Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции Холодов.doc
Скачиваний:
2083
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
19.9 Mб
Скачать

Министерство образования и науки украины

ХНАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ В.Н. КАРАЗИНА

Радиофизический факультет

Кафедра прикладной электродинамики

В.И. ХОЛОДОВ, В.И. ЧЕБОТАРЕВ

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Учебное пособие

для самостоятельной работы студентов

физических специальностей

Харьков - 2010

УДК 537.86 (075.8)

ББК 32.841я73

Х73

Рекомендовано Ученым советом Харьковского национального

университета имени В.Н. Каразина

(протокол № от )

Рецензенты:

Зав. отделом электронных СВЧ приборов РИ НАН Украины, член-

корреспондент НАН Украины, доктор ф.-м. наук, проф.Д.М. Вав-

рив;

проф. кафедры приема, передачи и обработки сигналов

Национального аэрокосмического университета имени

Н.Е. Жуковского «ХАИ», доктор технических наук, Тоцкий А.В.

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ/ Холодов В.И., Чеботарев В.И. –Х.: ХНУ

имени В.Н. Каразина, 2010. – 212 с.

Учебное пособие написано на основе курса лекций читаемого на радиофизическом факультете. Оно позволяет решить проблему недостаочного количества литературы по данному курсу. В первой главе пособия рассмотрены колебания в линейных инвариантных во времени динамических системах. Показано, что операторный метод позволил существенно упростить построение решений уравнений описывающих колебания в линейных цепях. Рассмотрены алгоритмы построения решений о свободных и вынужденных колебаниях в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами. Рассмотрены примеры решения задач описывающих колебания во всех типов цепей описанных выше.

Во второй главе пособия рассмотрены колебания в прамертических системах. Показано основное отличие колебаний в праметрических системах от колебаний в линейных схемах. Рассмотрены некоторые найболее распространенные методы исследования параметрических уравнений различной степени. Приведены схемы устройств использующих параметрические элементы.

В третьей главе пособия рассмотрены колебания в нелинейных системах. Показано, что все основные элементы − генераторы, умножители, детекторы и т.д. используют нелинейные элементы. Рассмотрены основные свойства таких устройст, уравнения описывающие колебания для нелинейных устройств и методы исследования таких колебаний.

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов физических специальностей при изучении курса «Колебания и волны»

Введение

Вряд ли есть необходимость специально обосновывать значение колебательных процессов в современной физике и технике. Можно без преувеличения сказать, что почти нет области в этих науках, в которой колебания не играли бы той или иной роли, не говоря уже о том, что ряд областей физики и техники всецело базируются на колебательных явлениях. Достаточно, например, указать область электромагнитных колебаний, включающую в себя и оптику, и учение о звуке, и радиотехнику, и прикладную акустику, вибрации машин, автоколебания в системах регулирования и следящих системах. Все эти, казалось бы, различные и непохожие друг на друга колебательные процессы объединяются методами математической физики в одно общее учение о колебаниях.

Общность колебательных процессов, их разнообразие и, в тоже время, их специфическое своеобразие играют существенную роль в установлении внутренних связей между весьма разнообразными, на первый взгляд, явлениями. Этим обстоятельством и обусловливается принципиальное значение и важность интересующей нас области.

Весьма существенно следующее: в области колебаний особенно объективно выступает взаимодействие между физикой и математикой, влияние потребностей физики на развитие математических методов и обратное влияние математики на физические знания.

В качестве одного из примеров можно взять машиностроение. Еще не так давно изучению колебаний здесь не придавалось особого значения, и расчеты на прочность велись на основе статических представлений о зависимости деформаций от нагрузок. Однако вместе со стремлением к увеличению числа оборотов и уменьшению габаритов при переходе к скоростному машиностроению пренебрегать ролью колебаний стало уже невозможно. Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок из-за возбуждения колебаний, сделали необходимым для конструкторов и инженеров тщательное исследование возможных вибраций узлов машин и оценку их интенсивности. Большую роль теория колебаний сыграла в авиации (эффекты шимми, флаттер), космонавтике и т.д.

