Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
состоянии, называется критическим объемом. Масса делящегося вещества в этом объеме называется критической.
Все три случая, рассмотренные выше, можно интерпре-
тировать как следующую задачу на собственные зна чения:
1
d
ddrÔ
2
r
2
dr
r
Ôd
dr
r ==0
Ô;=λ
(6.19)
0;
ÔÔ
⎛
⎜
⎝
d
+
2
⎞
D
⎟
dr
⎠
=
rR
0.
=
При любом радиусе сферы R > 0 все собственные значения задачи (6.19) отрицательны. Это означает, что случаи 1 и 2 отпадают. Поскольку наименьшее по модулю
собственное значение будет функцией радиуса сферы
λλ
= ()R
00
, то для случая 3 приходим к следующему урав-
нению для определения R:
ν
λχ
() .R
0
2
=− =−
∑−∑
a
f
D
Разумеется, это уравнение сводится к уравнению (6.18).
При решении уравнений реактора можно получить
критический размер реактора различной формы:
для шара •
R =π χ/
;
для неограниченно протяженной пластины толщиной•
H =
πχ/;
для неограниченно протяженного цилиндра •
R = 2 405,/χ
.
6.3. Кинетическое уравнение
для тепловой группы нейтронов
По энергиям все нейтроны можно разделить на две
группы: быстрые и тепловые, разделенные между собой
граничной энергией
Под влиянием движения ядер тепловые нейтроны распределяются по максвелловскому спектру. Процесс замедления нейтронов с энергией ниже 1 эВ, т.е. в тепловой области, называется термализацией нейтронов.
.
E
ãð
141
На основании баланса в единичном фазовом простран-
стве выведем кинетическое уравнение для группы тепловых нейтронов. Если
нице объема фазового пространства;
поглощения нейтронов, обладающих скоростью
– вероятность рассеяния нейтронов, обладающих ско-
υ
()w
ростью
ства изменение числа нейтронов будет равно прибыли за
счет источников и за счет части нейтронов, которые меняют скорость с
+
∫∫
′′
υ
где первое слагаемое правой части – убыль нейтронов за
счет поглощения и рассеяния; второе слагаемое – прибыль
нейтронов за счет того, что имеется определенная вероят-
ность
третье слагаемое – прибыль нейтронов за счет источ ников.
Поскольку скорость тепловых нейтронов очень низкая,
а интервал энергии велик (Е = 0,3...0,02 эВ), то рассеяние,
вследствие которого скорость изменяется с
рассматривать только в этой группе, тогда
dn
dt
ãäå
g(,,,)
сменить скорость с
Запишем уравнение для потока нейтронов:
, то в единичном объеме фазового простран-
υυ
=
′
íà
υ
υ
υ
rt
(, , ,)
Ω
dn
dt
′′′
υυ
ddw
Ω
Ω
′′
F(,,,)
ΩΩ
=− +
γ() () ( )(, , ,)
[]
′′
ΩΩ
υυ
))(, , ,) ( , , , ) (, , ,),nr tF Sr t
(
сменить скорость нейтрона с
υυ
wnddwnr t
υυ υ υ υ
g
×
(,
Ω
– вероятность для теплового нейтрона
υ
nr t(, , ,)
:
=− +
[]
′′ ′ ′
+
′
ΩΩ,,) (,,,),
υυ υ
′
íà
υ
– число нейтронов в еди-
Ω
υ
– вероятность
γ()
υ
γ
υυ υ
wnr t
() () (, ,,)
Ω
υυυυ
′′′ ′′
∫∫
′′
υ
′
.
ΩΩ
Ω
+
Sr t
+
+ΩΩΩ Ω
′
íà
υ
υυ
=;
′
íà υ,
υ
можно
υ
×
1d
Ô
υ
dt
142
υυ
γ() ()
w
+
[]
=−
×
Ô
υ
′′
g
((,,,)
ΩΩ
′
υ
′′′⋅′′
υυ υ
ddw r t
+
∫∫
′′
υ
Ω
υυ
+
Sr t
Ô
() (, ,,)ΩΩ
(, ,,)
Ω
υ
×
(6.20)
и проинтегрируем по всем скоростям тепловой области.
