Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
Это означает, что на каждый израсходованный атом
создается 0,8 атома нового топлива –
239
Pu;
K∞= 108,
235
U
, çíà-
чит, из топлива заданного состава мы можем создать реактор конечных размеров, но утечка нейтронов должна
быть меньше 8%. Остающиеся нейтроны используются
для регулирования мощности реактора и компенсирования их убыли в результате различных нестационарных
процессов.
Упражнения
1. Сравнить энергию взаимодействия ядерного притяжения ну-
клонов в ядре дейтерия (Е
ния и электрического отталкивания двух протонов и двух нейтронов, находящихся на расстоянии, примерно равном размерам ядра
дейтерия
1 êã
(,).mm
2. Определить энергию, которая высвобождается при получении
4
2
3. ßäðî
np
в результате синтеза свободных нуклонов.
He
4
He
2
167 10
образовалось при синтезе дейтерия и трития. Опре-
де лить выделившуюся при этом энергию.
4. Нейтрон вызывает деления ядра
87
. Определить выделяющуюся при этом энергию.
Br
5. Определить сечения поглощения, деления и полное для то-
пливного элемента, имеющего оболочку диаметром 9,1 мм и толщину 0,6 мм из сплава Zr + 1% Nb (плотность сплава – 6,4 г/см
пли вом является диоксид урана 4%-го обогащения и плотностью
10,2 г/см
3
, энергия нейтронов – 0,0253 эВ.
6. При одном акте деления высвобождается энергия 200 МэВ.
Определить, сколько происходит делений в 1 с при мощности 1 кВт.
7. Сколько нужно взять
1 ÌÂò ⋅ ñóò?
8. В одном акте деления образуется 2,5 нейтрона, 5,5% из них
идет на радиационный захват. Сколько нейтронов уходит за пределы активной зоны при мощности 100 МВт?
= 2,2 МэВ), гравитационного притяже-
ñâ
−
24
ã≅= ⋅
235
с образования
U
235
, чтобы получить энергию деления
U
147
3
). Òî-
La
è
41
ГЛАВА 3
ДИФФУЗИЯ НЕЙТРОНОВ
3.1. Основные понятия
Диффузия (распространение, растекание) – это процесс, обусловленный тепловым движением частиц вещества и наличием градиентов их концентрации. Приме нительно к нейтронам понятие диффузии часто распространяют на нетепловое движение и рассматривают совокупность (груп пу) нейтронов с одинаковой энергией, как
угодно отличной от энергии теплового движения ядер.
Диффузия нейтронов аналогична диффузии в газах и
подчиняется тем же закономерностям. Во всех диффузионных явлениях, например таких, как диффузия газовых
молекул, диффундирующее вещество распространяется от
областей с большей концентрацией к областям с меньшей
концентрацией.
Процесс рассеяния нейтронов на ядрах среды имеет статистический характер: перемещение каждого нейтрона в
среде хаотично, а его траектория сугубо индивидуальна.
Поэтому теория, описывающая движение нейтронов в
среде, также носит статистический (вероятностный) характер, когда рассматривается некий «средний» нейтрон.
В общем случае диффузия нейтронов в веществе сопровождается многократным изменением направления и
скорости движения в результате их столкновений с ядрами среды.
Будем считать, что в момент времени t нейтрон характеризуется радиус-вектором
купность векторов
странство. Радиус-вектор записывается в следующем виде:
(, )
r
и вектором скорости
r
образует шестимерное фазовое про-
υ
rxiyjzk=++
.
. Ñîâî-
υ
42
z
Ω
Ω
dΩ
dΩ
θ
y
Рис. 3.1. Сферическая система координат
Вектор скорости нейтронов равен
рость нейтрона;
жения нейтрона. Часто бывает удобно рассматривать еди-
ничный вектор
ϕ
– единичный вектор направления дви-
Ω
в сферической системе координат, т.е.
Ω
с помощью полярного угла
r
x
=
, ãäå υ – ñêî-
Ω
υ
υ
и азимутального угла ϕ
θ
(ðèñ. 3.1).
Для описания распределения нейтронов вводится по-
нятие плотности нейтронов
число нейтронов в единице объема в точке
нием движения
Следовательно,
элементе объема
ющих направление движения внутри телесного угла
около направления
момент времени t. Åñëè
динатах, то
÷òî
= dμdϕ.
dΩ
и энергией Е в момент времени t.
Ω
nr EtdVd dE(, , ,)
ΩΩ
dV dxdydz=
(рис. 3.1), в интервале энергий dE â
Ω
Ω
dddΩ=sin θθϕ
выражено в сферических коор-
. Часто
nr Et(, , ,)
Ω
. Она определяет
с направле-
r
есть число нейтронов в
в окрестности точки
обозначается μ, òàê
cos θ
, èìå-
r
dΩ
Интеграл от плотности нейтронов по всем направлени-
ям называется полной плотностью нейтронов:
π
nrEt nr Etd nr Etd d(, ,) (, , ,) (, , ,) .
