Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
Из числа нейтронов, претерпевших соударения на пу ти
′
äî
îò
r
рассеявшихся нейтронов в произвольный пучок
попадает
, рассеялось
r
QF2(
′′ ′′
υυ υ
,, , )
QQt
=υΔΣ
ΩΩΔ ΔΩ
нейтронов, претерпевших соударения на пути от
QQt
=υΔΣ
3
нейтронов вызовут деление ядер. Из числа
f
нейтронов. Из числа
s2
′′
(ΔΔΩ
υ
,)
нейтронов. Далее из числа
äî
r
Q
′⋅′
Ω
υ
r
вторичных нейтронов, возникающих в результате реакции
деления, в пучок
′′
( ΔΔΩ
υ
,)
Q
3
νχ() , )
попадут
′⋅′
Ω
υ
′′′
υυυυ
(
ΔΔΩ
4π
2
′
,
нейтронов. Поскольку рассеяние или захват нейтронов
с делением могли произойти в любой точке между
′
, ценность каждого из нейтронов, оказавшихся в резуль-
r
тате в пучке
лом
всем этим нейтронам можно приписать среднюю
Δt
′′
( ΔΔΩ
υ
,)
, будет разной. Однако при ма-
′⋅′
Ω
υ
r
äî
ценность, отнесенную к некоторому моменту времени
tt+<<εεΔ ()01
:
Ô*(rt tt+
υυ
εεΔΩΩ Δ
′′
,,, ).
+
Таким образом, суммарная ценность всех рассеявшихся нейтронов, а также всех вторичных нейтронов выразится интегралом
∞
Qtd d F
υυ υυυ
ΔΩΣ ΩΩΣ
⋅
0
⎡
′′ ′′
∫∫∫
′
Ω
()( ,, , )
s
⎢
⎣
Ô*(
rt tt
×+
υυ
εεΔΩΩ Δ,,, ).
′′
υ
()
ν
+
f
πχ4
υυυ
()( ,)
+
⎤
′
×
⎥
⎦
(6.32)
Наконец, число актов интересующего нас Р-процесса
за время
Величина
запишется в виде
Δt
QQtPr t
=
4
определяется по аналогии с
Q
4
υυ
ΔΩ(, , ,).
Q
2
è
Q
, òàê
3
êàê ïîä Р понимаем макроскопическое сечение.
В результате получим баланс ценности нейтронов:
Qr tQtPr t
Ô*
(, ,,) (, ,,)
ΩΔΩ
υυ υ
=+
Qt rt
() ,
ΔΣ ΔΩΩ
+− +1,,,)
υυ
t
Ô*(
υ
tt++Δ
151
+⋅
∞
υυ υυυ
Qtd d F
ΔΩΣ ΩΩΣ
0
⎡
′′ ′′
∫∫
′
Ω
()( ,, , )
s
⎢
⎣
Ô*(rt tt
×+
′′
ΔΩΩ Δ
υυ
εε
,,, ).
()
υ
ν
+
πχ4
+
′
()( ,
υυυ
f
⎤
))
×
⎥
⎦
(6.33)
Поделим полученное равенство на
и перепишем
Qt
υ
Δ
â âèäå
++−
Ô*( Ô*(
rt tt rt
υ, υ υ
ΔΩΩ Δ Ω
−
++
(Ô*(
υυ
ΣΔΩ
)
t
∞
′′ ′′
ΩΣ ΩΩ
υυυυ
dd F
+
∫∫
′
0
Ω
,,,, ) ,,,)
t
υ
Δ
rt
⎡
()( , , , )
s
⎢
⎣
×+
Ô*( ..
rt tt
,, ,, ) , ,,)
ΩΔ Ω
υυ
ttPr t
+= +
ν
+
4
εε
υυ
′′
ΔΩΩ Δ
,,, )
Перейдем в равенстве (6.34) к пределу при
(
υυ
)
π
+
(
χ
Σ
υυυ
()( , )
f
+
⎤
′
⎥
⎦
Δt → 0
×
(6.34)
. В данном случае первое слагаемое равенства (6.34) превратится
в величину
ÔÔ**
ãäå
∂
−
υ
∂Ô*
– производная по направлению вектора
∂1
−
dt dl
,
.
