Физика ядерных реакторов. Учебное пособие

EE

−

ãäå

x

=

0

∑=∑+∑

;

2Ã

rasr

– сечение радиационного за-

хвата и упругого рассеяния с образованием составного ядра.

Рассмотрев замедление в средах при наличии поглощения, мы получили выражение для вероятности избежания резонансного захвата (4.42):

ϕ

=−

exp

⎢

∫∫

⎢

⎣

⎡

=−

exp

⎢

∫

()

ξ

⎢

⎣

⎡

∑

a

ξξ

∑+∑

()

as

∑

ρσ

as

∑+∑ ∑

ass s

⎡

=−

exp ( )

⎢ ⎢

⎣

⎤

dE

=−

⎥

E

⎥

⎦ ⎤

dE

=−

⎥

E

⎥

⎦

ρ

∫

∑

ξ

s

dE

E

exp

σ

⎡ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎢ ⎢

⎣

E

a

∑∑

∑+∑ ∑

()

ass

ρ

∫∫

∑∑∑+∑

ξ

∑

sp

∑

()

E

as

dE

E

σ

as

()

as

dE

⎤

.

⎥ ⎥

⎦

Введем обозначение для эффективного резонансного интервала:

Вычислим

ýô

dE

=

σ ()

∫

E

J

для одного изолированного уровня, учи-

J

ýô

∑

sp

E

a

(8.5)

.

E

∑

()

тывая, что

Пусть

J

∑=∑+∑+∑() .E



dE

σσ()

E

тогда

0

a

ΔEE

ýô

=

ýô

∫∫

∑

E

∑

sp a sr

11

≅

EE

0

1

sp

≅

EE

()

0

ïðè

dE E

EE E≅∈0Δ

∑

()

sp

E

()

a

ýô

.

E

è

⎤

=

⎥ ⎥⎥

⎦

⎤

=

⎥ ⎥

⎦

Перейдем от переменной Е к переменной х

Учитываем, что в интервале

D

−≤ −

EE

()

22

⎛

x

=

⎜ ⎝

≤

0

радиационного захвата представляется формулой

EE

−

D

сечение

2Ã/

⎞

0

⎟ ⎠

241

.

Ã

γ

σ

0

Ã

=

J

ýô

E

0

отсюда следует, что

σ

Ex() ,=

a

D

Ã

∫∫

2

D

–

Ã

0

+

1

dx

2

+

1

x

Ã

γ

2

Ã

∑

sp

∑+ +

ρσ

1

sp a

()

,

2

x

Ã

1

γ0

π

DD–

sp

– сечение потенциального рас-

∫

1

Ã

dx

,

2

β

x

++

ãäå

β

=

ρσ σ

00

=

∑

σ

sp sp

Ã

πσ

J

=

ýô

2

E

0

∑

;

σ

=

sp

ρ

сеяния смеси изотопов, приходящееся на одно ядро резонансного поглотителя.

Обозначим

Ã

πσ

γ0

J

=

R

(8.6)

.

E

2

0

Действительно, выражение

Ã

du u

σσ

() ()=≅

aa

=

dE

∫∫∫

E

Ã

D

Г

σπσ

0

γ

E

2

0

dx

∫

1

+

−

Ã

D

имеет смысл резонансного интеграла, если

Введем новую переменную

σ

0

E

2

x

γ

Ã

E

0

Ã

00

≅

2

E

0

yx=

+1 β

1

dE

γ

= J

x

+

1

R

D  Ã

и с учетом

=

2

.

ïî-

J

ýô

лучим

242

Ã

+

β

1

J

ýô

J

=

1

D

1

R

+

β

∫

π

Ã

–

D

dy

.

2

y

1

+

β

1

Здесь главный вклад в интеграл дают значения т.е. значения энергии порядка

()EE−<+

0

1Ã β

. Именно

y ≤ 1

,

в данном интервале энергии взаимодействие нейтронов с ядром в основном резонансное. Поэтому целесообразно принять

ΔE

ýô

Ã=+1 β.

Резонанс считается изолированным, если выполняется условие

D

E

Δ

ýô

D

=

Г

 .

+11β

Тогда с достаточной степенью точности можно провести интегрирование в интервале от

J

ýô

JJJ

=

1

∞

dy

1

RRR

∫

π

+

β

1

−∞

=

2

y

+

1

−∞ + ∞ äî

=

+

βρσ

.

