§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами

Процессы в электрических цепях с сосредоточенными элементами носят колебательный характер и описываются электрическими колебаниями напряжений и токов в различных частях цепи. Эти колебания описывают скалярными функциями времени t и обозначают: u(t) – мгновенное значение напряжения, i(t) – мгновенное значение некоторого тока, S(t) – значение некоторого (обобщенного) электрического колебания вообще.

Задача анализа процессов в цепи сводится к задаче Коши, т.е. к решению системы интегро-дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Для линейной цепи, составленной из постоянных элементов, система уравнений является линейной с постоянными коэффициентами.

При исследовании процессов свободных колебаний в цепях, а также исследовании вынужденных колебаний, решение системы уравнений удобно находить операторным методом т.к. функции, описывающие источники колебательного процесса – воздействия, а, следовательно, и функции, описывающие возникающие колебания – отклики, преобразуемы по Лапласу.

При использовании операторного метода для решения задач теории цепей удобно осуществить преобразование Лапласа для основных соотношений, составляющих аксиоматику теории цепей. Это позволяет миновать этап составления интегро-дифференциальных уравнений.

Пусть функции, описывающие источники колебательного процесса, преобразуемы по Лапласу. Обозначим изображения напряжений в цепи – U(p)=[u(t)], изображения токов – I(p)=[i(t)]. Назовем их в дальнейшем операторными напряжениями и операторными токами. Осуществим преобразование Лапласа для выражений, характеризующих основные, идеальные элементы цепей (см. табл.1). Введем понятия: операторное задающее напряжение – E(p)=[e(t)]; операторный задающий ток – I(p)=[i(t)]; операторное сопротивление – Z(p) и операторная проводимость – Y(p) основных элементов и двухполюсников вообще. Условимся описывать ненулевые начальные условия для элементов индуктивности и емкости источниками напряжения или тока с соответствующими операторными задающими характеристиками (см. табл.1). Тогда для любых линейных цепей, с помощью метода контурных токов или метода узловых напряжений, можно записать систему уравнений в операторной форме:

(1.20)

(1.21)

- система уравнений для контурных токов, или система уравнений для узловых напряжений.

Составленные системы уравнений являются алгебраическими, причем их правые частиисодержат как изображение возбуждающих источников (или), так и изображения ненулевых начальных условий (или). При этом, а.

В теории цепей с сосредоточенными элементами выделяют две ключевые задачи анализа: исследование свободных колебаний в цепи, когда и исследование прохождения сигнала через цепь, когда. Важным частным случаем этих задач является исследование переходных процессов в цепи. В более общих случаях решение представлятся линейной комбинацией решений ключевых задач.