Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
2. Если ширина резонанса ΔE больше, чем потеря энергии нейтронами при столкновении, то все нейтроны поглотятся и
для всех энергий, меньших или равных
ϕ=0
границе резонансной области.
Упражнения
1. Нейтрон с энергией 2 МэВ сталкивается с ядром углерода.
Определить минимально возможную энергию нейтрона после
столк новения.
2. Определить число столкновений нейтрона с ядрами
замедления его энергии от 2 МэВ до 0,025 эВ.
3. Нейтрон с энергией 1 МэВ столкнулся с ядром
чего он отклонился от своего первоначального направления на угол
o
. Определить энергию нейтрона после столкновения.
30
4. Рождающиеся нейтроны имеют энергию 2 МэВ. В качестве
замедлителя используется графит. Определить энергию, при которой можно считать, что плотность столкновений принимает асимптотическое значение.
5. Нейтроны замедляются в бериллиевом замедлителе, в котором равномерно размещен резонансный поглотитель с параметрами
резонанса Е
замедления нейтронов ниже энергии Е
= 1 êýÂ, Е2 = 0,5 êýÂ,
1
Определить вероятность
σa=∞.
.
2
23
N
16
äëÿ
O
8
, после
111
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ВОЗРАСТА
5.1. Сущность теории возраста
Основной задачей расчета ядерного реактора является
определение пространственно-временного распределения
нейтронов всего спектра энергий, которое получается вследствие их диффузии при замедлении от энергии рождения
Е
до тепловой энергии.
0
Среднее расстояние, на которое сместится нейтрон при
замедлении, существенно влияет на размеры активной зоны. Чем больше это расстояние, тем больше критические
размеры реактора. Пространственное распределение важно для определения критических размеров реактора.
Метод теории возраста относится к замедлителям с большим массовым числом.
Пусть какой-нибудь нейтрон испускается с энергией
Е
. Некоторое время он движется с постоянной энергией,
0
а столкнувшись с ядром, теряет ее. С новой энергией нейтрон движется дальше до следующего столкновения и т.д.
Потери энергии в процессе одного акта столкновения
зависят только от природы замедлителя. Чем легче замедлитель, тем больше при этом теряется энергии. Потеря
энергии нейтрона при столкновении в логарифмических
единицах не зависит от энергии нейтрона и равняется
среднелогарифмическому декременту энергии для данного замедлителя (рис. 5.1, кривая 1). На данном рисунке
горизонтальные участки показывают энергию нейтрона до
следующего столкновения, длина участка – время между
столкновениями, высота участка – среднелогарифмический декремент энергии ξ. Этот график показывает поведение одного среднего нейтрона. Каждый из нейтронов
ведет себя отлично от других, даже если они испущены с
одной энергией.
112
В процессе столкновения нейтрон может или вообще не потерять энергию, или потерять
только часть ее. Для водорода
lnE
lnE
ξ
0
1
2
максимальная потеря энергии
со ставляет 100%, для гра фита – 27%.
Если замедлитель тяжелый,
то среднелогарифмическая потеря энергии очень мала. Вы сота – «ступенька» (см. рис. 5.1) –
значительно меньше, чем само
значение ln E, и эту ступенча-
0
Рис. 5.1. Изменение энергии
нейтронов во времени:
1 – фактическое изменение энергии; 2 – изменение энергии по
теории возраста
t
тую кривую можно заменить
плавной кривой, которая описывает в среднем поведение
всех нейтронов, находящихся в активной зоне (рис. 5.1,
кривая 2).
Представление изменения энергии нейтронов при замедлении в виде плавной кривой (непрерывное замедление) и составляет сущность метода теории возраста. Очевидно, что чем больше масса ядра замедлителя, тем точнее
метод.
5.2. Уравнение возраста при отсутствии поглощения
Выведем дифференциальное уравнение, описывающее
непрерывное замедление нейтронов в непоглощающих
средах.
Будем полагать, что все нейтроны, испущенные с некоторым спектром энергии, по истечении времени t èìå-
ют одну и ту же летаргию и. Найдем связь между изменением летаргии за некоторое время dt и затем используем
это для вывода уравнения пространственного распределения нейтронов. Пусть
нейтронов, l
– длина их пробега между двумя последова-
s
– некоторая средняя скорость
υ
тельными столкновениями. Тогда число столкновений в
υ
течение времени dt равно
dt
. Если нейтрон в процессе
l
s
одного столкновения теряет энергию (логарифмическую)
òî çà dt общая потеря энергии (логарифмической) со-
ξ
ставит
113
dt
n
0
dS
Рис. 5.2. Элемент поверхности
dS на поверхности S, ограни-
чивающий объем V
S
V
−=dE
ln ,ξ
а в единицах летаргии
du
=ξ
Подсчитаем убыль нейтро-
υ
l
s
dt
υ
. (5.1)
l
s
нов из объема V за время dt â
результате диффузии. Обозначим через S поверхность,
ограничивающую объем V, à
– вектор единичной внеш-
n
0
ней нормали к элементу поверхности dS (ðèñ. 5.2).