,

0

1

+

∑

sp

т.е. эффективный резонансный интеграл меньше резонансного интеграла

JJ

()

ýô

. В этом проявляется эффект са-

<

R

моэкранировки ядер резонансного поглотителя (или гомогенный блок-эффект).

В выражении

величина

J

du u

=

ýô

∫∫

∑

sp

uu()

∑

()Ô

=

∑

σ

()

asp

∑

u

()

dE

=

σ

E

описывает в вигнеровском прибли-

E

()

a

∑

()

sp

E

жении поток нейтронов в окрестности резонанса.

На рис. 8.6 данная величина изображена сплошной линией, а штриховой нанесена естественная брейт-вигне ровская линия сечения резонансного захвата

. Максимальное

σ

а

значение сечения захвата приходится на область, где поток нейтронов испытывает максимальную «депрессию» (блок-эффект), поэтому истинное поглощение нейтронов в условиях самоэкранировки меньше и

JJ

ýô<R

. Íî åñëè

243

Φ; σ

0

Рис. 8.6. Распределение потока

ней тронов в области резонанса

и резонансный поглотитель постепенно разбавлять

ρ→0

E

0

не поглощающими нейтроны ядрами, так что

JJ

R

êà

Ô( )u

. Это объясняется уменьшением депрессии пото-

→

ýô

с ростом разбавления.

u

, òî

β→0

При наличии различных хорошо разрешенных резо-

нансов

Эффективный резонансный интеграл

висит от концентрации поглотителя

надо просуммировать по данным уровням:

J

ýô

i

J

∑

R

+

i

J

ýô

i

J

;;.

R

β

i

ii

Ã

πσ

0

γ

==

=

E12

0

ρσ

β

i

∑

J

()

ýô

. Однако можно

ρ

i

0

sp

сложно за-

описать эту зависимость в более явном виде, для чего разобьем условно все резонансы поглотителя на два типа: «сильные» резонансы, для которых

которых

. Тогда можно записать

βi 1

ii

JJ

≅

ýô R

äëÿ βi 1;

, и «слабые», для

βi 1

244

i

J

ýô

R

≅=∑⋅

β

i

JJ

=+

ýô

∑

βρ1

i

ρ

i

R

i

JJ

i

sp

i

σ

0

∑

sp

β01

äëÿ βi 1;

i

J

R

∑

i

σ

i

(8.7)

.

Введя обозначения

γδ

==

i

J

;

∑∑

R

ββ

1

ii

J

R

1

σ

i

;

δ

=

i

0

β

∑

i

J

R

,

i

1

σ

0

получим

∑

sp

J

ýô

=+

γ

, (8.8)

δ

ρ

где первое слагаемое дает неблокированную часть резонансного поглощения, второе – блокированную.

∑

Отношение

sp

ρ

имеет смысл сечения потенциаль-

σ

=

sp

ного рассеяния смеси, приходящегося на одно ядро резонансного поглотителя и определяет степень его «разбавления» замедлителем. Например, для урана (без за медлителя)

σσ

=≅10 áàðí

sp sp

обычно характеризуется значениями

. Разбавление замедлителем

порядка тысяч

σ

sp

áàðí íà îäíî ÿäðî.

8.8. Приближения узкого и широкого резонансов

Подойдем к определению вероятности избежания резонансного захвата с несколько иных позиций.

Пусть массовым числом А, резонанс которого с параметрами Е

σγ0, Ã Ã Ã

чие ядра смеси изотопов по отношению к нему являются замедлителями, причем

– плотность ядер резонансного поглотителя с

ρ

=+

можно считать изолированным. Тогда про-

ï

çàì

∑=∑−

sspsp

ρσ

.

0

,

Здесь

∑=∑

çàì

∑

sspi

, где суммирование ведется по всем

i

изотопам смеси, кроме резонансного поглотителя. Если справедливо неравенство

ρσ

EE

111() ,−=+=+

αβ

 Δ

0

i

ÃÃ

ýô

0

∑

sp

245

то резонанс при энергии Е0 называется узким по отноше-

⎝

⎠

⎝

⎠

нию к замедлителю (его эффективная ширина много меньше ступеньки замедления каждой компоненты замедлителя). Пусть это требование выполняется.