Введем следующие обозначения:
υυ
ãð ãð
∫∫
00
ΩΩΩΩ
Sr td Sr t g d
(, , ,) (, ,); ( , , , )
υυ υυυ
G
(
=′ΩΩΩ Ω Ω,,); (,,,) (,,).
=
υ
′
υυυ
∫
0
ãð
ÔÔ
rtd rt
′′
=
ò
=
Среднее значение скорости
модействия
в тепловой области энергий определяют-
()Σ
ò
и полное сечение взаи-
()
υ
ò
ся выражениями
ãäå
υ
ãð
Ô
d
υ
∫
0
υ
ãð
d
υ
Ô
∫
υ
0
– граничная скорость.
υ
ãð
υ
ãð
υυ
+
() ()
[]
∫
0
υ
=
òò
w
υ
ãð
υ
Ô
d
∫
0
Ô
υ
d
υ
=;
,γΣ
После интегрирования получим уравнение в виде
⎛
Ô
∂
⎜
t
υ
∂
⎝
⎞
ò
ò
×
ÔÔ
+∇ =− +
ΩΣ Ω
⎟
òòò
⎠
rÔ
′′
Ω(, ,
υυ
,)
G
υ
ãð
ddw
υυ
∫∫
′′
υ
(,,)
ΩΩ
′
υ
′′′
′
Ω0
(, ,),t
Sr t⋅
+
()
Ω
×
(6.21)
где Фт – поток нейтронов, которые полностью замедлились; Ф – поток замедляющихся нейтронов.
Если бы не было утечки и поглощения, то все нейтроны замедлились бы до тепловых и под влиянием теплового движения ядер получили бы максвелловское распределение
ãäå
ÔÔ
(, , ,) (, ,) ( ),
rt rtM
′
– спектр Максвелла.
M()
υ
′′
ΩΩ
=
υυ
′′
ò
В тепловой области резонансного поглощения практически нет, а если взять достаточно большие размеры ак-
143
тивной зоны, то можно пренебречь и утечкой, т.е. с определенной степенью точности можно считать, что поток
нейтронов распределяется по спектру Максвелла. Тогда,
полагая
υ
υ
ãð
∫
0
υ
ãð
Ô
(, , ,)
rtd
∫
0
ãð
Ô
(, , ,)
rt
∫
0
Ω
′′
Мd()
υυ
υυ
d
υ
, получаем
=
1
υ
ãð
Ô
∫
00
=
υυ
ãð ãð
υ
υ
Ô
∫∫
00
′
(, ,) ()
rtMdΩ
Ω
ò
′
rtM
Ω
(, ,) () ()
ò
υυ
d
υ
υ
υ
M
1
υ
=
,
υ
d
υ
после введения обозначений
υ
ãð
Σ
=
st
υ
′
gdGM
(,)
ΩΩ
ãð
=
∫
Σ
st
0
ΣΩΩΣ ΩΩ
′
ggwMG
(,) () ()()(,,)
st st
==
μ
0
′′
wM
() () ;
υυ
∫
0
′′
(,,)
ΩΩ1
′
υ
υ
υ
ãð
υυ υ
∫
0
′
d
υ
′
υ
υ
′
′′′′
′′
() ();
υυ
w
d
υ
′
υ
′
кинетическое уравнение запишется в виде
Ô
d
1
ò
+∇ =− +
ΩΣ ΩΣΩ
ÔÔ Ô
υ
dt
ò
òòò ò
′
×
(,) (,,,).
gSr
ΩΩ
+
′′
drt
′
Ω t
st
∫
Ω
(, ,)
×
Необходимо найти выражение для изменения функции
источника. За источники энергии нейтронов можно принять
те нейтроны, которые пересекают Е
. Диффе рен циальная
ãð
плотность замедления тождественна функции источника.
