Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
ãäå А – массовое число ядра; 1 – массовое число ней трона.
Дифференцируя это равенство по времени, получаем
связь между скоростями нейтрона, ядра и центра инер ции:
dr
m
=
dt A
⎛
1
dr
⎜
⎜
+
1
dt
⎝
⎞
dr
ÿ
+
A
(4.1)
.
⎟
⎟
dt
⎠
В системе л скорость ядра до столкновения
, ïî-
v
0
=
ÿö1
этому выражение (4.1) запишется так:
ëë
v
=
m
A
(4.2)
v
.
1
+11
Очевидно, скорость центра инерции в системе л до и
после столкновения не изменится, а потому индексы 1 и 2
опускаем.
Поскольку система центра инерции движется относительно лабораторной системы со скоростью центра инерции в системе л, имеем
öëë
vvv
=−.
1
m
1
С учетом (4.2)
v
A
öë
=
1
A
(4.3)
v
.
1
1
+
В системе ц скорость центра инерции равна нулю,
тогда
ö
ö
vАv
+=.
11
(4.4)
0
ÿ
С учетом (4.3) находим скорость ядра в системе ц до
столкновения:
öë
v
ÿ
1
1
(4.5)
v
.
1
A
1=−+
На основании закона сохранения импульса запишем
ö
vАv vАv
1122
ööÿö
+=+=.
ÿ
(4.6)
0
81
Согласно закону сохранения энергии
2
ö
vАv vАv
+=+
1
2
ööÿö
1
ÿ
2
2
2
2
èëè
2
() ( ) () ( ).vАv vАv
+=+
1
2
ööÿö
1
ÿ
2
2
2ö
(4.7)
2
Учитывая (4.3) – (4.5) из уравнений (4.6) и (4.7), имеем
öö ë
vv
==
21
A
1
A
+
ö
v
; vv
1
==+.
ÿ
21
1
öë
ÿ
A
(4.8)
v
1
1
Итак, модули скоростей в системе ц нейтрона и ядра
остаются неизменными. Из (4.6) следует, что скорости
нейтрона и ядра противонаправлены до и после столкновения. После столкновения с ядром в системе ц нейтрон
уходит под углом
к первоначальному направлению, ядро
θ
отдачи должно двигаться в противоположном направлении (см. рис. 4.1).
Полученные результаты необходимо перевести в систему л. Скорость нейтрона в системе л после столкновения
ëëö
vvv
=−.
m2
(4.9)
2
С учетом (4.2)
v
1
ëëö
=
21
A
+
vv
1
(4.10)
+ .
2
Скорость нейтрона в системе л после соударения направлена под углом
к первоначальному направлению
ψ
(ñì. ðèñ. 4.1).
Из параллелограмма скоростей (рис. 4.2) найдем модуль скорости нейтрона в системе л после соударения:
⎛
2
=
v
2
⎜
⎝
⎞
1
+
A
⎛
+
⎟
⎜
11
⎠
⎝
22
(c
vA A
1
=
2
v
2
Аv
⎞
1
+
⎟
+
A
⎠
2
+
oos )
θ++1
()
2
1
A
2
2
Аv
1
cos
2
1
+
()
A
.
=
θ
(4.11)
Индекс л опущен, так как в дальнейшем все величины
относятся только к системе л.
82
ц
v =
2
Av
A+1
л
1
л
v
2
θ
Рис. 4.2. Параллелограмм скоростей после
соударения
Если кинетическая энергия равна
íèÿ
ãäå
()1/2 mv
E
1
2
после него, то
2
E
E
,
– энергия нейтрона соответственно до и после
E
2
2
AA
2
=
1
21
++
+
()
A
cos
1
v =
θ
2
л
v
1
m
A+1
()1/2 mv
,
2
до рассея-
1
столкновения.
2
AA1
−
Введем
α=
⎛
⎜
⎝
Максимальная величина
íèþ
, это минимальная потеря энергии, т.е. нейтрон
θ=0
не теряет своей энергии при столкновении. При
при «лобовом ударе»,
⎞
, тогда
⎟
1
+
⎠
E
1
2
E
1
11=++−
()()cos.ααθ
[]
2
EE
EE
/ =α
21
соответствует значе-
/
21
. Минимальное значение,
(4.12)
, ò.å.
θπ=
до которого может уменьшиться энергия нейтрона в результате одного акта упругого рассеяния, равно
αE
.
1
Максимальная относительная потеря энергии в одном
акте рассеяния составит
EE
12
E
1−=−α,
1
а максимально возможная абсолютная потеря энергии –
E11()−α
.
Для водорода
, т.е. нейтрон может потерять всю
α=0
свою кинетическую энергию в одном акте столкновения
83
с ядром водорода. Если α разложить в ряд по степеням
1/А, òî
α= − + − +1
4812
23
A
AA
... .
Ïðè А > 50
α≈ −1
A
,
()14−≈α
.