Выражение для полной плотности соударений

uu() ()=∑ Ô

в окрестности резонанса (если она далека по

Fu()=

оси летаргии от летаргии нейтронов единичного моноэнергетического источника) с учетом

E

== =−

′

E

′

uu u u

−−

()

e ; e; e;

EE

00

()

==−FEdE()

Fudu

dE

−−

E

du

имеет вид

u

Fu du

()

=

∫

ur

−

+

∑

⎡

ρσ σ

sr sp

⎣

′

u

′

d

uuF u

∫

i

ur

−

i

′

u

()

u

()

∑

′

()

+

′

∑

⎤ ⎦

Fu

()

i

exp ( )

sp

′

u

()

′

exp ( )

′

−−

[]

−

1 α

uu

−−

[]

α1

−

′

uu

,

i

+

ãäå

2

⎞

1

−

i

⎟

1

+

i

⎞

=

i

⎟ ⎠

E

Δ

r

≅

E

′

=

uu

sr r

⎞

⎛ ⎜

⎟

i

ýô

r

=−

1 α

0

ii

Ã

ï

′

Ã

, òî èç îá-

αα σσ=

⎛ ⎜

⎝

⎞ ⎟

A

1

+

⎠

2

A

1

−

⎛

A

=

; ; () () ;

⎜

i

A

11

⎛

rr

=

ln ; ln .

⎜

αα

⎝

Поскольку по условию

щего числа нейтронов, испытавших соударения с ядрами

E

Δ

ýô

замедлителя, в интервал

разом те, энергия которых далека от области следовательно, для смеси изотопов

Ферми) и

∑≅∑()u

.

sp

du

′

∈

попадут главным об-

E

0

ΔEýô,

1

0

=

Ô

∑ξ

sp

ãäå,

(спектр

246

Нейтроны, которые испытывают соударения с ядрами

E

Δ

замедлителя при летаргии

u

лую вероятность остаться внутри интервала

ýô

∈

имеют ничтожно ма-

,

E

0

ΔE

ýô

E

0

òàê êàê

,

потеря энергии на ядрах замедлителя велика по сравнению с данным интервалом. Поэтому можно записать

u

′′

du F u

∫

−

i

∑

sp

ξξαξξ∑

sp i

()

∑

i

u

∫

ur

−

ur

′

du

i

≅

∑

i

∑

exp ( )

−−

[]

sp

′

u

()

∑

−−

uuexp ( )

[]

−

1

1 α

′

=

uu

−

i

∑

i

′

≅

i

∑

sp

=

∑

sp

çàì

∑

s

∑

(8.9)

.

sp

Тогда при узком по отношению к замедлителю резонансе уравнение замедления имеет вид

u

Fu du

()

=

∫

ur

−

⎡

ρσ σ

′

u

()

sr sp

⎣

u

()

∑

+

′

⎤ ⎦

Fu

exp ( )

′

()

uu

−−

[]

α1

−

çààì

′

∑

s

(8.10)

ξ∑

.

sp

+

Уравнение (8.10) можно решить различными приближенными способами. Однако есть два практически важных случая, когда его приближенное решение особенно очевидно.

Назовем резонанс узким, если он узок не только по сравнению со ступеньками замедления компонент, входящих в состав замедлителя, но и по сравнению со своей ступенькой замедления. Наоборот, резонанс назовем широким, если он широк по сравнению со своей ступенькой замедления, но по-прежнему узок по отношению к замедлителю. Когда резонанс узок, то интеграл соударений преобразуется так же, как интегралы соударений на ядрах замедлителя, т.е. учитывается, что основной вклад в него

E

Δ

ýô

дают нейтроны, находящиеся вне интервала где

du

′

∈

,

E

0

⎡

ρσ σ

′

u

()

sr sp

⎣

u

∑

()

+

′

⎤ ⎦

Fu

ρσ

0

Ô

sp

′

==

()

ρσ

ξ

sp

,

∑

sp

247

тогда

u

∫

ur

−

⎡

ρσ σ

sr sp

⎣

′

du

∑

′

+

u

()

′

u

()

⎤ ⎦

Ô

Fu

0

=

exp

−−

⎡

⎣

′

1

′

uu

()

−

⎤

⎦

ρσ()

≅

α

sp

0

Ô ;;.

