Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
реактор был критическим. При расчете энергетических
реакторов практически всегда приходится решать именно
эту задачу, так как форма и размеры реактора определяются из инженерных и теплофизических соображений и,
как правило, бывают заданы.
7.3. Условие критичности в одногрупповом приближении
Рассмотрим настолько большой критический реактор,
что утечка нейтронов мала, т.е.
2
B
, поэтому при раз-
1τò
ложении экспоненты в ряд можно ограничиться линейным приближением:
exp( ) .−≅−≅
22
BB
1
ττ
òò
1
2
+
B
1
τ
ò
Получаем эффективный коэффициент размножения
KKР
22
ãäå
LМ
+=τ
òò
=
ýô
KK
ýô
KKРK
==
ýô
=
()()
11
=
+
1
2
BL
exp( )
=
∞
∞∞
K
222
BBL
++
τ
òò
K
∞
222
τ )
(
òòò
– квадрат длины миграции.
,
∞
2
B
−
τ
22
BL
+
1
∞
ò
−
exp( )
BL
+
1
=
1+
+
ò
(7.30)
.
2
B
τ
ò
=
22
ò
=
K
∞
,
(7.31)
BМ
Из (7.31) имеем
K
2
B
1=−
∞
, (7.32)
2
М
т.е. получаем уравнение критичности в одногрупповом приближении.
Вычислим
2
для реакторов различной формы.
B
191
7.4. Сферический гомогенный реактор
Для сферического гомогенного реактора пространственное распределение нейтронов зависит только от r и уравнение (7.24) запишется в следующем виде:
2
dr
ÔÔ
() ()
2
dr
Налагаем следующие граничные условия:
поток конечен во всем объеме реактора;1)
поток на экстраполированной границе обращается 2)
â íóëü.
Общее решение уравнения (7.33) имеет вид
Ô( )
Постоянные находим из граничных условий.
Из первого граничного условия следует, что
Br
cos
⎛
00 èëè
⎜
r
⎝
Воспользуемся условием 2). На расстоянии
поток обращается в нуль, где R – радиус реактора с уче-
том длины экстраполяции;
Подставим (7.34) в (7.33), получим
dr
2
r
dr
sin cos
rA
=+
Br
2
Br
C
r
⎞
r=→∞→
.
)
⎟
⎠
– радиус активной зоны.
R
à.ç
. (7.33)
Ô
0
()++=
Br
. (7.34)
r
C =
RR d=+
à.ç
BR
sin
A
= 0;
sin BR
= 0;
BR n=π
. (7.35)
r
Из этих соотношений при n = 1 значение В минимально
⎛
⎜
⎝
BR=
⎞
, и минимальный критический объем реактора
⎟
⎠
π
определяется выражением
VB=
130
, (7.36)
3
а распределение нейтронного потока
r
π
sin
A
R
Ô( )
r
=
.
r
192
Чтобы найти поток, необходимо найти постоянную А.
Пусть мощность реактора равна Q кВт и поскольку 1 кВт =
13
⋅ 3,4 дел/с, то за секунду происходит
= 10
лений.
∑
f
∫
V
ФdV
äå-
Следовательно,
R
ππ
∑
QdVdrddA
=
ff
⋅
34 10 34 10
,,
Ô
13 13
V
à.ç
π
rr
sin
×
2
R
r
∑
=
⋅
sin
r
a.ç
×
13
2
à.ç
ϕθ
,θ=
∫∫∫∫
0020
AR
4
∑
f
34 10
,
⋅
отсюда определяем постоянную А и находим распределение потока нейтронов по реактору.
7.5. Цилиндрический гомогенный реактор
Уравнение для цилиндрического реактора (рис. 7.2)
имеет вид
2
∂
ÔÔÔ
∂
r
2
1
+
rr
∂
∂
2
∂
+
∂
z
2
+=
Ô
B .
2
(7.37)
0
z
Граничные условия:
конечность потока во всем 1)
объеме;
на поверхности реактора2)
Ô( , )rRz==0
⎛
;
Ô rzH,,=±
⎜
⎝
⎞
=20
⎟
⎠
ãäå R è Н – соответственно радиус и
высота активной зоны с учетом экстраполированной границы.
