Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика ядерных реакторов. Учебное пособие
.pdf
6.9. Диффузионно-возрастное приближение
Ранее было получено уравнение реактора (6.54) в диф-
фузионном приближении.
Для замедляющейся группы нейтронов
⎧
∇+ =
⎪
⎪
⎨
1
⎪
⎪
3
⎩
ΣΣ
ÔÔ Ô
10 00
t
∇+ =
ΣΣ
ÔÔ Ô
01
u
′′
du F u u S
u
∫
−
ur
ò
du
s
′
s
∫
−
ur
t
−+
();
′
Fu u().
−
111
(6.56)
Для тепловой группы нейтронов
⎧
∇+ =
⎪
⎪
⎨
1
⎪
3
⎪
⎩
ΣΣ
ÔÔ Ô
ò1 ò ò0
∇+ =
ÔÔ Ô
ΣΣ
òòò
01 1
′′
du F u
s
∫
′
u
u
du F
∫
−
ur
ò
00
′
s
()
11
;
(6.57)
′
u .
()
Уравнения записаны для однородного замедлителя.
Решение такой системы уравнений довольно затруднительно. Поэтому делают дополнительные упрощения. Одним
из них является метод диффузионно-возрастного приближения.
Предположим, что нейтрон теряет энергию не пре рывно.
Основным предположением диффузионно-возрастного
приближения является следующее: на интервале максимальной логарифмической потери энергии r функции,
сто ящие под знаком интеграла
ΣsÔ
0
è
, изменяются
Σ
Ô
s
1
незначительно. Для тяжелого замедлителя (даже для графита) массовое число велико, и эти функции изменяются
мало. Тогда их можно разложить в ряд Тейлора около летаргии и и взять несколько членов ряда:
′
ΣΣ Σ
ΣΣ Σ
ÔÔ Ô
ss s
11 1
,,
ru ru u u
ÔÔ Ô
()=()
ss s
00 0
1
′
uu
+
′
ru ru u u
,, ,....
()=()
−
()
2
+′−
()
2
∂
2
Σ
Ô
(()
s
2
∂
u
+′−
()
∂
()
∂
u
+ ...;
0
∂
⎡
⎣
u
∂
+
⎤
ru
()
⎦
+
161
Эти разложения подставим под знаки интегралов урав-
нений (6.56), тогда после замены переменной
′
du dt
∇+ = −
ÔÔ Ô Ô
получим
=−
r
ΣΣ Σ
10 00
ts
1
+
2
∂
1
∇+ =
ÔÔÔ
3
Ftdt
() ()
∫∫
0
2
∂
Σ
Ô
(()
0
s
2
u
ΣΣ
0110
ts
∂
−
Ô
Σ
()
s
∂
u
∂
()
∂
u
r
2
tF tdt S
() ;
0
∫
0
du F t dt
∫
Ω
r
tFtdt
1000
∫
00
s
+
′
()
() ,μ
r
tF t dt
0
′
()
−=−uu t
+
−
(6.59)
,
(6.58)
ãäå
FF
=μ ; F
100
ê 1, ò.å.
r
0
– функция распределения нормирована
Ftdt∫=()
0
0
; тогда
1
r
tF t dt
0
∫
0
– среднелогариф-
=() ξ
мическая потеря энергии;
r
2
tF tdt
0
∫
0
=() ;ξ
r
2
μμ
Ftdt∫=() ;
0000
r
tFtdt u
μμ
000
∫
=Δ() .
Выполним все эти замены и преобразуем полученные
уравнения (6.58) и (6.59).
С учетом
ΣΣΣ
=+
tas
∇+ =−
ãäå
ΣΣ Σ
ÔÔÔ
1
3
10−
()
E
10 0
as s
∇+− +
ÔÔÔ() – (),μμΣΣ Σ
1
[]
00 1
+=μΣ Σ Σ
satr
получим
2
∂
()
∂
u
sa s
1
∂
2
+
2
()
2
∂
u
=Δ
u
0
∂
+
0
∂
u
1
. Имеются еще члены второго по-
(6.60)
Sξξ ;
(6.61)
рядка малости.
Чтобы оценить порядок величин, входящих в уравне-
ния (6.60) и (6.61), перейдем от переменных
размерным
′′
. Произведем замену
ru,
()
rLr=′;
ê áåç-
ru,
()
uUu=′,
0
ãäå
162
L è U – характеристические параметры, которые определяют масштабы процессов, происходящих при замедлении;
L – средняя диффузионная длина; L è U ââî-
U =ξ;
дим таким образом, чтобы
1
′
ΣΣ
=
ss
;
L
1
ΣΣ
aa
′
=
;
L
1
S
′
S=
.