1

∑ξ

sp

Учитывая (8.9), правую часть (8.10) можем записать в виде формулы, отражающей общее свойство приближения узкого резонанса:

∑

i

u

∫

ur

−

i

u

Fu duFu

() ( )

′′∑′

du u u

ÔÔÔ

∫

ur

−

() ()

s

exp ( )

−−

′′

[]

1 α

uu

−

α

i

′

−−

exp ( )

[]

1

Таким образом, интеграл соударений или скорость замедления в зону узкого резонанса равна

Fu u u

() () ()=∑ ≅∑ =

′

uu

FF

;;=

−

=+∑

ρσ

()

sp s sp

∑

0

sp

ξξ

∑

=

s

çàì

∑spÔ

sp

=ÔÔ

sp

∑

s

∑

0

=∑

0

. Отсюда

1

00

è

Ô( )

(),uu=∑1ξ

.

т.е. в случае узкого резонанса для описания поведения потока в многокомпонентной среде справедливо вигнеров-

ское приближение

J

ýô

Ô

0

=

γ

, так что формулы

∑ξ

sp

∑

sp

δϕ

;

−

e=+

=

ρ

R

1

è

1

γρ ρ δ ,

+∑

()

∑

sp

248

R

=

ξ

полученные в этом же приближении, соответствуют условиям узкого резонанса (NR-приближение – приближение узкого резонанса). Резонансный интеграл в NR-ïðè áëè- жении

∑

sp

u

()

.

NR

J

ýô

=

∫

du u

σ ()

a

В случае широкого резонанса функция

отлична от нуля лишь внутри малого интервала

exp −−

⎡

⎣

1 α

0 ≤−′≤uu r

′

uu

()

⎤

⎦

−

но интеграл от нее равен единице. Поэтому справедлив предельный переход:

lim

r

→

0

Подставляя в (8.10)

⎡

ρσ σ

Fu

()

⎣

≅

∑

=

∑

ãäå

∑= +

ssrsp

⎡

uu() ()ρσ σ

⎣

⎡

()

⎣

1 α

−

exp ( )

u

()

sr sp

()

∑

u

()

ss

u

()

⎤

⎦

δ

=−

uu

−

⎤ ⎦

Fu

′

()

−−

[]

1 α

+

u

çà

()

∑

+

Fu

ξ∑

⎤

макроскопическое сечение

–

⎦

′

uu

()

ìì

.

′

()

≅−

uu

δ

çàì

∑

s

+

=

ξ

∑

sp

,

sp

, получаем

(8.11)

′

uu

−−

exp

упругого рассеяния резонансного поглотителя. Формула (8.11) становится точной при

rA→→∞0 èëè ().

Поэтому

приближение широкого резонанса также называется при-

ближением бесконечной массы.

çàì

Учитывая, что

∑=∑ +∑ +∑() () ()uuu

sas

èç (8.11) íà-

ходим

,

∑+∑

Fu

as s

()

() ()

u

()

∑

=

ξ

çàì çàì

uu

∑

sp

249

èëè

çàì

u

Fu

()

1

∑

ξ

∑+∑

sp

∑∑

as

s

u

()

çàì

.=

Тогда скорость захвата выразится формулой

u

∑

RduFu

=

∫∫

()

∑

a

u

()

ρ

=

ξ

du u

()

σ

∑

sp

a

çàì

∑

s

çàì

u

∑+∑

()

as

.

По определению эффективного резонансного интеграла в приближении бесконечной массы резонансного поглотителя, или в WR-приближении, получаем

çàì

R

w

J

ýô

=

∫

du u

σ ()

a

∑

s

çàì

u

∑+∑

()

as

.

Это выражение отличается от

NR

, что объясняется иным

J

ýô

характером приближения.

Произведя вычисления, аналогичные тем, которые были использованы при выводе формулы

J

ýô

J

=

äëÿ

+R1 β

одного уровня, найдем

w

R

J

ýô

Величина

J

R

;;

Ã

D=

0

ρσ

a

+

1

çàì

∑

s

WR

Δ=+

E

ýô

Ã1

ρσ

∑

0

ρσ

a

çàì

s

σσ

a00

+

1

∑

0

a

является эффективной

çàì

s

Ã

γ

=

.

Ã

шириной широкого резонанса. Соответственно эффективная ширина узкого резонанса описывается известным вы-

ражением

NR

Δ=+

E

ýô

Ã1

ρσ

0

Очевидно, в случае широких

.

∑

sp

резонансов эффективный резонансный интеграл можно описать прежними интерполяционными формулами

250