ

j

k

2

frrdrd

()

+

r

+

1

k

rrrdrr

−

()

k

++

1

∫

r

k

1

⎡

=−

r

44rrr r r

k

⎣

12

1

=−+

12

Δ

r

k

⎡

=

Δ

=

12

Δ

r

k

⎡

=

rrrrrrr r

⎣

12

rrrr r r

()

kkk kk

⎣

12

r

3

k

rrrrr

()

kkkkk

++ +

1

332

−+ −

++ +

kkkkkkk k

1

ΔΔ

rr

=

μ

=

μ

Δ

ffrrrdr

kk

+

1

r

Δ

k

2

=

k

4

+

()

++

3

kk k k

1

4

rrrr

44 3

kkkk

1

++

+

1

2

1

()

kk

⎡

2

rrr

⎢

⎣

12

r

1

+

k

μ

Δ

frrrdr

()

kk

r

Δ

k

r

+

1

k

−

()

∫

r

k

33144

rrrr

kkkk

++

1

−+

11

++

1

2

()

1

2

1

2

++

()

kkk

1

+

∫∫∫

r

k

2

−

34

44

33

34

23

+

−

33

++−

34

rr

kk

1

+−

()

1

+

2

−

+

;

− =

⎤

=

⎦

=

⎤

=

4

⎦

=

2

⎤⎤

1

⎤

.

⎥

⎦

=

⎦

В результате имеем

μ

r

j

1

+

k

1

+

frrdrd

()

∫∫

μ

r

j

k

+

2

rrr

2

++

()

2

kkk

μμ

=

12

2

r

2

+

rrr

()

kk

1

+

k

2

+

++1

ΔΔ

12

2

1

+

ΔΔ +

rf

μ

kk

1

rf

kk

.

(6.91)

179

Подставляя (6.90) и (6.91) в (6.89) и выполняя все ин-

тегрирования, получаем

AB C D

ÔÔ Ô Ô+++ =

kj kj kj k j kj kj kj k j

,, , , ,, , ,

++++

1111

Ef Ef

=+

kk kk

,

+

1

(6.92)

ãäå

+

++

Ar rrrr

kj k

Br rr r r

kj k

Сr rr rr

kj k

Dr rr r r

kj k

22 2

μμ μ μ

jj

+

22

μμ μ μ

jj

+

1

−

2

μμ μ μ

jj

−

2

μμ μ μ

jj

+

11

+

1

Er r

=

()

kk k

1

()

1

()

1

()

1

()

+

2

ΔΔ

kk k k,

−

kk k k,

+

11

+

22

+

1

kk k k,

2

+

kk k k,

μ; Fr r

=

kk k

Σ

Δ+

2

Σ

Δ+

2

Σ

Δ+

2

−

Δ+

+

11

2

()

+−1

ΔΔ

()

−

2

()

Σ

2

ΔΔ

+

ΔΔ

−

2

+

ΔΔ

()

μ,

причем

μμ

+2

1

μ

jj++

=

j

3

rr

2

−

r

k

+

=

1

kk

()

−

;

μ

j

+

1

3

−

2

r

=

k

+

1

μμ

+

2

+

jj

1

;

rrr

2

3

+

2

r

=

()

k

2

()

++

kkk

++

1

=

+

;

2

rrr

++

2

kkk

1

6

rr

+2

r

()

kk++

=

k

3

2

+

1

;

6

2

.

;=− Δ − −

;=Δ−−

;=Δ+−

1

;

Граничное условие означает равенство нулю значений функции Ф в узлах линии ab (ñì. ðèñ. 6.5), ò.å. (j = 0, 1, …, n/2). Отмеченное обстоятельство подсказывает, что последовательное вычисление значений Ф в узлах сетки нужно выполнять по формуле (6.92), начиная со значений на линии аb и продвигаясь вниз к линии с0. Число искомых величин

превышает число уравнений, а потому

Ô

k,0

задача оказывается недоопределенной.

Систему можно доопределить неким конечно-разностным соотношением, связывающим искомые величины

Ô

k,0

180