Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
зо вого пространства
ких нейтронов, которые имели разброс скоростей от
υυυ
äî + d
ìåíò t равно
будет
. Тогда число нейтронов в нашем объеме в мо-
nr tdrd(, ,) .
nr dt t dtdrd(;,).
++
υυ υ
в момент времени t, причем та-
(, )
r
υ
υυ
В момент
Изменение числа нейтронов
число нейтронов
tdt+
в данном объеме
dN
⎡
ntnxxtnyytnzz
∂
∂∂∂
+
⎢
∂
⎣
∂∂∂
+
∂
+
∂
∂∂∂
⎤
rt
∂∂∂=
⎥
t
∂
⎦
∂
⎡
υυ
⎢⎢
∂
⎣
n
+∇
t
⎤
∂∂dr t
n=
υ
⎥
⎦
.
Убыль нейтронов обусловлена утечкой и поглощением.
Если за время dt нейтрон пройдет путь
, то число стол-
υ
dt
кновений, в результате которых он поглощается, равно
υ
dt
n
==∑
a
l
a
υ
dt
,
а
а число столкновений с рассеянием будет соответственно
dt
υ
n
==∑
S
l
S
dt
υ
.
s
С учетом этого число нейтронов, которые за dt погло-
тятся в нашем элементе объема, равно
∑аndrd dt
υυ
Анало-
.
гично число нейтронов, которые рассеются, равно
∑sndrd dt
υυ
.
Общее число нейтронов, покидающих данный фазовый
объем,
∑+∑
()
аs t
ndrd dt ndrd dt
υυ υυ
Прибыль нейтронов в фазовый объем обусловлена ис-
точниками нейтронов. Если мощность источников
то число нейтронов, прибывших в данный элемент объема
за время dt, равно
тем, что некоторая часть нейтронов в элементе (dr) ñî
скоростью
′
имеют некоторую вероятность
υ
мены своей скорости на
Пусть имеем в единице фазового объема
тронов со скоростью
объеме
(, )dr d
′
υ
Sr tdrddt(, ,) .
υυ
υ
′
. Тогда число нейтронов в фазовом
υ
, имеющих скорость
сеяния будут иметь скорость
.
=∑
.
Прибыль обусловлена и
F′→
υυ
()
nr t(, ,)
υ
′
, которые после рас-
υ
, равно
υ
Sr t(, ,)
υ
çà-
íåé-
131
′
,(,,).
Fnrtdrd
υυ υ υ υ
()
Проинтегрировав по всем возможным скоростям
лучим число нейтронов, которые прибывают в фазовое
пространство
(, )dr d
υ
, на единичный интервал скоростей
υ
′′′
∑
nr tdrd dtF
υυ υ υυ
s
∫
′
′′
∑
s
(, ,) , .
()
υ
′
, ïî-
После умножения этой величины на
число таких нейтронов:
′′′
∑
nr tdrd dtF d
υυ υ υυυ
(, ,) , .
s
∫
′
υ
Если имеются ядра различных сортов, то надо еще просуммировать данную величину по всем сортам ядер.
Запишем баланс нейтронов:
∂
n
⎡
⎢
∂
t
⎣
При переходе от плотности нейтронов к потоку, уравнение запишется следующим образом:
èëè
1
∂
Ô
∂
t
υ
⎤
+∇
n drd dt d n r t F drd dt
υυυυυυυυ
⎥
⎦
+−∑
S r t drd dt ndrd dt
(, ,) .
υυ υυ
1
υ
+∇ =
ΩΩΩΩΩ
∂
Ô
+∇ =′∑
ÔÔ
Ω (, ,) ,
∂
t
Sr t
+−
(, ,) ∑∑
ÔÔ
dd r tF
υυυυ
∫
′
υ
+−∑Sr t r t
(, , ,) (, , ,).