Ω
dl
Эту производную можно записать в виде
Ω∇Ô*
, так
что окончательно получим следующее интегродифференциальное уравнение для ценности нейтрона:
∂
1
Ô
*
υυυ
−
υ
dt
×=
Ô*(
ΩΩ ΩΣ
(Ô*((
,,,) ,,,) )
rt rt
υ
Ω ΣΣΩΩΩ
,,,)
rt
152
Ô*(
×
ΩΣ
rt
,,,)
′′
υ
Ô*( (
×
ν
+
, , ,) , , ,).
rtPrt
ΩΩ
−∇ + ×
∞
′′′ ′
dF
() ( , , , )
υυ υυ
s
∫∫
′
0
Ω
()
υ
4
π
′′
υυ
∞
(() ( , )
υυυυ
f
+
′′′
χ
∫∫
0
t
×
dd
Ω
′
Ω
×
(6.35)
Полученное уравнение называется сопряженным урав-
нением реактора.
Отметим, что функции ценности для всего множества
функционалов (6.32) описываются одним и тем же уравнением (6.35), но только с разными свободными членами.
Дополним уравнение (6.35) граничными условиями.
Из самого определения ценности следует, что нейтрон,
пересекая границу раздела двух сред, должен сохранить
свою ценность, т.е.
ΩΩΩΩ
nr tnr t
00
00Ô*( Ô (−= +
,,,) ,,,),
υυ
∗
(6.36)
что вытекает из балансового уравнения (6.34).
Если среда граничит с вакуумом и представляет собой
выпуклое тело, то нейтрон, находящийся на границе среда – вакуум и движущийся в сторону вакуума, уже ни при
каких обстоятельствах не сможет внести своего вклада в
рассматриваемый Р-процесс, а потому ценность такого
нейтрона равна нулю. Это означает, что на границе с
вакуумом
ΩΩnr t
0
где единичная нормаль
00Ô*( −=,,,)
υ
предполагается направленной
n
0
ïðè
Ωn
0
(6.37)
0> ,
в вакуум.
Выявим связь между уравнением переноса (6.4) и уравнением для ценности нейтрона (6.35). Для установления
этой связи потребуется описать два класса функций f è f*
∗
è
и ввести в рассмотрение два оператора L
=
+∇+ −
υ
t
∂
Vd
×
Ω
ΩΣ Σ ΩΩ
1
′
−
∂
1
L
440π
∗
L
=
–– () (,,,)
υ
×
∂
1
Vd
∇+ −
ΩΣΣ ΩΩ
t
∂
νν
′
−
Ω
4
∞
′′ ′ ′
υυ υυ
dF
ts
∞
νχ() ()(,) ;
∫∫
()
υ
ΣΩ
π
() (,, ,)
0
ΣΩ
υυυυυ
f
υυ υυ
ts
∞
() ( ,) .
υυυυ
f
∫∫
0
∫∫
′
Ω
′′ ′ ′
χ
dVd
∞
′′′
dF
∫∫
′
0
Ω
′′ ′
dVd
, ãäå
L
×
′
Ω
×
′
Ω
153
В этих выражениях под символом
мают интегральный оператор:
b
′′
KxxVdx
(, )
∫
a
ïîíè-
b
⎛
⎜
∫∫
⎜
a
⎝
′′
K x x Vdx f K x x f x dx
(, ) (, )( ) .
b
⎞
⎟
≡
⎟
a
⎠
′′′
С помощью этих операторов уравнения (6.4) и (6.35)
будут иметь соответственно вид
Можно показать, что операторы
Lq
Ô = ;
LP
*Ô* .=
(6.38)
(6.39)
L
è
сопряжены
L*
между собой, т.е.