Для однородной среды можно
допустить, что переменные разделяются, и
Ô( , ) ( ) ( ).rz RrZz=
(7.38)
R
0
H
Рис. 7.2. Цилиндрический
реактор с экстраполи ро-
ванной границей по
ради у су и по высоте
r
193
Подставив (7.38) в уравнение (7.37), получим
2
⎛
111
R
∂
+
⎜
2
⎜
R
r
∂
⎝
⎞
∂
⎟
⎟
rRrZ
∂
⎠
2
Z
∂
+
z
∂
B
+=.
2
2
0
Поскольку R è Z зависят каждая от своей переменной,
то уравнения могут удовлетворять лишь те функции, вторые производные которых пропорциональны самим значениям функций, т.е. можно записать
2
⎛
11
R
∂
+
⎜
2
⎜
R
r
∂
⎝
∂
1
Z
∂
2
Z
z
∂
rRr
=−β ,
2
⎞
2
; (7.39)
=−α
⎟
⎟
∂
⎠
2
(7.40)
ãäå
22 2
αβ
+=B
Умножив уравнение (7.39) на
2
r
dR
2
dr
dR
r
2
dr
Вводя замену переменной
2
u
dR
2
dr
dR
u
2
dr
Rr
22
ur=α
uR
.
2
, получим
Rr
, имеем
2
0++=
.
0++ =α
.
Получили уравнение Бесселя нулевого порядка. Решение уравнения следующие:
RA u CYu=
′
RA uCKu=
Ïðè
функция Вебера
r → 0
увеличением r стремятся к
+J
()
00
+
J
()
00
∞
конечности потока значения С,
, α2 > 0;
()
′
, α2 < 0.
()
Y0→∞
, а функции
, следовательно , из условия
′
′
è
A
равны нулю.
C
В результате имеем
Rr A r() ( )= J0α
194
.
J
, K
00
ñ
С учетом граничных условий
Ô( ) ,r
rR=
= 0
R
= 0
rR=
получим
ARJ
;
0()α=
0
J
0
.
0()αR =
Функция Бесселя имеет множество корней, наимень-
øèé èç íèõ
αR = 2 405,,
тогда
Rr A
α=2 405, R
2 405
⎛
J
0
⎜
R
⎝
è
⎞
.
r(),=
⎟
⎠
Теперь решаем другое уравнение с Z:
2
dZ
dz
2
BZ
2
(7.40)
0+=.
Возможные решения данного уравнения имеют вид
ZA zc z
=+ >
cos sin , ;
βββ
′
ZA zC z
=
ch sh
′
+
βββ
2
0
2
<
,.
0
Из условий симметрии и физического смысла полага-
åì Ñ = 0,
C
′
= 0,
′
= 0, тогда
A
ZA z= cos .β
(7.41)
zH=
получаем
Ïðè
2
H
cosβ
è
β
2
22
ãäå m = 1, 3, 5, … .
Наименьшее собственное значение
деление потока получим в виде
2 405 π
,
Ô( , )
⎛
J
0
⎜
R
⎝
πH
,
m
=
2
π
⎛
2
β
⎞
⎛
cos .rz A
r
⎟
⎜
H
⎠
⎝
⎞
=
и распре-
⎜
⎟
H
⎝
⎠
⎞
(7.42)
z=
⎟
⎠
195
Геометрический параметр цилиндрического реактора
следующий:
2 405
⎛
2
=
B
⎜
⎝
22
,
RH
π
⎞
⎛
⎞
+
⎟
⎠
(7.43)
.
⎜
⎟
⎝
⎠
Необходимо задаваться значением Н ëèáî R.
Объем цилиндрического реактора
VRH=π2.
Из (7.43) находим
22
2 405
R
2
=
(, )
BH
H
22 2
−
π
.
Определим
H
min
3π
è
=
R
B
min
,=2 405 3
2
B
.
В результате получим минимальный объем реактора:
HR
min min
VB=
148
(7.44)
;
3
,.= 1 8475
При таком соотношении радиуса и высоты активной
зоны имеем минимальную утечку нейтронов.