==
Она определяет число нейтронов всех направлений в
единице объема в точке
ΩΩ Ωμϕ
π 021
4
с энергией Е в момент времени t.
r
1
∫∫∫
−
43
n
0
Рис. 3.2. Единичный вектор
перпендикулярен к элементу
поверхности dS
v
dS
Произведение скорости
ности нейтронов называется век-
торным потоком
Его абсолютная величина, т.е.
vn r E t(, , ,)
Ω
нейтронов
называется потоком
Ô( , , , ).
rEtΩ
Поток нейтронов – это число
нейтронов в точке
и направлением
Ω
ìåíè t, которые пересекают в
è ïëîò-
υ
vn r E t(, , ,)Ω
ñ ýíåð ãèåé Е
r
в момент вре-
.
еди ницу времени поверхность
сферы с единичным диаметральным сечением. Тогда
Ô( , , , )
rEtddEΩΩ
в интервале от Е äî Е + dE, которые в элементе телесного
óãëà
поверхность сферы с единичным диаметральным сечением.
пересекают в направлении
dΩ
Åñëè
n
0
менту поверхности dS (ðèñ. 3.2), òî
– число нейтронов в точке
за единицу времени
Ω
– единичный вектор, перпендикулярный к эле-
ndSvnr Et
0
с энергиями
r
(, , ,)Ω
– ÷èñ-
ло нейтронов, пересекающих элемент поверхности в единицу времени (пересечение считается отрицательным,
åñëè
ndSv
0
< 0).
Интегрирование по всем направлениям дает суммарное
число нейтронов, пересекающих площадку в единицу времени. Таким образом, суммарное число нейтронов, пересекающих dS, равно
ndS vnr Etd
0
∫
4π
Интеграл в этом выражении называется током нейтро-
нов* и обозначается
ΩΩ Ω ΩΩ
∫∫
ΩΩ
= ddrEtΩΩ=
Ω
J (, ,)rEt
nr Etd v nr Et
(, ,) (, ,)
ΩΩ
∫
rEt
(, ,)
Ô
(, , ,) .ΩΩ
, òàê ÷òî
==
J (, ,),
* Согласно ГОСТ 19849–71 эта величина называется плотностью
потока нейтронов (соответственно плотностью тока нейтронов). Однако здесь употребляется термин «поток нейтронов» (соответственно «ток
нейтронов»), поскольку данный термин используется большинством
специалистов до настоящего времени.
44
ãäå
– суммарное число нейтронов энергии Е в точке
J
,
r
пересекающих единичную поверхность в единицу времени. Таким образом, ток нейтронов – это вектор, имеющий
в каждом направлении проекцию, равную суммарному
числу нейтронов, пересекающих единичную поверхность,
перпендикулярную к этому направлению, в единицу времени для данных значений энергии, времени и в данной
точке.
Для описания процессов взаимодействия нейтронов с
ядрами вводят понятие плотности столкновений:
FrEt E rEt(, ,) ( ) (, ,).
=
Φ
∑
Плотность столкновений – это число столкновений в
единице объема в единицу времени, где
ΦΦΩΩ
(, ,) (, , ,) .
rEt r Etd=
∫
Ω
Если рассматривать нейтроны только одного направления, то для них плотность столкновений запишется в следующем виде:
Fr Et E r Et(, , ,) ( ) (, , ,).
ΩΦΩ=
∑
Очевидно,
FrEt r Etd(, ,) (, , ,) .
=∫ΦΩ Ω
Ω
3.2. Закон Фика
Если плотность нейтронов
му объему вещества, то происходит перемещение нейтро-
нов из областей с большой плотностью в области с меньшей плотностью. Различие в нейтронных плотностях
является причиной возникновения диффузионного тока
нейтронов.
Представим среду, в которой отсутствуют источники нейтронов, а имеющиеся нейтроны распределены по известному закону с плотностью
nrt(,)
не постоянна по все-
nrt(,)
. Выделим малую площад-
45
J
z
dV
r
θ
dθ
dS
Рис. 3.3. Расположение элемента объема dV и площадки dS
0
dϕ
y
dr
x
ку в плоскости ху, проходящую через начало координат
(рис. 3.3). В сферических координатах
dV r dr d d=
2
sin θθϕ
элемент объема
r,,θϕ
имеет координаты
xr y zr===sin cos , sin sin , cos .θϕ θϕ θ
Подсчитаем, сколько нейтронов пройдет через площадку dS из верхнего полупространства в нижнее за промежуток времени от t äî t + dt.