A
4
Видно, что чем меньше А, тем больше будет относительная потеря энергии, т.е. замедление эффективно на ядрах
с малым А. Ïðè
A >−<200 1 2 ()%α
, поэтому в ядерных
реакторах уран как замедлитель можно не учитывать.
4.2. Закон рассеяния нейтронов
Распределение нейтронов по энергиям можно найти, задавшись законом рассеяния. Рассеяние нейтронов в системе
центра инерции сферически симметрично (изотропно).
Такое утверждение справедливо при энергиях приблизи-
тельно до 105 эВ. При больших энергиях нейтронов условие
изотропности рассеяния нарушается – угловое распределение оказывается несколько вытянутым (рассеяние вперед).
Вероятность рассеяния нейтронов в элемент телесного
угла Р(θ) dθ означает вероятность того, что нейтрон с начальной энергией E
гией в интервале от E
вероятность:
после рассеяния будет обладать энер-
1
äî E2 + dE2 (Р(E2) dE2). Найдем эту
2
dr
dθ
r
θ
Рис. 4.3. Рассеяние в эле мент
dθ в системе центра инер ции
84
R
Pd
() ,θθ
ãäå
Rr= sin θ
rdrd==sin θθ
Pd
()
θθ
==
1
sin ,
=
2
Rdr
π
2
=
2
r
π
4
(рис. 4.3);
. Тогда
d
sin
πθθ
2
π
4
d
θθ
(4.13)
dr =
à
d
E
Èç
E
dE
d
E
21
2
PE dE P
1
2
1
11=+
⎡
()
⎣
2
1θαθ=− −()sin
=θ
22
ααθcos
+−
()
.
θ
(4.14)
dE() () .
dE
2
2
найдем выражение
⎤
⎦
Подставим его в (4.14):
dE
PE dE
()
22
2
E
()
1=−−α
1
(4.15)
,
т.е. вероятность того, что энергия нейтрона после рассеяния будет в фиксированном интервале и не зависит от конечной энергии, а определяется максимально возможной
убылью энергии при одном столкновении. Проинте гри ровав (4.15) во всей области возможных значений энергии
(îò Е1 äî αЕ1), получим
Е
2
E
αα
1
PE dE
()
∫∫
E
1
=−
22
1
1
E
()
1
E
1
1
−
dE
α
E
1
,
=
2
т.е. это достоверное событие.
Найдем косинус угла рассеяния в лабораторной системе отсчета. Из параллелограмма скоростей (см. рис. 4.2)
имеем
ëö
vvv
cos cos cos .ψθ θ=+=++
2
Av
m2
11
11
A
v
A
+
С учетом (4.11) имеем
cos
θ
+
1
.ψ
cos
++
21
θ
Äëÿ
A 1
cos
A
=
2
AA
cos cos .ψθ=
85
Во многих задачах важен средний косинус угла рас сеяния:
cos
A
θ
1
+
cos
21
++
+
1
cos
θ
+
1
1
2
θ
()
P
θ
1
sin
d
θθ
2
d
cos .
θ
θ
=
≈
3
=
2
A
==
cos
=
+
∫
−
ψ
∫
1
1
=
∫
2
AA
cos
A
θ
2
AA
++
21
A
cos
θ
2
++
AA
cos
21
Для механической смеси или химического соединения
(cos ),ψψ
∑
cos
i
=
∑
ãäå
(cos )ψ
менте;
Средний косинус угла рассеяния
– средний косинус угла рассеяния на i-ì ýëå-
i
– сечение рассеяния на i-м элементе.
Σ
si
Σ
isi
Σ
si
i
cos ψμ=
не равен
0
нулю, поэтому рассеяние в лабораторной системе координат не будет изотропным, оно направлено вперед, т.е. нейтроны стремятся продолжать движение в первоначальном
направлении. Этот эффект значителен для легких ядер
(А мало). Для тяжелых ядер
()A 10μ
близко к нулю, т.е.
рассеяние изотропно в лабораторной системе.
Зная закон рассеяния нейтронов, можно найти функ-
цию рассеяния
′
рости с
íà vдля нейтрона при столкновении (Прил. 2).
v
ΩΩ
′′
Fvv(, ,,)
– вероятность изменения ско-
4.3. Среднелогарифмический декремент энергии
Среднелогарифмический декремент энергии определя-
åòñÿ òàê:
E
α
1
E
1
ln ( )
PE dE
2
()
22
22
∫
E
1
α
E
E
1
PE dE
∫
E
1
E
ξ
1
== =
ln
E
2
86
E
1
EEdE
1
E
221
1
2
и учитывая
x
1
PE dE
() ,
22
1
(
1 −−∫αα)
1
=
.
Введя замену
=− ln
E
=
1
α
E
E
E
E
∫
получаем
α
1
ξ
=
1
ln ln ,xdx
∫
α
−
1
=+
α
1
1
+
(4.16)
α
α
èëè
ξ= +
()
1
2
A
−−
A
2
1
A
1
ln .