Цилиндр с таким соотношением размеров не является
цилиндром с наименьшей поверхностью, у которого H = 2R.
Данное соотношение размеров определяет цилиндр с наименьшей утечкой, а она зависит как от величины поверхности тела, так и от характера соответствующих нейтронных
распределений, которые неодинаковы по радиусу и высоте
цилиндра. Через единицу боковой поверхности цилиндра
нейтронов уходит меньше, чем через единицу поверхности
торцов или единицу поверхности парал ле лепипеда.
Аналогично для реактора в виде параллелепипеда
222
πππ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
2
B
=
+
⎜
⎟
⎜
abc
⎝
⎠
⎟
⎝
⎠
⎞
+
(7.45)
,
⎜
⎟
⎝
⎠
196
ãäå a, b, c – размеры параллелепипеда с учетом длин экстра-
поляции. Распределение потоков нейтронов запишется в виде
πππ
ÔÔ( , , ) cos cos cos .xyz
=
x
0
a
y
b
z
(7.46)
c
Решая задачу на экстремум объема V = abc, находим
условие минимума объема при a = b = c:
V
min
⎜
⎜
⎝
⎛
3
⎞
π 3161
⎟
⎟
B
⎠
.=
=
3
B
Важной величиной для энергетического реактора явля-
ется коэффициент неравномерности
Ô
max
k =
,
Ô
который определяется по каждой координате и объему.
Для цилиндрического реактора
kkk
= ,
Vrz
ãäå
kkk
Vrz
– соответственно коэффициенты неравномер-
,,
ности по объему, радиусу и высоте.
Значения этих величин для различных реакторов при-
ведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Некоторые параметры реактора без отражателя
Форма
реактора
Пря моуголь ный
па ра ллеле пи пед
Цилиндр
Сфера
Геометрический
параметр
222
πππ
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
+
⎜
⎟
⎜
abc
⎝
⎠
⎝
2 405
,
⎛
⎞
⎜
⎟
RH
⎝
⎠
π
⎛
⎜
R
⎝
⎞
+
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝
⎠
22
π 148
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
2
⎞
⎟
⎠
Ìèíè-
ìàëü-
íûé
объем
ðå àê-
òî ðà
161
130
Распределение потока
ÔÔ(,,) cos
3
B
3
B
3
B
нейтронов
=×
xyz
×
ÔÔ(,)
×
J
0
ÔÔ()
y
ππ
cos cos
bzc
=×
rz
,
r
2 405
⎛
⎜
R
⎝
=
0
0
0
⎞
cos
⎟
⎠
sinrrR
rR
π
Êîýôôè öè-
åíò íå-
ðàâ íî-
ìåð íî-
ñòè ïî
îáú åìó
y
π
a
3,88
3,64
z
π
H
π
3,29
197
Согласно данным таблицы, наименьший объем при
одном и том же геометрическом параметре имеет сфера.
Сферический реактор имеет и наименьший коэффициент
неравномерности.
7.6. Гомогенный реактор с отражателем
в одногрупповом приближении
Добавление к внешней поверхности активной зоны даже тонкого слоя отражающего нейтроны материала приводит к тому, что часть нейтронов, падающая на этот слой
из активной зоны, возвращается обратно. Увеличение толщины слоя приводит к уменьшению утечки через внешнюю поверхность реактора. Находящийся в критическом
состоянии реактор в результате добавления к активной
зоне отражателя становится надкритическим. Чтобы (при
постоянном
ние, необходимо уменьшить размеры его активной зоны.
Критические размеры активной зоны реактора с отражателем всегда меньше, чем соответствующие размеры реактора без отражателя.
Поскольку отражателями нейтронов, как правило, служат материалы с малым сечением поглощения нейтронов
и их диффузионные (а иногда и замедляющие) свойства
резко отличаются от свойств активной зоны, то вблизи
неоднородности нарушается пропорциональность между
потоками быстрых и тепловых нейтронов и переменные r
è Е â Ô(r, Е) не разделяются.