( , *) ( * *) .LL
ÔÔÔ−=0
(6.40)
Для доказательства необходимо учесть, что
Ô(
rt
,,,)Ω
υ
t
→−∞
è
= 0
Ô(*,,,) .
rt
Ω
υ
t
→+∞
= 0
Первое выражение вытекает из условия, что все прак-
тически имеющие смысл случаи соответствуют тому, что
внешние источники нейтронов
qr t(
,,,)Ω
функционируют
υ
лишь в течение некоторого конечного промежутка времени. Второе условие следует из того, что любой процесс
ограничен во времени
мени уже прошел
tt>
()ttt
≤≤
12
, то нейтрон не сможет внести
2
, и если промежуток вре-
вклад в него, т.е. ценность такого нейтрона равна нулю.
Тождество (6.40) дает возможность вычислять любой
функционал С от потока нейтронов Ф двояко:
С
⎧
=
⎨
(, *).
⎩
q
(6.41)
Ô
P
(,);
Ô
Уравнение ценности в стационарном случае запишется
следующим образом:
154
−∇ + −
ΩΣΣ
ÔÔ
**()
ts
λ
0
νχ
=
4
π
′′ ′ ′
×
ΩΩΩ
(,, , ) *(,
dF r
∫
Ω
() () ( , ) *(, , )
υυυυυ υ
υυ
′
∞
′′ ′′′
ΣΩ
f
0
drdÔ ΩΩ .
υυ
Ô
∫∫
′
Ω
∞
∫
0
d
ΩΩ
′
×
′
,)
υ
=
(6.42)
Полученное уравнение имеет отличное от нуля решение, ибо параметр
, будучи положительным собствен-
λ
0
ным значением уравнения (6.4), является собственным
значением и для сопряженного уравнения (6.42). Более
того, решение Ф* уравнения (6.42) будет всюду положительной функцией.
Ô
⎛
⎞
Пусть решение системы уравнений (6.29)
вектор-функция с компонентами Ф и Ф
f =
, тогда основные
ò
–
⎜
⎟
Ô
ò
⎝
⎠
уравнения реактора можно записать с помощью линейного оператора
Lf= 0
èëè
ΩΣ ΩΣΩ
∇+ −
ÔÔ Ô
νχ
−
ΩΣ ΩΣΩ
∇+ −
ÔÔ Ô
u
du d r F u u
∫∫
−
ur
u
()
440π
òòò
⎡
⎢
ddu
ΩΣ Σ
⎢
′
Ω
⎣
−
d
∫
′
′′ ′′ ′
′
Ω
u
ò
ÔÔ
ff
∫∫
−∞
u
ò
du d r F u
∫∫
−
ur
ò
′
Ô(, )( ) .
ΩΣ
òò
ss
(, , ) ( , )
υ
st
μ
−
0
⎤
;
(6.43)
−
μ
0
+
′′ ′′ ′
′
Ω
rg
ΩΩμ
⎥
=
ò
ò
⎥
⎦
(, , ) ( , )
s
′
υ
=
0
0
На основании (6.40) можно получить сопряженные уравнения реактора. Вектор-функция f является решением сис-
155
тем основных уравнений реактора, а f* – сопряженных
уравнений реактора.
6.7. Метод последовательных приближений
Решение системы основных уравнений реактора сводится к нахождению собственных функций Ф и Ф
ственных параметров. Не при всех значениях параметров
реактор будет критическим.
Задаются функцией распределения нейтронов источника
т.е. известен вид Ф, Фт. Затем
Qr(),
подставляют в
Qr()
систему основных уравнений реактора. Эта система решается, находим собственные функции Ф и Ф
виде. Новые значения Ф и Ф
точников
новые Ф и Ф
которую подставляют в систему, и находят
Qr(),
, и т.д. Счет продолжают до тех пор, пока от-
ò
подставляют в функцию ис-
ò
уже в другом
ò
ношение двух последовательных решений не будет одинаковым для всех точек активной зоны реактора:
l
Qr
()
тогда
,
−1
l
Qr
()
K
=−lim
ýô
l
Qr
()
.
1
l
Qr
()
è ñîá-
ò
Аналогично решают сопряженные уравнения реактора.
Задают
l* −1
Qr
и т.д. В результате получают
()
Оба значения
l* −1
Qr
, определяют
()
K
*l
Ô
l
*
Qr
K
=−lim
ýô
должны быть одинаковы.