L
Подставим эти переменные в (6.60) и (6.61) и умножим уравнения на L; тогда с учетом
1
∇=′∇
получим
L
2
′
∇+′=−
ÔÔ Ô Ô
ΣΣ Σ
10 0
as s
1
3
Эти уравнения представляют баланс нейтронов в некотором фазовом объеме
∂
ξξ
()
′
∂
Uu
+
2
′
∇+′=
ÔÔ ÔΣΣ
01
tr s
–.
′′
(, )
ru
2
∂
U
Δ
2
u
μ
ξ
′
()
2
′
∂
u
()
∂
0
′
()
∂
u
′
(6.62)
+
S
;
0
(6.63)
1
, так как левые части урав-
нений – убыль за счет поглощения и утечки, а правые части – компенсация за счет источников и замедления.
Введем следующие обозначения:
;
2U
2
ξ
2
ξ
= 1
U
сравним все члены. Можно показать, что ε – величина
первого порядка малости, а
Δ=uμ
ε
= ;
ξ
2
– величина второго порядка
δ
1
2
0
,
δ
1
малости. Тогда, перейдя к размерным величинам, получим
с точностью до членов первого порядка малости
∇+ =−
ÔÔ Ô
ΣΣ
10 0
as
1
∇+ =ÔÔΣ
3
∂
()
∂
u
.
01
tr
0
+
Sξ ;
Эту систему можно переписать в виде одного урав нения:
∇∇ − =
ÔÔ Ô
ΣΣξ ,
as
00 0
∂
()
∂
u
−D
S
163
ãäå
1
Dtr=
.
3Σ
Данное уравнение определяет поведение нейтронов (замедляющейся группы) в диффузионно-возрастном при бли жении. Опуская индекс «0», запишем
∇∇ − =
ÔÔ ÔΣΣξ .
∂
as
()
∂
u
(6.64)
−D
S
Рассмотрим тепловую группу нейтронов. Вывод совершенно аналогичен. В результате получим
∇∇ − =−
Dru
ÔÔ ÔΣΣξ
asòò òò ò
. (6.65)
,
()
Подставим значение функции источников, получим систему уравнений:
u
ò
∇∇ − =
D
ÔÔ Ô Ô Ô
ΣΣ ΣΣξ
∂
as
∇∇ − =−
()
∂
u
Dru
ÔÔ ÔΣΣξ
νχ()
f
−+
asòò òò ò
⎢
du
ff
ýô
∫
⎢
−∞
⎣
,.
()
K
⎡
u
(6.66)
⎤
⎥
;
ò
ò
⎥
⎦
Эти уравнения выведены для замедления на ядрах
одного сорта. Если замедлитель содержит N сортов ядер,
необходимо в (6.66) ввести величины
N
∑
=
i
;
ΣΣ
1
ΣΣ
=
aai
N
∑
i
;
=
1
=
ssi
N
ΣΣ
=
ffi
∑
i
.
=
1
Граничные условия для диффузионного приближения
задаются зависимостью (6.55). Возникает вопрос, как данные условия преобразуются в диффузионно-возрастном
приближении? Из уравнения
0
1Σtr
на поверхности S.
найдем
1
∇+ =ÔÔ
0
и подставим в первое уравнение (6.55):
Ô
1
20
D
3
Ô
0
+=
l∂∂
Ô
0
164
Найдем
, тогда
∇Ô
0
Ô
20
0
D
+=
Ô
l∂∂
на поверхности S,
0
ãäå l – расстояние до поверхности активной зоны.
Обозначим
2
2
Dld
==.
tr
3
Величину d называют экстраполированной границей.
Ее значение:
Ô
dl=−
0
(6.67)
∂∂
Ô
.
/
0
Будем полагать, что функция
меняется по линейно-
Ô
0
му закону:
Ô
=+ССl,
01
ãäå
и С – константы.
С
1
На поверхности S l = 0, а из (6.67) получим
С
d
=−1,
С
тогда
Ô
=+ССl.
01
(6.68)
Поток на некоторой экстраполированной границе l = d
обращается в нуль. Эта экстраполированная граница удалена от поверхности реактора на расстояние d.