Истоки современного учения о колебаниях мы можем найти в классической механике времен Галилея, Гюйгенса, Ньютона в задачах о движении маятника. В трудах Лагранжа имеется уже сформировавшаяся теория малых колебаний. При дальнейшем развитии она получила название теории линейных колебаний, т.е. колебаний, характеризуемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами как однородных, так и со свободными членами, являющимися известными функциями времени.

В трудах ряда ученых линейные дифференциальные уравнения стали мощным орудием исследования. Так А.М. Крылов и его ученики, развивавшие теорию линейных колебаний, с успехом применяли ее к проблемам качки корабля, к теории гироскопа, к задачам артиллерии.

Простота основных принципов теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами обусловила большую разработанность теории линейных колебаний, общность формулировок ее законов и их физическую наглядность. Свойство линейности дифференциальных операторов, интерпретируемое как принцип суперпозиции колебаний, позволили сводить исследование влияния произвольных приложенных сил на линейную колебательную систему к исследованию влияния сил простейшего типа, гармонически зависящих от времени. Тем самым выработался «спектральный» подход к колебательным процессам, получившим громадное значение и вне теории колебаний, в собственном смысле.

Лишь после работ Карсона, Дейча, Бромвича и др., в 20-х годах прошлого столетия математическая сторона символического метода начала существенно проясняться, связываясь с преобразованием Лапласа и мощными методами теории функций комплексного переменного. В настоящее время вопросам теории и приложения символических методов посвящено большое количество литературы.

Ввиду того, что теория линейных колебаний разработана весьма детально и ее математический аппарат действует, можно сказать, почти автоматически исследователи стремились изучаемые ими колебания подводить под линейные схемы, отбрасывая часто без должного обоснования нелинейные члены. При этом совершенно упуская из виду, что такая «линейная» трактовка может привести к существенным ошибкам не только количественного, но и принципиально качественного характера.

Наш курс ориентирован на исследование колебательных процессов в различных радиотехнических системах. В прошлых семестрах вы изучали, в основном, линейные инвариантные системы, линейные системы с распределенными элементами и, в меньшей степени, нелинейные системы. На самом деле, все процессы, происходящие в природе, если подходить более строго к моделям, описывающим их, относятся к нелинейным процессам. Только лишь нелинейные системы позволяют получить наиболее интересные устройства в радиотехнике, такие как детекторы, модуляторы, генераторы, умножители, стабилизаторы и многие другие. В курсе, который мы будем изучать, представлены методы, позволяющие проанализировать процессы, происходящие в таких системах.

Классификация колебательных систем

Все колебательные системы могут быть линейными, параметрическими и нелинейными.

Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции, т.е. отклик системы на сложное воздействие равняется сумме откликов на каждое воздействие в отдельности. В линейных инвариантных цепях происходит лишь деформация спектра, т.е. спектральные составляющие входного сигнала изменяют только свою амплитуду и новых спектральных составляющих не возникает.

Параметрические системы описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами – коэффициентами, зависящими от аргумента (времени).

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями – уравнениями с коэффициентами, зависящими от функции (тока, напряжения). Для нелинейных систем принцип суперпозиции не выполняется. В параметрических и нелинейных системах происходит изменение спектра входного сигнала, т.е. возникают новые спектральные составляющие.

По другой классификации колебательные системы могут быть дискретными (с сосредоточенными параметрами) и сплошными (с распределенными параметрами).

Кроме того, классификация может идти по числу степеней свободы или по порядку степени дифференциального уравнения, описывающего колебательную систему. Известно, что формально число степеней свободы колебательной системы равно половине порядка ее дифференциального уравнения. Поэтому дискретные системы можно классифицировать на системы с нулевой, полуцелой, одной и т.д. степенями свободы (из механики известно, что количество степеней свободы – это количество независимых переменных необходимых для полного описания движения системы).

Колебательные системы могут быть консервативными и неконсервативными; автономными и неавтономными и т.д.