Введем следующие допущения:
1) в рассматриваемой среде сечение захвата
жимо мало по сравнению с сечением рассеяния
пренебре-
Σ
a
Σs()ΣΣ
<<
as
;
2) рассеяние изотропно в лабораторной системе координат х, у, z, т.е. любое направление движения нейтронов
от рассеивающего ядра равновероятно;
3) среднее время между двумя последовательными соударениями
(/)τ=l
ничтожно мало по сравнению со
υ
s
временем, в течение которого заметно изменяется распределение нейтронов в веществе;
4) на расстояниях до трех длин свободного пробега
нейтронный поток Ф с достаточной точностью описывается членами нулевого и первого порядков в разложении
по степеням r ряда Маклорена.
46
Полагаем, что в произвольно выбранном бесконечно
малом объеме dV происходят столкновения, после которых часть нейтронов может пройти через площадку dS из
верхнего полупространства в нижнее. Очевидно, что площадку dS могут пройти только те нейтроны, соударения
которых произошли в элементе dV в интервале времени
от (
tr− /
) äî (
υ
tr− /
+ dt), ибо для прохождения рас-
υ
стояния r от объема dV до площадки dS (см. рис. 3.3) нейтрону требуется время, равное
r /
.
υ
Общее число столкновений в элементе dV за время от
(
tr− /
) äî (
υ
tr− /
+ dt) составит
υ
ΣΦsrt r dVdt(, / ) .
−
υ
Из этого количества ввиду допущения 2), в направлении площадки dS рассеется
dS
cos
2
r
π4
θ
(, / )
ΣΦ−
s
rt r dVdt
υ
(3.1)
нейтронов,
dSrcos θ
ãäå
– телесный угол, под которым видна площад-
2
π4
êà dS из рассеивающего центра.
Часть из этих нейтронов на пути к площадке dS может
выбывать в результате рассеяний и поглощений. Если величину (3.1) умножить на вероятность прохождения ней-
тронами расстояния r без столкновения
−+
()
e
r
∑∑
sa
, получим число нейтронов, достигших в интервале времени от t
äî t + dt площадки dS, а следовательно, прошедших через
эту площадку:
dS
cos
θ
2
r
π4
r t r r dVdt
(, / )exp{( )} .
ΣΦ Σ Σ
ssa
−−+
υ
(3.2)
Полное число нейтронов, которые пройдут площадку
из верхнего полупространства, можно найти, если выражение (3.2) проинтегрировать по верхнему полупространству, т.е.
Σ
dSdt
s
4
π
∫
По верхнему
полупроостранству
θcos
(, / )exp{( )}
ΦΣΣ
rt r rdV
2
r
υ
−−+
sa
(3.3)
.
47
Считаем, что среда однородная и
не зависит от ко-
Σ
s
ординат.
В силу допущения 3) можно принять
ΦΦ(, / ) (,)
rt r rt−=
υ
, (3.4)
а согласно допущению 4)
⎛
ΦΦ
(,) ,
rt x
=+
0
ΦΦΦ
∂
⎛
⎞
⎜
⎝
+
⎟
x
∂
⎠
0
⎞
∂
y
⎜
⎟
y
∂
⎝
⎠
∂
⎛
⎞
∂
⎟
z
⎠
(3.5)
0
z
+
⎜
⎝
0
где индекс «0» означает, что соответствующие величины
берутся в начале координат, т.е. в месте расположения
площадки.
В соответствии с допущением 1) величиной
прене-
Σ
a
брегаем:
ΣΣΣ
+=.
as s
(3.6)
Если выражение (3.3) поделить на dS è dt, то получим
число нейтронов, пересекающих единичную площадку в
единицу времени в направлении –z. Это диффузионный
ток в направлении –z, который обозначим
упрощений (3.4)–(3.6) запишем выражение для
. С учетом
J
–
â ñôå-
J
–
рических координатах:
π
/
2
π
∞
Σ
J
=+
–
2
s
π
0
⎛
++
z
⎜
⎝
ϕθ
dr d d x
0
⎤
∂
Φ
⎞
⎥
⎟
∂
z
⎠
0
⎦
⎡
Φ
⎢
∫∫∫
0
exp cos sin .θθ
0
⎢
⎣
−+
ΣΣ
()
{}
as
∂
ΦΦ
⎛
⎜
∂
x
⎝
r
⎛
⎞
⎞
⎟
⎠
∂
+
y
⎜
⎝
0
+
⎟
∂
y4
⎠
0
(3.7)
Члены, содержащие х è у в (3.7), дают при интегрировании нуль. В результате получаем
48
∞
⎡
Σ
s
J
–
+
⎢
exp cos sin=−
Ô
0
π
4
⎢
0
⎣
∞
∂
Ô
⎛
⎞
rrdrd d
exp cos sin
⎟
⎜
dz
⎠⎠
⎝
0
0
Σ
()
−
Σ
()
s
Ô
0
=+
416
2
π
rdr d d
s
Σ
ϕθθθ
∫∫∫
0
0
/
π
2
π
2
ϕθθθ
0
∂
Ô
⎛
⎜
∂
⎝
s
2
∫∫∫
0
⎞
.
