Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
У плоскости источника плотность тока равна Q/2 â íà-
правлении +х, тогда
Φ
d
⎛
lim lim
−
⎜
→→
00
xx
⎝
⎞
D
=+
⎟
dx
⎠
=+
DB
L
1
−−−
/()/
xL ax L
⎡
DB
1
()
ee
⎣
L
222aLQ/
−
e
=
2
⎤
=
⎦
,
отсюда
B
=
QL
De
21
−
+
()
aL
2
.
/
Подставим В в выражение для потока и
/()/
xL ax L
Φ() .
x
=
При большом а значения
лучаем решение (3.29).
После умножения на
−−−
ee
QL
D
2
1
−2aL/
e
aL/
(числитель и знаменатель) и
e
2
−
/
aL
−
2
e
+
−−()/2ax L
è
e
ìàëû, è ïî-
введения гиперболических функций в среде конечной толщины:
sh ( )x
1
=−
2
xx
−
ee
;
ch ( )x
1
xx
−
ee
=−
2
запишем
−
ax
⎡
⎢
L
⎣
aL
⎤
⎥
⎦
(3.31)
.x
sh
Φ()
=
QL
2
D
ch( / )
Данное решение позволяет найти распределение плотности нейтронов (потока) от плоского источника в однородной среде конечной толщины.
Убывание плотности потока нейтронов определяется
параметром а/L. При больших значениях а/L распределение плотности потока нейтронов мало отличается от распределения в бесконечной среде. Если толщина среды по
меньшей мере втрое больше диффузионной длины, то
среду можно считать бесконечной (т.е. нет утечки нейтро-
71
нов, при меньших толщинах будет более быстрый спад
плотности потока нейтронов к границе).
3.8. Линейный источник
Изотропный источник, расположенный на оси z цилин-
дрической системы координат, испускает Q нейтронов с
единицы длины в единицу времени, т.е. имеем бесконечную линию источников.
Äëÿ r > 0 уравнение диффузии записывается в цилиндрических координатах, и поскольку среда изотропна, то
Ф будет функцией только расстояния от источника:
2
dr
ΦΦ
() ()
22
dr
dr
11
r
dr
r
Φ
() .+−=
L
0
Если ввести новую переменную
r
, то данное урав-
x
=
L
нение сведется к виду
2
d
dx
1
ϕϕ
2
xddx
ϕ+−=,
0
èëè
2
d
2
x
dx
d
ϕϕ
x
2
dx
2
x
ϕ+−=,
0
а это уравнение Бесселя. Общим решением данного урав-
нения (n = 0) является функция
K , I
0
0
K (x)
4
2
0
Рис. 3.12. Графики функ-
0
öèé K
2
(х) è I0(x)
0
I (x)
0
4
x
ϕ() () ();xAIxBKx=+
Φ() ( / ) ( / ),rAIrLBKrL=+
где функции
00
00
è
I
0
имеют вид,
K
0
показанный на рис. 3.12.
Поскольку плотность потока
должна быть конечной, а
Ix
()
0
увеличивается при возрастании х,
что противоречит физике процесса, то А = 0. Значение В находим из
условий нормирования источника:
72
lim ( ) lim .
rI r Q
22ππ
rr
→→
00
==
DB
L
r
⎛
⎞
K
1
⎜
⎝
r
⎟
L
⎠
Òàê êàê
r
⎛
lim ,
rK
r
→
0
⎞
=
1
⎜
⎟
L
⎝
⎠
L
òî
Q
B
.
D=2π
Распределение плотности потока от изотропного ли-
нейного источника в бесконечной среде
Φ() .r
Q
=
D
π
2
r
⎛
⎞
K
(3.32)
0
⎜
⎟
L
⎝
⎠
3.9. Длина диффузии, ее физический смысл
Понятие длины диффузии широко используется в теории ядерных реакторов. Как следует из формулы (3.27),
по мере удаления от источника плотность потока нейтронов уменьшается. В процессе диффузии нейтроны будут
поглощаться на различных расстояниях от него. Определим средний квадрат смещения нейтрона от точечного источника до точки поглощения:
∞
22
4
()
ππΣΦ
rr dr
∫
2
0
r
=
ãäå
42πrdr
ΣΦ
– число нейтронов, поглощенных в элемен-
a
те объема. С учетом (3.27)
∞
rdr
∫
2
0
r
∞
rdr
∫
0
∞
4
∫
0
3
e
−
e
a
2
ΣΦ
rdr
a
rL
−
/
6==
rL
/
,
2
,
L
ò.å.