′
=
∫
′′
υ
drtF
∫
′
υ
υ
′′
∫
′
Ω
ΩΩ
υυ
′′
∑
(, ,) ,
s
t
υυ υ υυ
′′
s
rtÔ( , , ),
t
∑
(, , ,) , , ,
s
Ô
t
узнаем полное
d
υ
()
()
υ
′′ ′ ′
+
()
()
(6.1)
+
+
Получили кинетическое уравнение Больцмана.
Запишем это уравнение в безразмерных единицах u-ëå-
таргии и перейдем от переменных
132
(, , ) (, , )rru
ΩΩ
υ
ê
.
E
Поскольку
Fd Fudu() () ,
υυ
=
то с учетом
u
==ln
0
E
υ
= ln02
можно записать:
υ
υυ
FFuu
22
υ
′′
ΩΩ ΩΩ
,,, ,,, ;
()
′
Ω
(, ,,) (,ÔÔ
rt r
υυ
υ
=
=
′′
()
′
ΩΩ
,,);
ut
(6.2)
′
2
υ
′
ΩΩ
(, ,,) (, , ,).
Sr t Sr ut
=
υ
′
2
После подстановки (6.2) в (6.1) получим интегродифференциальное уравнение замедления в пространстве
летаргий:
1υ∂
∂
Ô
t
+∇ =
ÔÔ
ΩΩΩΩΩ
′′
du d r u t F u u
′
u
(, ,,) (, ,,).
ΩΩ−∑ Ô
+
SSr ut r ut
∑
∫∫
′
Ω
′′ ′ ′
(, , ,) , ,,
s
t
()
+
(6.3)
В дальнейшем необходимо найти выражение для источников нейтронов.
Для простоты предположим, что в среде находится
только один делящийся изотоп. Если считать угловое распределение нейтронов изотропным, то вероятность того,
что вследствие захвата делящимся изотопом нейтрона со
скоростью
скоростью
′′
высвободившиеся нейтроны окажутся со
υ
Ω
, может быть записана в виде
υ
Ω
′
χπ(,)/( )
υυ
4
Тогда прибыль за счет реакции деления в уравнении (6.1)
может быть записана так:
∞
1
π
4
Если существуют внешние источники с плотностью
qr t(, , ,),
Ω
υ
′
υυ υ υ υ υ υ
() ()(,) (, ,,) .
∫∫
0
′′ ′
∑
χ
f
∑
drtdÔ
s
′
Ω
то необходимо учесть и их.
′′ ′
ΩΩ
Общее кинетическое уравнение будет иметь следующий вид:
1
∂
Ô
υ
∂
′
υυυυ
+∇
rt rt rt
(, ,,) (, ,,) () (, ,,)
ΩΩΩ Ω
ÔÔ
t
′
+∑
t
′
=
.
133
∞
=∑s(() ,,, (,,,)
1
+
4
Граничные условия для этого уравнения аналогичны
условиям односкоростной задачи, добавляется только дополнительная зависимость от скорости.
Итак, на границе раздела двух сред
На границе с вакуумом
При этом считаем заданные начальные условия (t = 0)
′′ ′ ′
υυ υυ υ
∫∫
0
π
ΩΩΩΩnr t nr t
dF r td
∞∞
′
()
υυ
∑
∫∫
0
()
00
ΩΩ Ωnr t n
00
ÔÔ
ΩΩ Ω ΩÔ
()
′
Ω
′′ ′ ′′ ′
()(,) (, ,,)
υυυυ υ
χ Ô
f
+
00ÔÔ−
,,, ,,,
()
rt r,,, ,,ΩΩ
()
drtd
qr t
(, ,,).
υ
Ω
=+
υυ
00Ôïðè,,, .
υ
=≤
υυ
=
′′ ′
Ω
ΩΩ
′
()
()
. (6.7)
+
+
(6.4)
. (6.5)
(6.6)
6.2. Решение кинетического уравнения реактора
Уравнениями (6.4)–(6.7) описывают физические явления, связанные с процессами взаимодействия нейтронов с
веществом. Они охватывают стационарные процессы и
процессы с увеличением или уменьшением числа нейтронов. Рассмотрим первые.