⎟
zz
⎠
0
+
⎤
⎥
=
⎥
⎦
(3.8)
2
/
π
Плотность тока нейтронов
в направлении +z íàõî-
J
+
дится таким же образом, если интегрирование по
проводить от
/2 до π (т.е. только по нижнему полупро-
π
странству). Тогда
â (3.8)
θ
Φ
J
0
=−
+
416
Результирующая плотность тока нейтронов
тельном направлении оси z равна разности между
JJJ
z
–.
==−
+
–
∂
Φ
⎛
⎞
⎜
Σ
⎝
s
1
3
Σ
.
⎟
∂
z
⎠
0
в положи-
J
z
è
J
J
+
–
∂
Φ
⎛
⎞
⎜
⎟
z
∂
⎝
⎠
s
0
Аналогично можно найти
⎛
∂
1
Φ
⎛
JJ
=−
x
3
Σ
⎞
; .
⎜
xy
∂
⎝
s
y
⎟
⎠
0
=−
1
3
Σ
⎞
∂
Φ
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
s
0
Элементарная площадка может быть ориентирована так,
что нормаль образует с осями х, у, z óãëû α, β, γ соответ-
ственно. В этом случае плотность тока нейтронов
сквозь
J
эту площадку равна сумме проекций трех компонентов
потока:
J =−
⎡
∂
1
ΦΦΦ
⎛
⎞
⎢
⎜
3
Σ
⎝
⎢
s
⎣
cos cos cosαβγ
⎟
∂
xyz
⎠
0
⎛
⎞
∂
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
0
∂
⎛
⎞
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
⎤⎤
.
⎥
⎥
0
⎦
Таким образом, результирующий (или диффузионный) ток нейтронов сквозь единичную площадку является
векторной величиной. Полученное выражение для
ставляет собой скалярное произведение двух векторов
è
J
n
0
ваемой элементарной площадке, т.е.
k+ cos ,γ
, ãäå
a
– единичный вектор нормали к рассматри-
n
0
=++cos cosαβ
ni j
0
ïðåä-
J
ãäå
Ds=
J =−
1
– коэффициент диффузии для потока.
3Σ
1
s
grad
Φ
èëè
J =− ∇D Φ
3Σ
(3.9)
49
Поскольку
Φ=n
, то (3.9) можно записать в виде
υ
J =− ∇Dn
, (3.10)
0
ãäå
DD
0
– коэффициент диффузии.
=
υ
Выражение (3.10) носит название закона Фика. Õîòÿ
скалярная величина плотности потока Ф и диффузионный
, имеют одну и ту же размерность, между ними суще-
òîê
J
ствует принципиальное различие: плотность потока Ф
пропорциональна плотности n и указывает число нейтронов, пересекающих единичную площадку по всем направлениям в единицу времени в данной точке про странства.
Диффузионный ток
– вектор, показывающий, в ка-
J
ком направлении и сколько нейтронов перетекают через
единицу площади в единицу времени в данной точке пространства вследствие встречных составляющих плотности
потока Ф по этому направлению. Если в какой-то области
пространства нейтронная плотность не зависит от пространственных координат, то
= 0, тогда как
J
Φ=n
.
υ
Замечание. В формуле (3.3) под знаком интеграла
находится экспоненциальный множитель
exp{ ( ) }.−+ΣΣ
sa
r
Этот множитель быстро убывает с ростом r (т.е. по мере
удаления от площадки dS), а потому основной вклад в
число нейтронов, проходящих через площадку, дают рассеивающие центры, расположенные в непосредственной
близости от площадки dS. Можно считать, что на расстояниях, превышающих три длины свободного пробега
ll
=+/( )ΣΣ
sa
, функция
exp{ ( ) }−+ΣΣ
sa
спадает практи-
r
rl> 3
,
чески до нуля (более чем в 20 раз). Этим и определяется
допущение 4).
Наличие экспоненциального множителя дает возможность распространить полученные закономерности на конечные объемы и среды с локальными неоднородностями и
при наличии распределенного источника нейтронов при
условии, что границы сред, локальные неоднородности удалены от исследуемых точек на расстояние более трех длин
свободного пробега, а плотность нейтронов источника намного меньше плотности рассеивающих столкновений.
В противном случае разложение функции в ряд Тейлора
может оказаться слишком грубым прибли жением.
Закон Фика является основным предположением элементарной теории диффузии.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]