По мере удаления от границы в глубину активной зоны
влияние потока из отражателя уменьшается, и распределение нейтронов по пространству и энергии приближается
к форме, зависящей только от параметров самой активной
зоны. Такое распределение называется асимпто тическим.
В энергетических реакторах области, где справедливы такие распределения, относительно велики. В связи с этим
рассмотренная выше теория реактора без отражателя с некоторым приближением может быть использована и для
реактора с отражателем.
Пространственно-энергетическое распределение нейтронов в реакторе с отражателем определяется приближенно:
энергии нейтронов разбиваются на несколько групп и исход-
) перевести реактор в критическое состоя-
K
∞
198
ное уравнение для потока Ф(r, Е) заменяется системой урав-
нений, в которой поток зависит только от одной переменной координаты.
Решим задачу о реакторе с отражателем вначале в одногрупповом диффузионном приближении, а затем в двухгрупповом.
В одногрупповом приближении предполагается, что
спектр нейтронов во всем реакторе одинаков. Как указывалось, такое предположение перестает быть справедливым
вблизи границы активной зоны и отражателя. Поэ то му
влияние отражателя на критический размер реактора по
данной теории можно установить лишь приближенно. Тем
не менее одногрупповое приближение может быть использовано для иллюстрации многих свойств реакторов с отражателем и оценки масштаба эффектов, а в случае больших
реакторов, когда влияние отражателя мало, даже для получения количественных результатов. Для простоты рассмотрим гомогенный реактор, состоящий из однородной
активной зоны (индекс «с») и отражателя (индекс «r»).
7.7. Реактор с отражателем в виде бесконечной пластины
Рассмотрим бесконечный плоский реактор, состоя щий из активной зоны толщиной H и боковых отражателей толщиной Т (включая экстраполированную границу). Начало координат поместим в плоскости симметрии
(рис. 7.3).
Запишем уравнение реактора:
в активной зоне
ΔÔÔ
В+=
ссс
в отражателе
D
ΔΣÔÔ−=
rrarr
или, заменив
2
==
χ
r
2
1
2
L
r
(7.47)
0,
,
Σ
ar
,
,
D
r
З
O
0
Рис. 7.3. Плоский реактор с
З – активная зона; О – отра-
отражателем:
жатель
199
получим
2
– геометрический параметр активной зоны.
ãäå
B
c
ΔÔÔ
2
−=χ
rrr
, (7.48)
0
Теперь объединим оба уравнения в систему и будем
решать ее в одногрупповом приближении:
ΔΔÔÔ
ÔÔ
2
В+=
ссс
2
−=
rrr
00;
.χ
Граничные условия для данной системы уравнений:
H
⎛
Ôrx
⎜
⎝
H
⎛
ÔÔ
x
rc
⎜
⎝
d
ÔÔ
⎛
D
r
dx
x
⎜
⎝
r
⎞
=
⎟
22
⎠
H
⎞
=
⎟
22
⎠
⎞
T=+
=20;
⎟
⎠
H
⎛
==
⎜
⎝
d
D
==
c
dx
⎞
x
;
⎟
⎠
H
⎛
c
x
⎜
⎝
⎞
.
⎟
⎠
Решение системы можно записать в виде
Ô
xA BxC Bx
() cos( ) sin( );
=+
ccc
Ôch sh
() () ().
rcc
′
xABxCBx
=
′
+
Задача симметрична, следовательно, с = 0. Восполь зо-
вавшись граничным условием, получим
⎡
H
′
⎛
ch sh ,χχ
⎜
rr
⎢
22
⎝
⎣
⎤
⎞
+
+
TC
⎟
⎥
⎠
⎦
⎡
H
′
⎛
⎜
⎢
⎝
⎣
⎤
⎞
+
=A
T
0
⎟
⎥
⎠
⎦
т.е
′
′
=−
AC
th .χ
⎡
H
⎛
r
⎜
⎢
2
⎝
⎣
⎤
⎞
+
T
⎟
⎥
⎠
⎦
С учетом этого решение системы уравнений запишет-
ñÿ òàê:
H
200
Ô
rr
⎛
C
sh ;2χ
⎜
⎝
⎞
Tx=+−
⎟
⎠
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]