A
+
1
(4.17)
Это означает, что среднелогарифмическая потеря энергии на одно столкновение
гии. Приблизительное значение
не зависит от начальной энер-
ξ
:
ξ
2
ξ=
.
2
+
A
3
Для водорода
ξ=1
.
Нейтрон в среднем теряет при столкновении одну и ту
же долю своей начальной энергии для данного типа ядер.
Доля уменьшается с возрастанием массы ядра.
Оценим число соударений n, необходимых для того, чтобы нейтрон с энергией 2 МэВ замедлился до тепло вой:
E
0
ln
n
==
ln( / , ) ,
E
6
210 0025 182
⋅
=
.
ξξξ
87
Таблица 4.1. Число соударений, необходимых
для замедления нейтронов до тепловой энергии
Замедлитель Массовое число
H2O 18 0,924 19,2
O 20 0,518 35
D
2
Be 9 0,207 87
C 12 0,158 114
Na 23 0,0845 213
238
U 238 0,00838 2172
H
2
1 1,000 18
ξ
n
Полученные значения для различных ядер приведены
в табл. 4.1, из которой видно, что для материалов с более
легкими ядрами среднелогарифмический декремент энергии выше.
4.4. Замедляющая способность
и коэффициент замедления
Среднелогарифмический декремент энергии характеризует только потерю энергии при столкновениях, поэтому для характеристики замедлителя вводят понятие за-
медляющей способности, равной произведению
величина определяет не только потерю энергии, но и вероятность этой потери (
зависит от энергии, но не учиты-
ξΣ
s
вает, что вещество может быть и поглотителем нейтронов).
Любое вещество, значительно поглощающее нейтроны,
оказывается бесполезным в качестве замедлителя, т.е. замедлитель должен обладать малым сечением поглощения
. Для более полной характеристики замедлителя вводят
Σ
a
понятие коэффициента замедления, численно равного от-
ξΣ
s
ношению
. В табл. 4.2 приведены значения коэффици-
Σ
a
ента замедления для некоторых материалов.
Замедляющая способность определяет размеры реактора. Чем больше величина
тем меньше размеры ре-
ξΣs,
актора.
ξΣ
. Ýòà
s
88
Таблица 4.2. Значения коэффициента замедления
Замедлитель Плотность, г ⋅ ñì
H2O 1,00 1,35 71
D
O (чистая) 1,10 0,176 5670
2
D2O (99,8 ìîë%) 1,10 0,178 2540
Графит 1,60 0,060 192
Be 1,85 0,158 143
для различных материалов
–1
, ñì
ξΣ
s
–1
ξΣ Σ
sa
Чем больше коэффициент замедления, тем с меньшим
обогащением можно использовать топливо для данного
реактора при прочих равных условиях.
4.5. Летаргия
При решении многих задач энергию нейтронов удобно
выражать в логарифмическом безразмерном виде через
величину, называемую летаргией:
E
u
0
===ln ; ln ; ln ,
u
E
E
0
1
u
E
1
E
2
0
E
2
ãäå Е0 – начальная энергия нейтронов (нейтронов деления).
В начальный момент для нейтронов источника (деления) летаргия равна нулю, а по мере замедления ее величина возрастает.
Изменение летаргии в результате столкновения
E
uu
−=ln ,
21
ãäå
– летаргия после столкновения;
u
2
столкновения;
– энергия до столкновения; Е2 – энергия
E
1
1
E
2
– летаргия до
u
1
после столкновения.
E
1
Поскольку
ξ=ln ,
то среднелогарифмический декре-
E
2
мент энергии ξ можно рассматривать как среднее изменение летаргии нейтрона при одном столкновении. Для сферически симметричного рассеяния данная величина не
89
E
E
0
ξ
u = 0
0
Рис. 4.4. Потеря энергии при столк но вении
u
зависит от энергии нейтрона. Следовательно, независимо
от энергии нейтроны для увеличения своей летаргии на
заданную величину должны испытывать в среднем одно и
то же количество столкновений, поэтому и удобно использовать летаргию при решении многих задач. Значение
энергии определяется из выражения
ÔÔ() ( )udu EdE=−
– поток в зависимости от летаргии.
Ô( )u
получаем
EE
ÔÔ() () / ,u E dE du=−
e.
0
u=−
С учетом
ãäå
Переход от переменной энергии к переменной летар-
гии можно выполнить следующей зависимостью:
Ф(u) = ЕÔ(Е). (4.18)
Для функции источников эта зависимость принимает вид
Su ESE() ( ).=
Аналогично можно выразить и другие функции. На
рис. 4.4 приведен график изменения энергии от летаргии при замедлении со среднелогарифмической потерей
энергии
.
ξ
На основании полученных общих законов рассеяния
рас смотрим замедление нейтронов в некоторых средах,
ха рактерных для ядерных реакторов.
4.6. Замедление в водородных непоглощающих средах
Рассмотрим замедление в водороде при отсутствии поглощения. При одном соударении с ядром водорода нейтрон может потерять полностью свою энергию. Это и упро-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]