- •Министерство образования и науки украины
- •Введение
- •Глава і Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях
- •§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь
- •Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
- •§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.5.1. Классификация длинных линий
- •§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •Глава іі Колебания в линейных параметрических системах Линейные параметрические цепи
- •§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи
- •§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье
- •§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим
- •§2.8. Параметрический генератор (параметрон)
- •§2.9. Двухконтурные параметрические системы
- •§2.9.1.Теорема Менли-Роу
- •§2.9.2 .Двухконтурный параметрический усилитель нерегененративного типа
- •§2.9.3 .Двухконтурный параметрический усилитель регененративного типа
- •§ 2.9.4 Параметрические умножение и деление частоты
- •§2.11. Некоторые приближенные методы исследования процессов в параметрических системах
- •§2.11.1. Метод «замороженного» параметра
- •§2.11.2. Алгоритм метода замороженного параметра для задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрических цепях
- •§2.11.3 Метод последовательных приближений
- •§2.11.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна)
- •Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях
- •§3.1. Нелинейные элементы цепей
- •§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
- •§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
- •§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений
- •§3.6. Метод линеаризации
- •§3.7. Метод гармонической линеаризации (мгл)
- •§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов
- •§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.
- •§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
- •§3.9. Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.10. Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде
- •§3.11. Метод фазовой плоскости
- •§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
- •§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
- •§3.11.2.Исследование методом фазовой плоскости схемы на
- •§1.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства 7
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
Как было показано выше (таблица 2 и (2.18)), процессы в параметрических R – цепях описываются алгебраическими уравнениями с переменными коэффициентами и прохождение сигналов через такие цепи выражается формулой , гдеk(t) – параметрический коэффициент передачи, определяемый видом системы уравнений. В общем случае, на основании правила Крамера, коэффициент передачи можно получить в виде где- определитель системы уравнений,- соответствующее алгебраическое дополнение, А(t) – коэффициент, определяющий изменение размерности сигнала на каком-либо этапе решения задачи.
Из формулы (2.18) следует, что в самом общем случае, анализ спектрального состава отклика параметрической цепи требует использования аппарата двойных рядов Фурье. Однако в некоторых случаях удается использовать общий ряд Фурье с последующим применением тригонометрических формул.
Напомним основные формы представления функций с периодом рядами Фурье:
, где (2.19)
; n=0;1;2…
; n=1;2;3… (2.20)
, (2.21)
где ;; (2.22)
, (2.23)
где . (2.24)
Проиллюстрируем анализ процессов в R – цепях примерами.
Пример 2.I. Определить коэффициент передачи параметрической R – цепи, представленной на рис.2.3. Используя теорему об эквивалентном генераторе, заменим входное напряжение на источник напряжения с задающей величиной равной Uвх(t). Выберем два независимых контура 1 и 2 и выберем направление обхода контуров.
Рис.2.3. Параметрическая R – цепь
Запишем систему из двух алгебраических уравнений для двух переменных контурных токов i1(t) и i2(t)
откуда находим, что
.
Тогда
.
Выражение путем несложных преобразований можно привести к виду
Если - периодическая функция с периодом, (– круговая частота первой гармоники колебания параметра), то и его спектр определяется рядом Фурье, например, в такой форме
, где
Пример 2.2. Коэффициент передачи параметрической R – цепи периодически изменяется по закону, представленному графически на рис.2.4. Определить спектр К(t) в тригонометрическом базисе и построить график его амплитудной части.
Рис 2.4. Закон изменения параметра К(t)
Используя таблицу разложения функций в ряд Фурье, находим:
.
Для нечетной функции
.
Вычисляя последний интеграл, находим спектральный состав коэффициента передачи рис.2.5.:
.
Рис.2.5. Спектральный состав параметра К(t)
Пример 2.3. Пусть к входу параметрической R – цепи с коэффициентом передачи, рассмотренном в предыдущем примере, приложено гармоническое колебание вида:
Uвх(t)=U0cosΩt.
Тогда выходное колебание имеет следующий вид:
При выводе последнего соотношения использовались следующие тригонометрические соотношения:
Из полученного выражения видно, что в выходном колебании возникли гармонические составляющие, которых не было ни в колебаниях параметра, ни в колебаниях входного сигнала. Спектральный состав входного и выходного колебаний, а также спектральный состав колебаний параметра, представлен на рис.2.6.
Рис.2.6. Спектральный состав входного и выходного колебаний
и колебаний параметра