Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях

• анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин U_c(0) и i_L(0);

• составляем схему цепи в операторных параметрах. Нулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками;

• выбираем метод и записываем систему уравнений (или одно уравнение) в операторной форме;

• находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов ;

• исследуем характеристический многочлен Q(p). Находим значения его нулей на комплексной плоскости. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица;

• определяем структуру решения (1.36) на основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения нулей V(p);

• определяем коэффициенты (1.37) и записываем решение в окончательном виде. Строим график полученной функции;

• анализируем полученный результат.

Пример 1.4. ПЕРЕДАЧА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ

К входу усилительного каскада (рис.1.9) приложен прямоуголь­ный импульс напряжения u_вх(t) длительностью θ и величиной U₀. Най­ти выходное напряжение с учетом влияния разделительной и шунтирую­щей емкостей, причем С_p>>С_ш. Влияние обратной проводимости тран­зистора не учитывать.

Рис.1.9. Усилительный каскад на транзисторе, с учетом С_p и С_ш

1. Составляем эквивалентную схему цепи с учетом указанных элементов (рис.1.10).

Рис.1.10. Эквивалентная схема усилительного каскада на транзисторе,

с учетом С_p и С_ш

Обозначим: G_i+G_k=G₁; C_p=C₁; C_ш=C_z²; G_H=G_z².

2) Методом узловых напряжений составляем систему уравнений в операторной форме:

3) Находим операторную передаточную функцию и представляем ее в виде отношения многочленов:

4) С учетом свойства (1.8) находим изображение входного сигнала:

5) Определяем изображение выходного сигнала:

Наличие экспоненциального слагаемого при обратном преобразовании Лапласа приведет к слагаемым с запаздывающим аргументом.

6) Исследуем корни многочлена знаменателя:

Так как то V(p) имеет два отрицательных действительных корня:

7) На основании общего решения задачи записываем структуру решения с учетом свойства (1.9):

8) Определяем коэффициенты решения:

.

9) Записываем решение в окончательном виде

Строим график функции U_вых(t) в сравнении

с U_вх(t), учитывая, что b< 0 (рис.1.11).

10) Анализируем получен­ный результат.

Сомножитель есть не что иное,

как коэф­фициент передачи усилителя на

средних частотах. Завал переднего и Рис.1.11. Вид входного и выходного

заднего фрон­тов импульса связан с сигналов после прохождения

ве­личиной α₀ (α₁<<α₂) и обусловлен зарядом через усилительный каскад

и разрядом шунтирующей емкости С_ш. Завал вершины импульса и его “хвост”

связаны с величиной α₂ и обусловлены перезарядом C_p.

Пример 1.5. ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОСИГНАЛА ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬНЫЙ КАСКАД

К входу резонансного усилительного каскада (рис.1.12) приложен радиосигнал с амплитудой U_o и частотой ω_с, равной резонансной частоте колебательной системы ω₀. Найти выходной сигнал U_вых(t), полагая добротность контура достаточно высокой (Q>>I).

1) Составляем эквивалентную схему цепи (рис.1.13).

Рис.1.12. Резонансный усилитель

U_вых

Рис.1.13. Эквивалентная схема усилителя.

2) Методом узловых напряжений записываем уравнение в операторной форме

3) Находим операторную передаточную функцию:

где

4) Находим изображение входного сигнала:

5) Определяем изображение выходного сигнала:

6) Исследуем корни полиномов знаменателя

p_1,2=-δ±iω₁, где

7) На основании общего решения задачи записываем структуру решения

U_вых(t)=U₁e^-δtcos(ω₁t+Ψ₁)+ U₂cos(ω₀t+Ψ₂), t≥0

8) Определяем коэффициенты решения с учетом условий ω_C=ω₀; δ<<ω₀, т.е. ω₁≈ω₀

9) Записываем решение в окончательном виде:

и строим график U_вых(t) в сравнении с U_вх (t) (см.рис.1.14).

Рис.1.14. Законы изменения входного и выходного напряжений.

10) Анализируем полученный результат.

Сомножитель - есть не что иное, как коэффициент усиления на резонансной частоте. Выходные колебания устанавливаются не сразу. Причем чем больше Q, тем меньше δ и тем медленнее происходит процесс установления амплитуды выходных колебаний и т.п.