В направлении внешней нормали через площадку dS çà
время dt выбывает следующее количество нейтронов:
J
n
ãäå
– ток нейтронов в направлении нормали
J
n
ÔdSdt n D r t dSdt=− ∇
0
(,)
,
.
n
0
Чтобы подсчитать количество нейтронов, выходящих
из объема V через всю поверхность S за время dt, нужно
проинтегрировать по замкнутой поверхности S. В результате имеем
dt n D r t dS
–(,).
∇
[]
∫
S
Ô
0
Переводя поверхностный интеграл в объемный по формуле Гаусса – Остроградского, получим
dt n D r t dS dt D r t dV
– (,) – (,) .
∇
[]
∫∫
SV
ÔÔ
0
=∇∇
[]
Скорость изменения количества нейтронов в объеме V
запишется в виде
ãäå
dn r t
(,)
−
∫∫
∂
t
VV
– плотность нейтронов.
nrt(,)
=∇−∇
dV D r t dV
[]
Ô
(,)
,
Тогда скорость изменения количества нейтронов в единице объема
114
∂
nrt
(,)
∂
=∇ Δ
t
Drt
(,).
Ô
Если среда однородна, то D является функцией только
энергии и скорость убывания нейтронов
– оператор Лапласа.
ãäå
Δ
Если от потока
∂
nrt
(,)
∂
t
Ô( , )rt
∂
nrt
(,)
∂
t
=Δ
перейти к плотности
=Δ
Drt
Ô
Dnrt
υ
(5.2)
(,),
(5.3)
(,).
nrt(,)
òî
Замечания.
Выражение (5.2) можно было получить также из 1.
уравнения диффузии для нестационарного случая при
условии, что нет поглощения и источников.
Скорость изменения числа нейтронов (5.2) можно 2.
записать и в виде
∂
nrt
(,)
∂
=∇ Δ = ∇ =
Drt rt rt
(,) – (,) (,),
ÔdivJJ
t
т.е. скорость убыли числа нейтронов в единице объема
при диффузии равняется дивергенции тока нейтронов.
Перейдем от переменной t к переменной и. Количество
нейтронов, покидающих единичный объем за время dt,
равно
nrtdt nrudu(,) (, )
=
,
так как они все имеют летаргию от и äî u + du. Можно
найти
nrt nru
(,) (, ) .
=
du
dt
С учетом (5.1) получим
nrt nru
(,) (, ) .
=ξ
υ
(5.4)
l
s
115
Запишем формальное тождество
∂
nrttutnrt
(,) (,)
∂
=
∂∂∂
,
∂
u
а с учетом (5.1) имеем
∂
nrt
(,) (,)
∂
tl
∂
nrt
υ
=
ξ
s
. (5.5)
∂
u
С помощью (5.4) и (5.5) запишем дифференциальное
уравнение
∂
nrt
(,)
=
∂
ξξ
tlul
Используя (5.3) и заменяя
⎡
∂
υυ
⎢
∂
ss
⎣
nrt(,)
получаем
⎡
υυ
∂
ξξ ξ
lu l
∂
ss s
Подставив
ξξ ξ
Поскольку
nru
⎢
⎣
l
=
s
1∑∂
u
∂
s
ξΣsru qruÔ( , ) ( , )
⎤
(, )
⎥
⎦
1
è
∑
s
nru D nru(, ) (, )
∑
[]
ss
nrt
∂
(,)
=
Ô( , ) ( , )
=
=
t
∂
ru nru=
υ
=∑
υ
Δ
– плотность замедле -
íèÿ, òî
Δqru
(, )
Введя новую переменную
∑
ξ
qru
(, )
∂
s
=
D
∂
:
τ()u
⎤
nru
. (5.6)
(, )
⎥
⎦
, с помощью (5.6)
⎡
D
υ
υ
Δ
⎢
l
⎣
nru
(, )
⎤
.
⎥
⎦
, запишем
[]
.
.
u
116
∂
τξuD
=
∂
,
Σ
s
окончательно получим
Δqru
(, )
=
qru
(, )
∂
∂τ
. (5.7)
Введенная величина
называется символическим
τ()u
воз растом. Само дифференциальное уравнение (5.7) на-
зывается уравнением возраста и определяет пространствен но-временное распределение нейтронов в какой-то
непоглощающей среде. Возраст непосредственно связан с
хронологическим временем.
По определению
u
D
τξ()u
=
∫
0
. (5.8)
du
∑
s
Подставляя du из (5.1), получаем
tt
τ= =
Ddt Ddt
υ
∫∫
0
,
0
0
ãäå D – коэффициент диффузии для потока нейтронов;
– коэффициент диффузии.
D
0
Подставив среднее значение
t
1
=
DDdt
00
τ
,
∫
0
выражение для возраста запишем так:
τ=Dt0.
