Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
Наличие второго члена объясняется анизотропностью
упругого рассеяния. Подставляя значения
ΦΩ(, ,)
rt
è
g()μ
0
в односкоростное кинетическое уравнение (3.11) в случае
стационарной задачи, получаем
1
ΩΦ Ω ΣΦ Ω
=
Ω
⎡
∇+
Σ
∫
′
00
⎣
ππ
4
1
⎡
ss
⎣
ππ
4
() () () ()rr rr
() () (, ).
000
3
JJ
rr dSr
3
+
J
1
⎤
++
⎦
⎤
⎦
⎡
t
⎣
4
1
4
μμΦΩ ΩΩ
13
+
()
⎤
3
′
=
⎦
+
(3.19)
Данное уравнение сводится к системе двух уравнений.
Для этого проинтегрируем его по Ω
те получим первое уравнение системы:
div ( ).
J +=+ΣΦ ΣΦ
ts
00
div ( ),
Sr
J +=ΣΦaSr
ãäå
Sr Sr d() (, )
=
∫
Ω
Замечание. По физическому смыслу
почленно. В результа-
Поскольку
0
(3.20)
.
ΩΩ
ΣΣΣ
=+
tas
div
, òî
представ-
J
ляет собой утечку нейтронов в процессе диффузии в единице объема среды за единицу времени (см. § 5.2).
Второе уравнение системы получим умножением (3.19)
íà
и последующим интегрированием по Ω:
Ω
1
∇+ = +ΦΣ Σ
3
JJμ (),
001
ts
Sr
ãäå
Sr Sr d
() (, ) ,=
1
∫
Ω
ΩΩΩ
èëè
1
∇+ + −
3
⎡
001
as
⎣
1
⎤
J
⎦
Sr() ();μ
=ΦΣΣ
поскольку
ΣΣ Σ
+−=()10μ
as tr
следующий вид:
, то уравнение будет иметь
61
1
∇+ =ΦΣtrSr
01
3
J ().
(3.21)
Таким образом, односкоростное кинетическое уравнение в Р
-приближении свелось к системе двух уравнений:
1
div ( );
J+
ΣΦ
a
1
∇+ =
ΦΣ
3
tr
01
J
0
=
Sr
Sr
().
(3.22)
В процессе интегрирования использованы следующие
соотношения (Прил. 1):
dΩΩ=∫4π
;
ΩΩΩ Ω
(,)d =∫0
Ω
;
ΩΩ
Ω
d =∫0
ΩΩ Ω
(,) ; div,Ad A=∇=
∫
Ω
ãäå
– любой, не зависящий от
A
;
μθ
==cos ( , )ΩΩ
0
43π
JJ
вектор. При изотроп-
Ω
; (3.23)
ности источников
Sr Sr(, ) ();
Ω=
1
4π
===
Sr Sr d
1
ΩΩΩ Ω Ω
∫∫
ΩΩ
()
Sr
4
π
.
0() (, )
d
Тогда система уравнений (3.22) в Р1-приближении переходит в уравнения диффузионного приближения:
div ( )
J +=ΣΦaSr
1
∇+ =ΦΣ
0
3
0
J .
tr
;
(3.24)
0
Это частный случай Р1-приближения, т.е. Р1-приближение более точное, чем диффузионное.
62
Данная система легко сводится к одному уравнению.
Для этого из второго уравнения находим
и его значение
J
подставляем в первое уравнение:
J =− ∇
1
3
Σ
.
Φ
0
tr
В результате получаем закон Фика:
ãäå
Dtr=
Подставляя
3Σ
1
.
J
−∇
J =− ∇D Φ
в первое уравнение системы, получаем
ΦΣΦ
[]
00
,
0
+=div ( ).DSr
a
Для однородных сред коэффициент диффузии не за-
висит от координат, поэтому
−∇+ =DSr
div[ ] ( ),ΦΣΦ
a
00
èëè
DSr
Δ− + =ΦΣΦ
a
00
(3.25)
0() ,
т.е. мы получили уравнение диффузии моноэнергетических
нейтронов. Это уравнение баланса нейтронов для единичного объема среды:
Утечка – Поглощение + Образование = 0.
Решение уравнения диффузии позволяет найти распре-
деление плотности потока нейтронов в среде.
При решении конкретных задач оператор Лапласа целесообразно представить в наиболее удобных для данной
задачи системах координат:
сферической:
2
Δ=
∂
∂
r
∂
21 1
+
22 222
∂
rr
+
rrsin
∂
⎛
⎜
∂
θ
⎝
sin
∂
⎞
+
θ
⎟
∂
θ
⎠
sinθ
∂
∂
θϕ
;
цилиндрической:
Δ=
2
11
∂
r
∂
∂
+
22
rr
∂
+
rzθ
∂
2
∂
2
2
∂
;
+
2
∂
63
прямоугольной:
2
∂
Δ=
2
∂
xyz
2
∂
+
∂
2
∂
.