ýô
()
1
l
*
Qr
è
()
Ô
.
*l
ò
, затем находят
Уравнение (6.42) в этом случае можно записать так:
l
ΩΣ Σ ΩΩ
∇+′−
ÔÔ
×
Ô
λ
∞
′′ ′ ′
dF
() (,, ,)
ts
′′
r
(,
Qr Qr=
0
υυ υυ
∫∫
0
′′
,) (,);
υυ
Ω
1ll l
−
=
dQr
(, )/ (, )
υυ
′
Ω
−
lΩ1
×
, (6.44)
156
ãäå
l
Qr d r d
(, ) ( ) ( )( , ) (, , ) .
υυυυυυ υ
Данный метод также называется методом итерации
источников.
∞
1
=
4π
′′′′ ′′′
νχΣΩΩ
∫
00
f
∫
′
Ω
Ô
l
6.8. Диффузионное приближение
Сущность этого метода состоит в том, что система
основных и сопряженных уравнений реактора записывается в виде ряда по сферическим функциям, откуда берутся только первые два члена.
Запишем уравнение (6.3) для стационарного случая:
ΩΩΩ
∇=∑ +′∑
Ô– Ô Ô
Собственные функции Ф, функции F è S запишем в
диффузионном приближении:
ãäå
t
ÔÔÔ
ÔÔ
=
0
Fuu Fuu Fuuμ
du F u u d S r uμ0,, ,, .
∫∫
′
′
u
Ω
r u ru ru,, , , ,ΩΩ
()
druΩΩ
∫
Ω
()
0001
1
=
4
,, ;
()
′
=
()
s
⎡
()+()
01
⎣
π
1
4
ÔÔ
=
1
′
()
π
′
′
3
druΩΩ ΩΩ,, ;
∫
3,, [ , , ].
μ
+
+
()
⎤
⎦
(6.45)
()
′
()
Здесь
′
Fuu dF uu
00
Fuu dF uu
()
100
Подставив эти значения в (6.45), проинтегрируем уравнение по
ем по
, а затем умножим на
Ω
. В результате получим два уравнения:
Ω
=
,,,;Ω
()
′
,,,.Ω
∫
Ω
=
∫
Ω
()
′
μ
()
′
μμ
и снова проинтегриру-
Ω
157
∇+ =
ΣΣ
ÔÔ Ô
10 00
t
1
∇+ =
ÔÔ ÔΣΣ
3
ãäå
Sru d Sr u
,,,.
=
()
ΩΩ
∫
Ω
′′
du F u u S r u,,;
s
∫
′
u
()+()
′′
01 11
ts
du F u u
∫
Ω
()
(6.46)
(6.47)
,,
()
нии кинетические уравнения для тепловой группы нейтронов:
′′ ′
du d F u
∫∫
′
u
Ω
′
ΩΣ
Ô
òò
s
μ
1
⎡
()
⎣
π
⎡
⎣
π
s
′
μ
,
()
0
g
==const μ ;
10
′
3,;
μ
+
3,,ΩΩ
+
()
+
μ
,
()
0
(6.48)
′
⎤
()
⎦
⎤
()
⎦
ãäå
ΩΣ ΩΣ
∇=− +
ÔÔ Ô
òò
t
+
dg
∫
′
Ω
– функция рассеяния считается заданной, т.е.
g()μ
0
1
gg() ,μ
001
Fu Fu Fuμ
()
ÔÔÔ
()
òòò
13=+
[]
4
π
′
=
0001
rrr
001
4
1
=
4
ãäå
ÔÔ
rd r
=
()
òò0
Подставив эти значения в (6.48), сначала проинтегрируем уравнение по
интегрируем по
ΩΩ
∫
Ω
, а затем умножим обе части на
Ω
, в результате получим два уравнения:
Ω
,;
()
ÔÔ
rd r
()
ò1 ò
=
ΩΩ ΩΩ,.