22
Lr
, ãäå L – длина диффузии;
6= /
2
– средний ква-
r
драт смещения нейтрона от точки рождения до точки
поглощения.
73
Если рассмотреть распределение плотности потока нейтронов от плоского источника, то длина диффузии – это
расстояние, на котором плотность потока падает в е раз.
Поскольку утечка нейтронов зависит от среднего смещения,
которое испытывают нейтроны до поглощения, то длина
диффузии определяет критические размеры реактора.
3.10. Метод функций Грина. Принцип суперпозиции
Зная распределение нейтронов в бесконечной среде для
точечного, плоского и линейного источников, можно определить стационарную плотность потока для любого распределения источников в бесконечной среде. Рассмот рим
случай двух точечных источников мощностью Q
расположенных в точках пространства
потока нейтронов в точке
êîì â
(і = 1 или 2), можно определить из выражения (3.28):
r
i
Φ
, вызванная точечным источни-
r
rr L
rQ
() .
=
ii
−−
e
Dr r
4π
è
r
r
1
2
/
i
−
i
Если взаимодействие между нейтронами отсутствует, а
наличие точечного источника в среде не меняет ее диффузионных свойств, то распределение нейтронов от одного
источника не будет зависеть от влияния другого источника. Следовательно, суммарная плотность потока нейтронов в точке
определяется суммой плотности потоков от
r
каждого из них:
ΦΦΦ() ( ) ( ).
rrr=+
12
Поскольку рассуждения не изменятся для трех, четырех или любого другого числа точечных источников, то
для п точечных источников мощностью
помещенных в точки
(і = 1, 2, 3, …, n) бесконечной сре-
r
i
ды, плотность потока нейтронов в точке
(і = 1, 2, 3, …, n),
Q
i
îò âñåõ n источ-
r
ников определяется суммой
rr L
/
−−
Φ()
r
n
Q
=
∑
41π
i
=
e
i
Dr r
i
.
′
−
i
è Q2,
1
. Плотность
74
Этот результат, полученный для дискретного распреде-
ления источников, можно обобщить на непрерывное распределение источников. Если
тронов, образованных в единицу времени в объеме
около точки
′
, òî
r
Φ(, )
′′
rr dV
Плотность потока нейтронов в точке
=
Sr dV()
′
()e
Sr
4π
′′
– полное число ней-
/
rr L
−−
i
(3.33)
Dr r
.
−
i
, обусловленная
r
dV
′
всеми источниками, получается интегрированием выражения (3.33) по всему пространству:
ΦΦ() (, )
rrrdV
=
∫∫
′′
′
()e
Sr
=
Dr r
4π
/
rr L
−−
i
′
−
i
′
. (3.34)
dV
Выражение
rr L
/
−−
Grr
(, )
′
=
Sr
()e
′
4π
Dr r
−
i
i
называется функцией влияния èëè функцией Грина (либо
точечным диффузионным ядром). Это решение рассма-
триваемой задачи для простого источника. Функция
′
Sr()
может быть функцией распределения либо объемного,
либо поверхностного источника.
3.11. Интегральное уравнение переноса
В § 3.3 было выведено интегродифференциальное уравнение (3.11), описывающее распределение нейтронов при
достаточно общих предположениях относительно свойств
среды. Это уравнение можно заменить интегральным,
если предположить, что: 1) среда однородна и представляет собой выпуклое тело; 2) рассеяние в среде изотропно;
3) нейтроны в источнике распределены изо тропно.