Рассмотрим изменение летаргии нейтронов в течение
одного акта столкновения на примере рассеяния нейтро-
′
нов вблизи некоторого значения летаргии
′′
в интервал
(рис. 6.3). Максимальное изменение ле тар-
du
гии при одном столкновении обозначим r. Åñëè
144
в интервале
u
Fuuμ0,,
()
du
′′′
–
′
плотность вероятности для нейтрона,
′
находящегося в интервале
щего направление
′′
тервал
íà
Ω
и сменить свое направление
du
, à
nr u
,,
Ω
()
нов с летаргией
′′
ãèè
попадает
du
′′ ′ ′ ′′ ′′′
du du d r u F u u
ΩΣ Ω
∫
′
Ω
′
, рассеяться в ин-
Ω
′′
– плотность нейтро-
′
, то в интервал летар-
u
Ô( , , ) ( , , )
s
è èìåþ-
du
μ
0
нейтронов. Число нейтронов, рассеянных из интервала u... (u – r) в интервал
Рис. 6.3. Изменение
летаргии при замед-
u–r
u
du
du
лении нейтронов
’
’
u
u
’’
’
’
u+r
u... (u + r), равно
ururu
+
′′ ′ ′ ′′ ′′′
du du d r u F u u
∫∫∫
u
По определению это дифференциальная плотность за-
медления
−
qr u(, ,)
Ω
ur
+
FuuduFuu
∫
u
ΩΣ Ω
′
Ω
. Обозначим
′′′ ′′
(,,) (,,)μμ
00
Ô( , , ) ( , , ).μ
s
=
0
′
–
вероятность того, что нейтроны, рассеявшись при летар-
′
, попадут в интервал u...(u + r). Тогда выражение для
ãèè
u
дифференциальной плотности замедления может быть записано так:
qr u du d r u F uu
(, , ) (, , )( , , ).
ΩΩΣΩ
u
=
∫∫
ur
−
′ ′ ′′ ′′′
′
Ω
Ô μ
s
0
(6.23)
Функция источников для тепловой группы запишется
â âèäå
u
ò
∫
u
u
′′ ′′
∫∫
ur
−
Ω
ò
Ô μ0,, ) ,′u
s
′
′
(6.24)
Sr t qr t du d r utF
(, ,) (, ,) (, , ,)(
ΩΩ ΩΣΩ
ãäå
Fu Fuudu
(,) (,,).μμ
00
==
′
=
145
Подставляя (6.24) в (6.22), можем записать выражение
для кинетического уравнения тепловой группы нейтронов:
10d
υ
ò
Ô
ò
+∇ =− +
ΩΣ ΩΣΩ
ÔÔ Ô
dt
òòò ò
uu
+
∫∫
−
ur
ò
′′
drtg
∫
Ω
′′′ ′
du
′
Ω
Ô( , , , ) ( , ).μ
drutFu
ΩΣ Ω
s
′
st
′
(, ,) ( )μ
⋅+
0
(6.25)
Это уравнение применимо только для тех нейтронов,
которые распределяются по максвелловскому закону.
В тепловой области, в любом реакторе, работающем на тепловых нейтронах, последние распределяются по максвелловскому закону, поэтому данное уравнение применимо
для расчета реактора, но неприменимо для расчетов реакторов с энергиями нейтронов более 0,3 эВ, хотя приближенное описание процессов оно может дать. Даже значительные погрешности при расчете спектра тепловых
ней тронов в реакторах на промежуточных нейтронах не
дают существенной ошибки в определении геометрических и физических параметров реактора.
В общем случае перенос нейтронов от энергии деления
до тепловой не может быть описан с помощью этого уравнения. Необходимо дополнительное уравнение для замедляющихся нейтронов.
6.4. Система основных уравнений реактора
Для полного описания переноса нейтронов от энергии
Е, при которой рождается нейтрон, до тепловых энергий
не достаточно одного уравнения.
Для стационарного случая общее кинетическое уравнение Больцмана (6.3) в летаргической системе координат
имеет вид
u
′′ ′′
t
ΩΩ
(,,,)SSr u(, ,).
du d r u
∫∫
′
−
ur
′′
Ω
+
s
Ω
(, , )
×
(6.26)
146
ΩΣ ΩΣΩ
∇=− +
ÔÔ Ô
×
Fuu
Функцию рассеяния считаем заданной. Найдем функ-
цию источников.