Стационарный самоподдерживающийся процесс математически означает, что в некоторой ограниченной области V (в пределах которой
отличное от нуля положительное решение однородного
стационарного уравнения:
ΩΩΩΩΩ∇+∑ =∑
ÔÔ Ô
подчиненного однородным условиям (6.5), (6.6).
1
+
4
∞
ts
∞
υυ υ υ υ υ υ
∫∫
π
0
υυ υυ υ
∫∫
0
′
∑
() ()(,) (, ,) ,
f
∑≠f0
′′ ′ ′
dF r d() ,,, (,,)
′
Ω
′′ ′ ′′′
χ
) должно существовать
()
drdÔ
Ω
ΩΩ
′
′′ ′
+
(6.8)
134
Из теории однородных краевых задач известно, что в
общем случае уравнение (6.8) с условиями (6.5) и (6.6)
имеет нетривиальное решение лишь при наложении дополнительных условий на параметры задачи. Эти дополнительные условия могут быть наложены, например, на
геометрические размеры активной зоны, концентрацию
топлива, количество замедлителя и т.д. Какие бы из дополнительных условий не имелись в виду, они заранее не
известны, а потому их поиск является одним из элементов
решения данного уравнения. Поиск ведется на основе исследования разного рода задач на собственные значения.
На основании (6.8) запишем уравнение с собственным
значением:
ΩΩΩΩΩ∇+∑ =∑
ÔÔ Ô
=
∞
′′ ′ ′
dF r d() ,,, (,,)
ts
∞
λ
υυ υ υ υ υ υ
∫∫
πχ4
0
υυ υυ υ
∫∫
0
′
() ()(,) (, ,) .
′′ ′ ′′′
∑
f
()
′
Ω
drdÔ
′
Ω
′′ ′
ΩΩ
(6.9)
=
Доказано, что наименьшее по модулю собственное значение
– положительное число, а отвечающая ему
λλ=
0
собственная функция всюду положительна и единственна.
Предположим, что
оказалось точно равно единице.
λ
0
При этом уравнение (6.9) тождественно с уравнением
(6.8). А это значит, что параметры задачи (6.8), (6.5), (6.6)
случайно оказались критическими, обеспечивающими стационарный самоподдерживающийся режим, причем нейтронный поток согласно высказанному утверждению будет положительной функцией.
Пусть теперь
. Представим себе, что мы можем
λ01>
менять физическую природу делящегося вещества, например увеличить в
раз выход вторичных нейтронов
λ
0
′
ν()
υ
на один акт деления. С этим эффективным выходом вторичных нейтронов,
′
νλν
() ()
=
υυ
ýô
′
,
0
мы окажемся в условиях стационарного самоподдерживающегося режима с положительным нейтронным потоком.
Ясно, что в реальных условиях процесс может быть только
затухающим: заниженный до нормальной величины выход нейтронов деления уже не компенсирует их потери.
135
Наконец,
соответствует случаю, когда искусствен-
λ01<
но следует уменьшить число нейтронов, возникающих в
результате деления,
′
νν
() () (),
=
υυυυ
ýô
′
λ
0
′
<
чтобы обеспечить равновесие между потерей и воспроизводством нейтронов – в реальных условиях процесс будет
лавинным.
Сформулируем теперь алгоритм поиска того или иного
параметра исходной задачи (6.8), (6.5), (6.6), обеспечивающего стационарный режим, исключая режим с отсутствием нейтронов. Пусть таким параметром будет, например,
радиус сферической активной зоны. Ясно, что каждому
значению R соответствует свое наименьшее по модулю
собственное значение
λλ
00
пересекает прямую линию
= ()R
. Если кривая
, то значение R, ïðè êîòî-
λ01=
λλ
= ()R
00
ром это пересечение произошло, и будет искомым критическим размером.
Величина
Kýô= 10λ
– эффективный коэффициент раз-
множения среды конечных размеров.