Рассмотрим круг единичной площадки вблизи точки
и найдем число нейтронов, пересекающих его в единицу
75
r
−RΩ
Ω’
r ’= r – RΩ
r
dΩ
Ω
Рис. 3.13. Схема облучения площадки с элемента
сферической поверхности
времени в направлениях около нормали к плотности круга в элементе телесного угла
′
на поверхности радиуса R выделим элемент объема
r
dV R dRd
2
′
=
и найдем число нейтронов, которые прой-
Ω
дут выделенную площадку в направлении
(рис. 3.13). Вблизи точки
dΩ
из данного
Ω
объема.
Число актов рассеяния в единицу времени в элементе
объема dV′ равно
ãäå
ΦΩΩ(,,)
rR t−
направление
′
′
в момент времени t.
Ω
ΣΦ ΩΩ Ω
rR tRdRd(,,) ,
−
s
– поток нейтронов в точке
2
′
(3.35)
′
, имеющий
r
Из этого количества рассеянных нейтронов до площадки
может дойти только та часть, которая с учетом изотропности рассеяния равна
14
/( )πR
Количество нейтронов, имевших направление
2
(отношение площадей).
′
, ко торые
Ω
могут пройти площадку, составит
1
2
4
πR
Если проинтегрировать данное выражение по
ΣΦ ΩΩ Ω(,,)
−
rR tRdRd
s
2
′
.
′
, òî ïî-
Ω
лучим общее число рассеянных со всех направлений нейтронов, которые могут пройти площадку:
1
∫
2
4
ππR
′
=−
4
Ω
1
ΣΦ Ω
s
2
R
(
rR
ΣΦ ΩΩ ΩΩ
(,,)
−
rR tRdRdd
s
2
,, ) ( , ) ,tRdRd
ΩΣΦ Ω=
2
′′
s
2
′
rtRdRd
1
4
π
R
=
2
(3.36)
76
ãäå
ΦΩ ΦΩΩΩ
(,)(,,).
rRt rR td−=−
∫
′
Ω
′′
Аналогично можно получить число нейтронов, которые
могут пройти сквозь выбранную площадку, от непрерывно
и изотропно распределенных нейтронов источника:
1
Sr tRdRd(,) .
2
4
πR
2
′
(3.37)
Ω
Если выражения (3.36) и (3.37) умножить на вероятность того, что нейтроны на пути от dV′ до выбранной
площадки не испытают ни одного столкновения
e
−ΣtR
, и
проинтегрировать по R (в конечной среде R изменяется от
0 до граничного R, в бесконечной среде R изменяется от 0
), то получим общее число нейтронов, которые про-
äî
∞
никают через выбранную единичную площадку в единицу
времени в направлении
ΦΩ ΣΦ
(, ,) ( ,) ( ,) .
rt rtSrt
1
=
4
π
:
Ω
R
Σ
−
2
t
RdRd
⎡
∫
⎣
R
′
s
+
e
⎤
′
⎦
Ω
2
R
Введя замену
rR r−=
Ω
2
RdRd
′
;
22
R
Ω
=
rr
dV
−
′
′
и интегрируя по
ΦΣΦ
(,) ( ) ( )
rt r Sr
, находим
Ω
⎡
=
∫
⎣
′
V
s
′
+
⎤
′
⎦
Σ
−−
t
e
π
4
rr
rr
−
′
′
. (3.38)
dV
2
′
Таким образом, мы получили искомое интегральное урав-
нение Пайерлса. Оно не содержит координаты направления
и во многих случаях решается легче, чем уравнение пере-
Ω
носа. Величина
Σtrr
′
называется оптической толщиной.
−
77
Замечание. При выводе уравнения не учитывалось
′
до выбран-
время прохождения участка R от объема
ной площадки, считалось, что
допущение 3) в § 3.2).
−−
Σ
Величина
Krr
(, )
′
=
e
42π
t
−
rr
рального уравнения. Функция
′
ΦΦ(, /) (,)
rt R v rt
′
rr
называется ядром интег-
′
Krr(, )
dV
′
−=
′
симметрична отно-
(ñì.