Общее число быстрых нейтронов,
, рождаемых в
Qr()
результате реакции деления в единице объема в единицу
времени, и будет функцией источников. Число актов деления в единице фазового пространства равно
– макроскопическое сечение деления.
Σ
f
ΣfÔ
, ãäå
Полное число актов деления, которое вызвано нейтронами всего спектра энергий и всех направлений, получим,
если проинтегрируем по всему спектру:
∞
ddE
ΩΣ
Ô0.
∫∫
′
Ω
f
Если ν – среднее число нейтронов, полученных на каждый акт деления, то полное число быстрых нейтронов
Qr d dE
() .
=
∞
νΩΩΣ0Ô
∫∫
f
Весь энергетический спектр разделим на две группы:
от ∞ до E
è îò Eгр до 0, тогда
ãð
E
⎡
⎢
∞
Qr d dE
()
=+
νΩΩΣΣÔ
⎢
⎢
∫∫
=+
ν ddE
∫∫
Ω
f
⎢
E
ãð
⎢
⎢
⎣
∞
⎡
ΩΣ Σ
ÔÔ
⎢
ff
⎢
0
⎣
ãð
f
∫
0
E
ãð
Ô
∫
0
ò
Ô
dE
ò
dE
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
=
Ô
⎥
ò
⎥⎥
⎥
⎥
⎦
,
ãäå
E
ãð
dE
Ô
Σ
f
∫
Σ
0
=
f
ò
E
ãð
∫
0
– сечение деления в тепловой группе.
dE
Ô
147
В пространстве летаргий
U
ãð
Qr d du
() .
=+
⎡
⎢
νΩΩΣ Σ
∫∫
⎢
⎣
ÔÔ
ff
−∞
⎤
⎥
ò
ò
⎥
⎦
(6.27)
Подставив (6.27) в (6.26), получим общее кинетическое
уравнение для переноса нейтронов во всей области энергий для стационарного режима:
ΩΣ ΩΣΩ
∇=− +
ÔÔ Ô
+
u
′′ ′′ ′
t
χ
ν
du d r u F u u
∫∫
′
−
ur
Ω
u
ò
u
()
4ππ
⎡
⎢
ddu
ΩΣ Σ
∫∫
Ω
ÔÔ
ff
⎢
−∞
⎣
(, , ) ( , , )
s
μ
0
⎤
+
⎥
.
ò
ò
⎥
⎦
+
(6.28)
Здесь введены множители:
распределены рождающиеся нейтроны;
– спектр, по которому
χ()u
14/( )π
– коэффи-
циент, учитывающий изотропность источника.
Приближенное значение спектра можно записать в виде
χ() , .ushE
048 2e
E=−
Функция распределения нормирована:
∞
χ() .EdE=
∫
0
1
Можно определить среднюю энергию рождающихся ней тронов:
∞
ΣΣχ
EdE
()
∫
0
E
0
∞
χ
EdE
()
∫
0
∞
χ
EdE
() . ÌýÂ
∫
0
2==≅
Уравнения (6.25) и (6.28) составляют систему основных уравнений реактора. Запишем их для стационарного
случая:
148
ΩΣ ΩΣΩ
∇=− +
ÔÔ Ô
×
Fuu
ΩΣ ΩΣΩ
∇=− +
+
ur
′
(,,)
μν
0
ÔÔ Ô
òòò ò
ò
U
′′ ′′ ′
du d r u F u
∫∫
−
ò
′
Ω
u
t
+
du d r u
−
ur
u
(
χ
))
ÔÔ Ô
4π
dr
∫
′
Ω
′
ΩΣ Ω
Ω
Ô
(, , ) ( , )
s
′′ ′′
∫∫
′
Ω
u
ò
⎡
⎢
ò
∫
⎢
−∞
⎣
′′
s
(, , )
s
ΣΣ
du
f
(,
))( )
μ
0
×
+
g
ò
f
ò
+
μ
0
⋅
⎤
⎥
,
⎥
⎦
(6.29)
Система уравнений (6.29) описывает движение нейтро-
нов во всей области энергий для рассматриваемой среды.