Рассмотрим задачу на вычисление критических размеров. Предположим, что в некоторой однородной среде, в
состав которой входит делящееся вещество, нейтроны могут появляться только в результате реакции деления, т.е.
посторонних источников нет. Считаем, что все процессы
моноэнергетичны (нейтроны деления имеют ту же энергию, что и диффундирующие).
Уравнение диффузии (3.25) принимает вид
1υ∂
ãäå
∑=∑+∑ ∑
acfc
Ô
=−∑+∑
ÔÔ Ô
D
∂
Δ () (),ν
t
– сечение захвата, не приводящее к
,
a
(6.10)
f
делению.
Сформулируем следующую физическую задачу. Можно
ли (а если можно, то при каких условиях) из рассматриваемого вещества сделать шар, в котором поддерживалась
бы стационарная цепная реакция?
Математически данная задача формулируется так. Можно ли (а если можно, то при каких условиях) в некоторой
сфере конечного радиуса получить отличное от нуля по-
136
ложительное решение однородного стационарного уравнения диффузии
D
ΔÔ( Ô +),ν∑ −∑ =0
a
f
(6.11)
подчиненное граничному условию
ÔÔ
⎛
⎜
⎝
∂
⎞
(6.12)
0+
=D
,
2
⎟
∂
n
⎠
s
ãäå S – поверхность шара?
Проанализируем задачу физически. Если
ν∑ <∑
f
a
òî
,
в каждом элементе объема число нейтронов, воспроизводимых в результате деления топлива, меньше числа нейтронов, поглощаемых в этом элементе объема. Слагаемое
указывает на перемещение нейтронов в среде и пред-
DΔÔ
ставляет собой утечку нейтронов из среды конечных размеров. Очевидно, что стационарной цепной реакции в
данном случае не может быть. Если
ν∑ =∑
f
, òî â êàæ-
a
дом элементе объема число нейтронов, воспроизводимых
в результате деления топлива, равно числу нейтронов, выбывающих из этого элемента объема в результате захвата.
Стационарная цепная реакция в таком случае может идти,
если исключить утечку нейтронов из среды, т.е. сделать
среду бесконечно протяженной.
Åñëè
ν∑ >∑
, то в каждом элементе объема число
a
f
нейтронов, воспроизводимых в результате деления, превышает число нейтронов, поглощаемых в этом элементе
объема. Избыток рождающихся нейтронов по сравнению
с поглощением можно попытаться компенсировать утечкой нейтронов из конечной среды. В данном случае есть
надежда получить стационарную цепную реакцию в среде
конечных размеров.
Дадим теперь строгое математическое обоснование
всем трем случаям, рассмотренным выше.
1.
ν∑ <∑
2
ãäå
χν
f
Уравнение (6.11) примет вид
.
a
1
d
ddrÔ
22
r
2
dr
r
– материальный параметр, за-
0=∑−∑ >(
D)/
a
f
Ô–,χ=
0
висящий только от свойств среды.
137
Общее решение уравнения:
–
Ô( )rA
exp( ) exp( )
=
r
−
χχ
B
+
r
r
.
r
Прежде всего для нашей задачи можно сформулировать граничное условие при r = 0. Поскольку поток должен быть ограничен в центре сферы, то из общего решения сразу получаем
AB=−
Ô( )shrA
, ò.å.
=
r
()
χ
(6.13)
.
r
Если допустить, что в пределах некоторой сферы радиуса R задача имеет положительное, отличное от нуля
решение (A > 0), то на границе с пустотой должно еще выполняться условие (6.12).
Подставив (6.13) в (6.12), получим
th
=
r
/( )
RD
−12
,χχR
èëè
ãäå
2χD
yR=χ .
z
1
0
z=
1–
z = y
2χD
th
z = thy
y
y
=
y
/( )
yD
−12χ
Поведение левой и правой
частей уравнения (6.14) приведено на рис. 6.2. Из рисунка
видно, что уравнение (6.14) не
имеет положительных корней
(у = 0 соответствует значению
R = 0, что не является решени-
y
ем задачи). Таким образом, поставленная задача не имеет ре-
(6.14)
,y
шения.