Следовательно, возраст нейтронов пропорционален хронологическому времени и равен произведению среднего
коэффициента диффузии на это хронологическое время.
dE
Заменив
du
=−
в (5.8), можно выразить τ в зависи-
E
мости от энергии:
E
0
τξ()E
=
DdE
∫
∑
E
.
E
s
117
Аналогично можно выразить и основное дифференци-
альное уравнение в зависимости от энергии.
5.3. Решение уравнения возраста
в случае плоского источника нейтронов
Плоский источник с единицы поверхности в единицу
времени в одном направлении испускает Q нейтронов.
Координатную плоскость y0z совместим с плоскостью источника (рис. 5.3). Начальные и граничные условия можно записать с помощью дельта-функции.
Поскольку возраст нейтронов источника равен нулю,
то распределение источников при любом значении координаты x и возраста
можно записать так:
τ
,
ãäå
δδ() ()xtè
qx Q x t(,) ()()τδδ=
– дельта-функции, имеющие следующие
свойства:
10 0 1 0
)() ; () ;
δδ
xxxx
=≠==
ïðè ïðè
∞
21
)() ;
δ
xdx
∫
−∞
∞
3
)()()
fx x
∫
−∞
∞
4) ( ) ( ) ( )fx x adx fa
∫
−∞
=
δ
ddx f= ();0
−=δ
.
С помощью начальных и гра-
z
ничных условий запишем уравнение возраста:
Q
2
τ
∂
=
Qx
()().
δδτ
∂
0
y
Рис. 5.3. Плоский источник
в плоскости z0y
x
(,) (,)
∂
qx qx
τ
∂
+
Решение уравнения (5.9) про-
ведем с помощью преобразования
τ
+
2
x
(5.9)
118
Фурье. Изображение функции плотности замедления
следующее:
∞
ix
fqxtdx
(,) (,)ωτω=
Умножим уравнение (5.9) на
−
e
∫
−∞
. (5.10)
−ixω
и проинтегрируем
e
ïî х:
∞
∂
qx
(,)
τ
−
ix
ω
=
dx
∫
−∞
∞
2
∂
qx
(,)
τ
−
=
∫
∂
x
−∞
ix i
ee
2
e
∂
τ
ωω
∞
+
dx Q x
()()
δδτ
∫
−∞
xx
−
dx
.
Возьмем первый интеграл:
∞
∂
qx
(,)
τ
−
ix ix
ωω
dx q x dx
∫∫
−∞
ee
∂
ττ
∞
∂
=
∂
−∞
(,)
τ
−
=
∂
f
(,)
ωτ
∂
τ
Интегрирование второго выражения дважды по час -
òÿì äàåò
qx(,)τ
.
∞
2
∂
qxt
(,) (,)
−
ix ix
ωω
dx i
∫∫
−∞
=
ii qx
ee
2
∂
x
∞
⎡
ωω τ
⎢
⎢
⎣
∫
−∞
(,)
∞
∂
=
−−
e
qx
ω
ix
∂
x
−∞
⎤
dx fωωωτ
=−
⎥
⎥
⎦
τ
2
−
dx
(,).
=
В результате получим дифференциальное уравнение
∂
fx
(,)
τ
Ïðè
2
+=
fQ
(,) ()
∂
это уравнение имеет решение
τ>0
ωωτ δτ
τ
fQ(,)ωτωτ=−e
2
. (5.11)
. (5.12)
119
С помощью обратного преобразования Фурье находим
⎝
⎠
∞
qx f d Q d
(,) (,)
1
τ
===
∫∫
π
2
−∞
=
ix xix
ωωω
−
ωτ ω
eee
∞
Q
π
2
−∞
2
(
x
ω
−
e
∫
−−
2
ixdωω)
∞
1
π
−∞
2
−
ω
.
Введя преобразование
2
2
ωτ ω ω τ
−= −
⎛
⎜
ix x
τ
2
2
⎞
+ix
⎟
τ
4
и замену переменной
uix=−ωτ
, получим
τ2
∞
qx
(,)
2
x
/( )
−
Q
e
=
ππτ πτ
2
Q
τ
==
∫∫
π
2
−∞
∞
τ
4
2
−
u
ee
du
∫
−∞
⎛
∞
ωτ
−−
2
x
/( )
τ
−
4
ee
QQ
e
==
⎜
⎝
−∞
2
x
τ
4
/( )
−
24
⎞
⎟
τ
2
⎠
d
ω
2
x
τ
4
/( )
π
−
.
πτ
2
ix
Распределение плотности замедления от плоского ис-
точника нейтронов
πτ
2
x
/( )
τ
−
4
e
(5.13)
qx
(,) .
Q
τ
=
4
5.4. Решение уравнения возраста
в случае точечного источника нейтронов
В случае однородной среды распределение нейтронов в
пространстве с постоянным возрастом зависит только от
пространственной координаты. Поэтому плотность замедления в какой-то точке от источника будет суммой плотностей замедления от точечных источников.
Пусть
точника, а
qx
ïë
qr
– плотность замедления от плоского ис-
(,)τ
– искомое распределение. Выделим на
(,)τ
òî÷
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]