Аналогично можно было бы записать и систему основных уравнений реактора для нестационарной задачи. Для
решения системы основных уравнений реактора граничные условия аналогичны условиям (6.5)–(6.7).
Итак, на границе раздела двух сред
Ô( Ô(
ΩΩΩΩ
nr t nr t
00
Ô(
ΩΩ
nr t
ò
0
00
−=+
,,,) ,,,);
υυ
0
−
,,)
==+
ΩΩnr t
0
0Ô( , , ).
(6.30)
На границе с вакуумом
ΩΩnr t
ΩΩnrt
Считается, что функции
0
0Ô( , , , )υ=
0
0Ô(ò,,)=
Ô(
ïðè
ïðè
rt,,,)Ω
υ
Ωn
Ωn
0≤ ;
0
(6.31)
0≤ .
0
è
Ô(
ò
rt,,)Ω
â ìî-
мент времени t = 0 заданы.
6.5. Функция ценности нейтрона
Предположим, что из всего многообразия ядерных реакций, протекающих под действием нейтронов в некотором объеме V за конечный промежуток времени
необходимо знать, допустим, число делений. Если в точку
этого объема в момент времени t попало
r
Qr t(
,, ,)
, íàì
Δt
Ω
íåé-
149
υ
тронов, они могут рассеяться, поглотиться, вызвать деление и другие реакции. Вторичные нейтроны также могут
вызвать подобные реакции. Определим только те деления,
которые вызвали нейтроны, «родословная» которых связа-
на с первоначальными
Q(
rt,, ,)
υ
Ω
нейтронами. Отношение
числа таких делений N к числу исходных Q нейтронов называют ценностью нейтронов по отношению к реакции
деления. Аналогично можно определить ценность нейтронов по отношению к реакции поглощения, рассеяния и др.
Очевидно, данная величина будет функцией
обозначим ее
Ô(
∗
rt,, ,)
υ
Ω
. Отметим, что функция Ф* уже
(
rt,, ,)
υ
Ω
не зависит от Q.
6.6. Уравнение функции ценности нейтронов
;
Снова рассмотрим процесс впускания Q нейтронов в
точке
υ
по направлению
r
. Общая их ценность равна
в момент времени t со ско ростью
Ω
Qr tÔ*(
,,,)Ω
по определению,
υ
поэтому число актов рассматриваемого Р-про цесса долж-
но быть инициировано как впущенными вначале Q íåé-
′
тронами, так и их нейтронами-потомками
К моменту времени
′
=+tt tΔ
нейтроны, обусловлен-
.
()
Q
ные впущенными нейтронами, будут иметь разные судьбы, а следовательно, и разные ценности. Из определения
ценности следует, что общая ценность первоначально впущенных Q нейтронов равна сумме произошедшего за вре-
числа актов рассматриваемого Р-процесса и суммар-
ìÿ
Δt
ной ценности нейтронов, которые к моменту времени
′
=+tt tΔ
остались из числа Q впущенных (часть их могла
поглотиться), плюс ценность тех нейтронов, которые за
промежуток времени
воспроизвелись за счет тех же
Δt
впущенных Q нейтронов в результате реакции деления.
За промежуток времени
ния нейтроны из числа Q впущенных пройдут путь
причем до точки
QQ t
го до точки
1=−()
υ
ΔΣ
r
′
=+rr t
нейтронов. Ценность каждого дошедше-
t1
′
нейтрона равна
не испытавшие столкнове-
Δt
дойдет (при малом Δt)
υ
ΔΩ
Ô*(
rttt++
υυ
ΔΩ Δ,, ),
υ
Δt
òàê
что их общая ценность представится в виде
Q(1 )Ô*(–,,,).
υυυ
ΔΣ ΔΩΩ Δtrttt
t
++
,
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]