6.10. Система многогрупповых уравнений
Общее кинетическое уравнение для стационарного состояния записывается в виде
ΩΩΣΩ
∇
=
dduruF uu
ΩΩ
∫
′′
Ω
где Ф – поток нейтронов в фазовом пространстве; левая
часть – убыль в рассматриваемом объеме за счет всех про-
ÔÔru ru
()
′′ ′
∫
′
u
+
,, ,,
,, ,,μ
()
()
t
()
0
=
′
,
(6.69)
165
цессов; правая часть – прибыль;
утечки;
– убыль за счет процессов упругого и неупру-
ΣtÔ
гого рассеяния и поглощения нейтронов;
′
Fuu(,,)μ
0
которого в рассматриваемом объеме появляются нейтроны направления
– вероятность любого перехода, в результате
и данной летаргии и. Имеем
Ω
– убыль за счет
Ω∇Ô
ΣΣΣ
=+;
tsa
Fuu u uu
+
ãäå
′
ΣΣ
w
uuuu
()
in in
w w w
,,
el in
′
μμ
,, ,,
()
00
()
=
′
μν
,,
0
– плотность вероятности упругого и не-
f
′
Σ
()
el el
+
ff
w
()
′
w
(()
′
+
1
′
,, ,
uu
μ
()
0
f
K
ýô
(6.70)
упругого рассеяния и деления соответственно.
Плотность вероятности нормирована таким образом, что
ddu uu
Ω
∫∫
Ω
За граничное условие принимаем Ф = 0 на поверхно-
ñòè S, при условии, что
()
u
Ωn
()
0
′
=w μ
0
0
<
1,, .
.
Если разбить весь энергетический интервал на отдельные группы и для каждой группы составить свои уравнения, то внутри каждой группы все величины можно
усреднить.
Сущность многогруппового метода заключается в том,
что основное кинетическое уравнение заменяется аналогичными кинетическими уравнениями с функциями
è
Σ
t
F, которые являются кусочно-постоянными в пределах
каждой из групп по летаргии, причем эта замена должна
быть такой, чтобы
не изменялся. В этом случае первое
K
ýô
уравнение называется невозмущенным, а второе, с кусочно-
′
′
è
постоянными параметрами
Σ
, – возмущенным.
F
t
Основное уравнение (6.69) с возмущенными параметрами записывается так:
ΩΣ Ω
∇′+
′′
ÔÔ Ô
=
t
′′′′ ′
dduF uu(,,).μ
∫∫
Ω
′
′
u
0
Разобьем интервал на l групп и рассмотрим j-ю группу.
Уравнение проинтегрируем по летаргии в одной группе
uu
jj−÷1
166
:
ΩΣ Ω ΩΩ
∇′+=
ÔÔ Ô
j
jj
t
′′′ ′′′
dduF u,, ,
∫∫
′
′
u
Ω
()
u
j
ãäå
j
ÔÔ
∫∫
u
j
––
1
j
′′′
du F u F u u du=
;,, ,,,
ΩΩ ΩΩ
()
u
j
=
u
j
′′
()
1
– êó-
соч но-постоянные в группе.
Если имеем l групп, то интеграл в правой части можно
заменить суммой по всем группам:
ΩΣ Ω ΩΩ
∇′+=
ÔÔ Ô
jtj
dF ,.
∑
∫
l
′
Ω
К данному уравнению необходимо добавить граничные
условия:
Ôl= 0
на поверхности S ïðè
→
ll j
′′
()
Ωn
()
0
.
0
<
(6.71)
В случае одной группы
ΩΣ ΩΩΩ
∇+ =
ÔÔ Ô
t
′′
dF,.
∫
′
Ω
()
Аналогично записывается уравнение для функции цен-
ности:
** *
j
−∇ + =
ΩΣ Ω ΩΩ
ÔÔ Ô
Граничные условия для этого уравнения:
поверхности S ïðè
jj
t
Ωn
()
0
dF
∑
∫
l
′
Ω
0
> .
Таким образом, получили систему уравнений, в кото-
рую входят и переменные по углам
E
j
−
1
j
ÔÔ
=
∫
E
j
,, .Ω
rEdE
()
→
ll j
′′
()
(6.72)
,.
* j
Ô
:
Ω
= 0
íà
Произведение
в левой части кинетического урав-
ΣtÔ
нения переноса превращается в следующее:
j
ΣΩ Ω
rr
,,,
Ô
()()
t
j
167
ãäå
j
ΣΩ
r
,
=
()
t
ΣΩ
t
∫
E
Ô
rE r E dE
,,,
()
()
j
Ô
Ω
r
,
()
называется групповым сечением.
Таким образом, групповое сечение сохраняет зависимость от
. Это серьезное усложнение, но его можно обой-
Ω
ти, предположив с самого начала угловую зависимость
потока нейтронов известной. Первым шагом в многогрупповом приближении является представление угловой зависимости потока нейтронов в виде разложения, как правило, по сферическим гармоникам. Обычно разложение
обрывается на первом члене, результат называется Р
-ïðè-
1
ближением. Следующий шаг в решении уравнения переноса – интегрирование по энергетическим интервалам групп
и определение групповых сечений, в результате чего получаются многогрупповые уравнения Р
-приближения.