+
2
2
∂
A
B
Уравнение диффузии является
диф ференциальным уравнением в
частных производных второго по-
x
рядка, поэтому общее решение дан-
Рис. 3.7. Граница раздела
ñðåä А è В
ного уравнения содержит две постоянные интегрирования. Для
оты скания значений постоянных
при решении уравнения диффузии необходимо использовать соответствующие граничные условия. Количество
этих условий должно быть достаточным для обеспечения
единственности решения, которое не должно содержать
произвольных постоянных. Чаще всего используют следующие граничные условия:
1) в среде, где применимо уравнение диффузии, поток
нейтронов
всюду конечен и положителен;
Φ()r
2) на границе раздела двух сред (рис. 3.7), имеющих
различные диффузионные характеристики, плотности тока
и потоков нейтронов должны быть непрерывны:
JJJJ
==;;
dx
dx
––
Dd
Dd
;
dx42 42
.
dx42 42
ABAB++
ΦΦΦΦ
Dd
AAA BBB
−=−
ΦΦΦΦ
Dd
AAA BBB
+=+
Складывая эти равенства, получаем
ΦΦ
AB
, а вычитая,
=
имеем
d
ΦΦ
D
A
A
dx
d
B
D
=
B
,
dx
где величины с индексами А è В относятся к соответствующим средам;
3) для симметричных тел распределение потока нейтронов по координатам симметрично относительно осей
симметрии и плоскостей симметрии;
64
Φ
Φ
Граница
Φ
0
0
границе
α
m
d
x
Φ
Рис. 3.8. Экстраполированная граница; m-касательная к потоку на
Рис. 3.9. Длина экстраполяции в
соответствии с кинетической и диф-
1 – распределение потока в реакторе;
2 – касательная на границе реактора;
3 – касательная на расстоянии l
1
3
l
tr
2
0
фузионной теориями:
границы реактора
d=0,71l
d=0,66l
tr
tr
îò
tr
4) на границе диффузионной среды с вакуумом плот-
ность потока нейтронов
обращается в нуль на
Φ()r
экстра полированной границе (рис. 3.8). По физическому
смыслу из вакуума потока нейтронов нет, следо вательно,
ΦΦ
Dd
J
000
=+
–
42
dx
è
Φ
0
20+=D
Φ
d
0
.
dx
Решая это уравнение, находим
Φ
Φ
=− +
2D
0
Φ
d
⎛
⎞
x
⎜
dx
⎝
.
d
⎟
⎠
0
x
Ïðè
dD= 2
Φ()d = 0
. Поток нейтронов обращается в
нуль на экстраполированной границе, находящейся на расстоянии d от физической границы реактора.
Расстояние d, на котором поток Ф обращается в нуль,
называется длиной экстраполяции. В действительности поток нейтронов не обращается в нуль. Это условие является математическим приемом, который позволяет правильно определить распределение нейтронов только внутри
реактора. Решение кинетического уравнения для области
65
вблизи плоской границы реактора дает значение длины
линейной экстраполяции (рис. 3.9):
dl
= 071,.
tr
Замечание ко второму граничному услов и ю. Поток и ток нейтронов непрерывны за исключе нием случая, когда на границе расположен источник и
разрыв значений тока равен интенсивности (мощности)
источника:
JJ
−=
xx
+−
Q() ()00
.
Это условие называют условием скачка.
Обсудим применимость диффузионного приближения:
поток Ф был разложен по степеням
с точностью до двух
Ω
первых членов разложения, что можно делать для сред с
малой анизотропией. В случае сильной анизотропии среды диффузионное приближение неприменимо. Это касается среды с большим сечением поглощения или среды,
сечения которой быстро изменяются с расстоянием, вблизи границ. В данных случаях уравнение диффузии должно быть заменено кинетическим уравнением или введены
специальные граничные условия.
Итак, уравнение диффузии применимо, если поток незначительно изменяется на расстояниях порядка длины
рассеяния, т.е. выполняется условие
Φ
d
l
s
dx
.
Φ<<
Это условие нарушается: 1) в месте сильного поглотителя; 2) на границе с вакуумом; 3) на границе с сильно
поглощающей средой.
Применим уравнение диффузии для определения пространственного распределения нейтронов и рассмотрим
решение уравнения диффузии для некоторых наиболее
характерных случаев.
3.5. Точечный источник в бесконечной среде
Если нейтронный источник точечный, находится в бесконечной однородной среде и испускает нейтроны с рав-
66
ной вероятностью по всем направлениям, то
ΦΦ() ()
rr=
Пусть изотропный источник имеет мощность Q, т.е. испускает Q нейтронов в секунду. Начало координат совместим с источником. Поскольку ни в одной из точек среды,
кроме
исключением точки расположения источника
, нейтроны не возникают, то для всей среды, за
r = 0
S = 0
, уравнение диффузии применимо. Если учесть, что поток не
зависит от углов
и ϕ (сферическая симметрия), то урав-
θ
нение диффузии (3.25) можно записать в виде
.