сительно координат и отражает тот факт, что не имеют
значения как точки расположения источника, так и точки
определение потока нейтронов (соответственно в точках
′
è r èëè r è
r
′
). В уравнении Пайерлса симметричность
r
ядра относительно координат определяется свойством
взаимности: поток нейтронов в изотропной среде в точке
от единичного изотропного источника в объеме блока в
r
точке
помещен в точке
Е = 0,0253 эВ мощностью 10 нейтр/с. Определить поток нейтронов
на расстоянии 100 см от источника, предположив, что рассеяние
изотропное.
′
такой же, как и поток в точке
r
.
r
Упражнение
В углеродной среде помещен точечный источник нейтронов с
′
, если источник
r
78
ГЛАВА 4
ЗАМЕДЛЕНИЕ НЕЙТРОНОВ
4.1. Изменение энергии нейтронов
при взаимодействии с ядрами
Быстрые нейтроны, получающиеся в цепной реакции
деления, имеют среднюю энергию 2 МэВ, которую они теряют в процессе рассеяния. Иначе говоря, в процессе замедления до тепловых энергий нейтрон проходит определенный путь (длину замедления), который в какой-то мере
характеризует размеры реактора: чем меньше длина замедления, тем меньше его размеры. На энергетическое распределение замедляющихся нейтронов оказывают влияние неупругое и упругое рассеяния. Большим сечением неупругого
рассеяния обладают тяжелые ядра, и они могут служить
хорошим замедлителем для нейтронов, энергия которых
выше порога неупругого рассеяния. Взаимо действие нейтронов с такими ядрами способно привести к замедлению,
но из-за ограничения энергии замедленных нейтронов порогом реакции неупругого рассеяния такие материалы
нельзя считать удовлетворительными замед лителями.
Процессы упругого рассеяния не имеют подобного недостатка. Упругое соударение нейтрона с ядром независимо от энергии падающего нейтрона может привести к
уменьшению энергии последнего. Потеря энергии зависит
от энергии падающего нейтрона и массы бомбардируемого ядра. Наиболее эффективными замедлителями в процессах упругого рассеяния являются легкие ядра.
Для изучения процессов замедления рассмотрим бесконечную однородную среду с постоянными и равномерно
распределенными источниками нейтронов. В силу этого
число нейтронов в единице телесного угла и в единице объема, движущихся в любом данном направлении, оди наково.
79
а
л
v
2
л
v
1
л
v
я
2
Рис. 4.1. Схема столкновения нейтрона с ядром:
а – лабораторная система; б – система центра инерции
ц
v
1
v
б
ц
v
2
ц
v
я
θ
ц
я
2
1
Будем полагать, что замедление быстрых нейтронов
обусловлено упругим рассеянием на ядрах замедлителя.
Такие столкновения можно рассматривать с помощью методов классической механики: нейтрон и ядро – идеально
упругие шарики. Поскольку скорости теплового движения ядер малы по сравнению со скоростями замедляющихся нейтронов, считаем ядра покоящимися.
Для описания используем две системы отсчета:
лабораторную л (ядро неподвижно);1)
центра инерции (центра масс) ц (неподвижен центр 2)
масс системы ядро + нейтрон).
Будем считать ядро свободным (без учета химических
связей). Установим соотношение между первоначальной и
конечной энергиями нейтрона, определим потерю энергии
нейтрона при соударении с ядром. На рис. 4.1 приведена
схема столкновения нейтрона с ядром в лабораторной системе отсчета и в системе центра инерции. В по следней покоящимся является центр инерции, и ядро движется к нему со
скоростью центра инерции в лабораторной системе отсчета.
Введем обозначения:
ус-вектор нейтрона;
– скорость нейтрона;
v
– радиус-вектор ядра;
r
ÿ
– радиус-вектор центра инерции;
r
m
– скорость ядра;
v
ÿ
– ðà äè-
r
– скорость
v
m
центра инерции; индексами 1, 2, л, ц обозначим величины соответственно до соударений и после них в системах
л и ц.
Координату центра инерции можно записать так:
rrAr
=⋅+
()
m
1
1
ÿ
,
A
+
1
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]