∫
()
Ω
158
∇+ =
ÔÔ Ô
ΣΣ
òòò0100
1
∇+ =
ÔÔ Ô
òòò
3
ΣΣ
01 11
′′
du F u
∫∫
′
u
s
′
Ω
′′
du F u
s
∫
′
u
(6.49)
;
()
(6.50)
,
()
è ïðî-
ãäå
′
Fu duFuu
=
()
00
∫
u
′
,;
()
′
Fu duFuu
=
()
11
∫
u
′
,.
()
Запишем функцию источников (см. (6.29)):
u
ò
Sru
,() ,
()
ν
f
=+
K
ýô
χ
4
π
где введен множитель
ud du
K
⎡
⎢
ΩΣ Σ
∫∫
Ω
– эффективный коэффициент
ýô
ÔÔ
ff
⎢
−∞
⎣
размножения (для стационарной задачи
Подставив значения Ф и Ф
Sru
()
ν
,() .
f
=+
χ
K
ýô
udu
в (6.51), получим
ò
u
ò
⎡
⎢
ÔÔ
ΣΣ
0
ff
∫
⎢
−∞
⎣
K
ýô
ò
ò
ò
= 1).
⎤
⎥
ò0
⎥
⎦
⎤
⎥
(6.51)
⎥
⎦
(6.52)
С учетом (6.52) перепишем (6.46):
∇+ =
++
ΣΣ
ÔÔ Ô
10 00
ts
ν
f
K
ýô
⎡
⎢
udu
()
χ
⎢
−∞
⎣⎣
′′
du F u u
∫
′
u
u
ò
ΣΣ
ÔÔ
0
ff
∫
()
ò
+
,
⎤
⎥
(6.53)
.
ò0
⎥
⎦
В результате получим систему из четырех уравнений
(6.47), (6.49), (6.50) è (6.53):
Lf=
∇+ −
×+
1
3
∇+ −
1
3
ΣΣ
ÔÔ Ô
10 00
t
u
ò
⎡⎡
⎢
ΣΣ
ÔÔ
0
ff
∫
⎢
−∞
⎣
du F u u
∫
′
u
du
ò
∇+ −
ÔÔ
∇+ −
ΣΣ
01 11
ts
∫
Ω
Σ
ò1 ò0
t
ΣΣ
ÔÔ Ô
òò
01 11
∫
′
u
ts
′′
s
()
⎤
⎥
0
;
=
ò0
⎥
⎦
′′
du F u u
′′
ddu F u
Σ
du F u
∫
′
u
()
Ô
()
0
s
′′
ν
f
+×
,()
K
,;ÔÔ Ô
=
=
0
=
() .
u
χ
ýô
0
;
0
(6.54)
159
Граничные условия: интегральный поток нейтронов
из вакуума внутрь активной зоны на поверхности S ïðè
()
Ωn
0<
0
равен нулю:
dru
∫
Ω
ΩΩ Ω
()
n
=Ô,, .0
Это интегральное уравнение можно записать в конкретном виде, если взять интеграл
2
Вместо
ππ
dru dϕθθθ
∫∫
π
0
2
Ô( , , )
ruΩ
ÔÔÔ
r u ru ru,, , ,ΩΩ
()
Ô
,, sincos .Ω
()
подставим значение
1
=
π
4
⎡
()+()
01
⎣
3
=
0
⎤
⎦
и после интегрирования получим
20
() ,
ÔÔ
−=
10
n
0
ãäå
– проекция вектора
()
Ô
10n
на нормаль к поверх-
Ô
1
ности S.
Аналогично для тепловой группы нейтронов получим
() ,
ÔÔ
−=
10
òòn
0
на нормаль к поверх-
Ô
ò1
ãäå
()
Ô
– проекция вектора
ò10n
20
ности S.
Таким образом, в диффузионном приближении граничные условия на поверхности S ïðè
Решением системы
20
() ;
ÔÔ
−=
10
n
0
Lf= 0
записываются так:
Ωn
20
() .
ÔÔ
0<
0
−=
10
òòn
0
(6.55)
являются собственные
функции
Ô
0
Ô
1
f =
Ô
Ô
.
ò
0
ò
1
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]