2.
ν∑ = ∑
f
Уравнение (6.11)
.
a
примет вид
Рис. 6.2. Графики функции к
решению задачи о крити чес ких
размерах
1
d
ddrÔ
2
r
2
dr
r
0.=
138
Общее решение этого уравнения
Ô( )rArB=+/.
(6.15)
Из ограниченности решения в центре следует, что A = 0,
а из условия (6.12) на внешней границе среды –В = 0.
Таким образом, интересующей нас сферы конечного радиуса нет. (В бесконечном пространстве из (6.15) имеем
Ф (r) = B = const.)
3.
ν∑ =∑
2
ãäå
χν
f
Уравнение (6.11) запишется в виде
.
a
1
d
ddrÔ
22
r
2
dr
r
D)/
a
f
Ô+=χ ,
.
0=∑−∑ >(
(6.16)
0
Общее решение уравнения (6.16) имеет вид
sin
r
()
Ô( )
rA
=
χ
(6.17)
.
r
Использовав условие (6.12) на границе искомой сферы
r = R, получим
tgχχR
=
R
RD
−12/( )
,
èëè
tg y
=
y
yD
−12/( )
(6.18)
,
χ
ãäå
yR=χ .
График правой части уравнения (6.18) (см. рис. 6.2)
имеет бесконечное число пересечений с тангенсоидой при
положительных значениях у. Иными словами, уравнение
(6.18) имеет бесконечное число положительных корней.
Наименьший из этих корней у = у
ский размер сферического реактора
ïðè
Ïðè
RR>
в сфере не будет идти цепная реакция, а
RR<
0
не может быть стационарного состояния – цеп-
0
и определяет критиче-
0
Ry
= /.χ
00
ная реакция превратится в лавинный процесс.
139
Нетрудно убедиться, что наименьший корень у
восходит π, а потому при
поток нейтронов (6.17)
rR≤
0
íå ïðå-
0
(ïðè А > 0) будет положительным.
Величина
Ry
= / χ
00
называется критическим радиусом
реактора сферической формы.
В теории реакторов решение уравнения диффузии (3.25)
практически сводится к решению уравнения
Δψ α ψ+=
2
0,
которое называется волновым, à α – волновым числом.
При граничных условиях (6.5), (6.6) волновое уравнение имеет счетное (бесконечное) множество линейных независимых решений – собственных функций
ψψψ ψ
, , , ..., ... .
012
n
Каждому решению
или каждой собственной функ-
ψnr()
öèè (n-й гармонике) соответствует собственное значение –
Число
2
оператора Лапласа
α
n
0
≤≤≤≤≤→∞ααα α... .
02122
2
меньше всех
α
0
Δψ α ψ
r() ,=−
()
nnn
22
αnn( , ,...)= 12
2
причем
n
и обязательно
прос тое, т.е. ему принадлежит только одна (с точностью
до постоянного множителя) собственная функция
Только одна функция
, принадлежащая наименьше-
ψ0()r
ψ0()r
.
му (по абсолютному значению) собственному значению
оператора Лапласа, не меняет знака внутри V и положительна. Все остальные функции
ψ
n
знако пе ре-
nïðè > 0
менны.
Стационарная задача имеет решение только при
αχ
.
=
0
Наименьшее по абсолютной величине собственное значение
называется геометрическим параметром. Â îòëè-
α
0
чие от материального параметра геометрический параметр
зависит от формы и размера активной зоны, но не зависит
от свойств размножающей среды. Равенство
αχ
îçíà-
=
0
чает, что существуют определенные формы и размеры,
при которых в ограниченной среде возможно стационарное
состояние поля нейтронов. Соответствующий характер-
ный размер называется критическим. Объем, в котором
размножающая среда может находиться в стаци онарном
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]