1
Интегрирование по энергиям заменяется суммой интегралов по всем энергетическим группам:
E
j
−
1
′
=
dE dE
∫
′
E
∑
l
′
.
∫
E
j
Для активной зоны реактора уравнение переноса в группе i запишется в следующем виде:
D
ΔΣ ΣÔÔ Ô−+ =
iiaiii i
−−11
(6.73)
0.
Для первой группы
DK
−+ =.
a11 11
ýô ò ò
(6.74)
0ΔΣ ΣÔÔ Ô
Второе уравнение описывает рождающиеся нейтроны.
Первый член уравнений – утечка нейтронов из данной
группы в результате диффузии; второй член – убыль в результате захвата нейтронов; третий член – функции источников. Такие же уравнения составляются для отражателя.
В качестве граничных условий используются следующие:
поток нейтронов любой группы обращается в нуль 1)
на экстраполированной границе реактора;
168
непрерывность потока и плотности нейтронного по-2)
тока на границе между активной зоной и отражателем.
Коэффициенты разложения группового потока в Р
-ïðè-
N
ближении определяются соотношениями в плоской геометрии:
E
j
−1
′
′
ÔÔ Ô
xxEdExEdE
() , , ,=
nj n
,
()
j
≡
∫∫
jE
′
()
′
а групповые сечения, или как их часто называют групповые константы, определяются в виде
′
Ô
;
Ô
nj
,
′
Σ
∫
j
Ô
→
()
x
()
nj
,
′
.
Σ
ni j
Σ
xEdE xEdE
(, ) (, )
tn
Σ
nj
,
=
,
→
∫
x
()
=
′
xE xE E dEdE
,,
Ô
()
nn
Величины, определенные последним уравнением, иногда называются сечениями перехода, так как они связаны с
переходом нейтронов из группы i в группу j, включая i = j.
Необходимо отметить, что если бы полное сечение не зависело от Е, ò.å.
для всех значений п. Таким образом,
Σ()x
ΣΣ(, ) (),xE x=
чае не зависит от Е. Однако
òî
Σnjx,()
обычно сильно зависит от
Σ
nj,
п, так как оно определяется в уравнении через сечение
было бы равно
â ýòîì ñëó-
Σ
nj,
Σ
n
Запишем систему основных уравнений реактора в диффузионно-возрастном приближении:
u
ò
∇∇ − =
D
ÔÔ Ô Ô Ô
ΣΣ ΣΣ()
∂
as
∂
u
χν
f
−+
⎢
du
ff
ýô
∫
⎢
−∞
⎣
K
⎡
u
()
⎤
⎥
(6.75)
.ξ
ò
ò
⎥
⎦
С учетом замены
.
u
ò
⎡
ν
f
⎢
∫
K
⎢
ýô
−∞
⎣
ÔÔ
ΣΣ+
du Q r
ff
⎤
⎥
=
()
ò
ò
⎥
⎦
169
получим
∇∇ − =
ÔÔ ÔΣΣ()()().ξχ
Проинтегрируем (6.75) в пределах одной группы
jj
−=− − −
ξξ χΣΣ
ÔÔ Ô
s
s
∂
as
∂−Du
u
jj j
−−
11
i
MduQr
∫
u
−
i
1
uQr
() (),
(6.76)
uu
...
jj−1
ãäå
u
i
j
χχ
=
∫
u
i
−
1
udu
() .
С помощью некоторых формул, называемых интерпо-
ляционными, связывают значение функции М (Ф) внутри
интервала с граничными значениями.
При составлении интерполяционных формул нужно
подбирать такие функции, которые сами бы слабо зависели от летаргии.
В случае отсутствия источников и поглощения
Ô =
С
u
ξΣ ()
s
.
В общем случае Ф зависит от летаргии, следовательно,
аппроксимировать М функцией Ф нельзя. Обычно аппроксимацию проводят функцией плотности замедления
qs=ξΣÔ.
Плотность замедления в пределах интервала
группы является величиной практически постоянной.
Рассмотрим поведение нейтронов в одной зоне реактора. Для фиксированной зоны (D – константа по координатам)
:
Σ
a
qq
Σ
s
М
() .Ô =Δ−
ξξΣ
D
s
Проинтегрируем в пределах интервала летаргий:
u
j
Мdu
() .Ô
∫∫∫
u
j
−− −
11 1
u
j
D
=Δ−
u
j
qdu qdu
ξξΣ
s
u
j
Σ
a
Σ
u
j
s
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]