Σ
Φ() () ;r
ra0
D
2
0
. (3.26)
ãäå
Dr r
Δ− =ΦΣΦ() () ;0
Δ− =ΦΦ() () ;r
D
L
=
называют длиной диффузии, èëè
Σ
a
2
Δ− =Φ
Δ− =ΦΦ() () ,rrχ
1
3=ΣΣ
tr a
a
r10
2
L
L
В сферических координатах уравнение диффузии име-
åò âèä
L
2
0
rΦΦ()() ,
11
d
dr
⎡
2
r
⎢
2
dr
⎣
r
⎤
−=
⎥
dr
⎦
èëè
2
d
11
rr
[]
22
r
dr
−=
rΦΦ() () .
0
L
Общее решение данного дифференциального уравнения:
//
rL rL
Φ() ,
rArB
ee
=+
−
r
ãäå А è В – произвольные постоянные, которые определя-
ются из граничных условий. Поскольку поток должен
быть конечным и неотрицательным во всех областях, то
должно быть А = 0. Тогда плотность потока от точечного
источника будет определяться выражением
67
/
rL
−
Φ() .
e
rB
=
r
По физическому смыслу вектор
правлен по радиусу, т.е.
JJ() ().rr=
J()rD
=−
в каждой точке на-
J
В этом случае
d
Φ
.
dr
Подставляя вместо Ф его значение, получаем
J() .
BD
r
=+
e
rLr
rL
−
/
11
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
Количество нейтронов, протекающих за 1 с через сфе-
ру радиуса r, равно
2
441
ππrr DB
⋅= −
J() .
e
rL
−
/
r
⎛
⎞
⎜
⎟
L
⎝
⎠
Поскольку
òî
BQ D= /4π
lim ( )
r
→
2
rrQ DB
44ππJ
0
==
. Следовательно, распределение плотности
,
потока нейтронов от точечного источника в бесконечной
однородной среде описывается формулой
Φ() .
Q
r
=
4π
Источник может располагаться в точке с координатами
, поэтому общее выражение для
r
0
Φ() .
Q
r
=
Dr
4
π
Dr
e
/
rL
−
e
Φ()r
rr L
−−
0
rr
−
(3.27)
имеет вид
/
(3.28)
0
Постоянную В можно определить также из условия,
что в стационарном состоянии все нейтроны, испущенные
источником, должны поглощаться в среде, т.е.
68
∞
B
QdV
== = =
ΣΦ Σ Σ Σ
a
∫∫ ∫
V
−−
a
r
0
2
rl
//
rdrB rdrBL
44 4ee
∞
rl
a
0
отсюда
2
,ππ π
a
B
Q
==
4
ππΣ
a
Q
2
L
.
D
4
3.6. Плоский источник
Рассмотрим источник нейтронов в виде бесконечной
пластины в плоскости х = 0, который испускает нейтроны
в бесконечную однородную среду. Удельная мощность источника равна Q (ðèñ. 3.10).
Вследствие плоской симметрии плотность потока нейтронов зависит только от координаты х. Поэтому уравнение диффузии (3.25) записывается таким образом:
2
dx
ΦΦ()
dx L
Общее решение уравнения, справедливое для областей,
удаленных от начала координат, имеет вид
Φ() e e .
xA B
Поскольку задача симметрична, то можно рассматривать решение только для х > 0. Из условия конечности
потока
A = 0
è
Φ() e .
xB
=
Для изотропного источника ток
нейтронов при
x → 0
равен поло-
вине удельной мощности источника, т.е.
1
x
22
=+
−
() .−=
//
xL xL
/
xL
−
Q/ 2
0
Q/ 2
1
lim ( ) lim
xDB
=
J e
→→
00
xx
⎛
⎜
L
⎝
DBLQ
==
,
2
−
xL
⎞
/
=
⎟
⎠
Рис. 3.10. Плоский источ-
ник в бесконечной среде
0
x
69
отсюда
QL
B
D=2
è
ΦΣ() .
QL
x
==
22
//
xL xL
−−
ee
D
Q
L
(3.29)
2
Если источник расположен в плоскости х0, то общее вы-
ражение для распределения потока нейтронов имеет вид
Φ() .
QL
x
=
e
D
2
xx L
−−
0
/
(3.30)
3.7. Плоский источник в среде конечной толщины
Плоский источник испускает нейтроны, удельная мощность его равна Q (рис. 3.11). Для плоской симметрии
Ф является функцией координаты х; d – половина толщины слоя. Запишем уравнение
2
d
dx L
Решение имеет вид
среда конечной толщины, нуж но использовать новое гра-
Φ
d
∋
1
d
0
Рис. 3.11. Плоский источник в
среде конечной толщины:
1 – граница среды; 2 – экстра по ли-
a
рованная граница
1
Φ
22
Φ() e e .
xA B
=+
0
Φ−=.
//
xL xL
−
Поскольку
ничное условие – обращение
потока в нуль на экстраполированной границе:
2
Φ()a = 0
(),add=+
тогда
//
Φ() e e ;
аA B
x
аL аL
=+ =
АB
=−−e.
−
aL
/2
При подстановке А â âûðà-
жение для потока получим
/()/
xL аx L
Φ() [e e ].
xB
−−−2
=−
ý
0
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]