§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.

Рассмотрим колебания в автогенераторе гармонических колебаний в схеме (рис.3.48) на туннельном диоде. Определим амплитуду установившихся (стационарных) колебаний и устойчивость амплитуды автоколебаний.

Рис.3.48. Схема автогенератора гармонических колебаний

на туннельном диоде

Рис.3.49. ВАХ туннельного диода и новая система координат

относительно точки покоя

Представим аппроксимацию ВАХ туннельного диода с помощью полиномиальной аппроксимации. В координатах связанных с точкой покоя ВАХ туннельного диода имеет вид

ξ = - k₁v + k₂v³, где k₁ и k₂ > 0. (3.58)

График полиномиальной аппроксимации выражения (3.58) представлен пунктирной линией на (рис.3.50).

Рис. 3.50. Аппроксимация ВАХ туннельного диода полиномом третей степени

Нелинейный элемент – туннельный диод подключен к внешней (по отношению к нему) резонансной цепи. По отношению к ней он может быть заменен эквивалентной ему линейной проводимостью G_экв. Эквивалентная схема такого

генератора для режима гармонических колебаний представлена на (рис.3.51):

Рис.3.51. Схема автогенератора гармонических колебаний

Характеристический полином имеет вид

V(p) = p² + ()p + (1 + R₂G_экв) = p² + a₁p + a₂ . (3.59)

C учетом представленной аппроксимации (3.58) ВАХ нелинейного элемента полиномом третьей степени − G_экв имеет вид

G_экв = - k₁ + k₂ U². (3.60)

Корни характеристического полинома (3.59) имеют вид:

p_1,2 = -. (3.61)

Причем, для генератора гармонических колебаний выражение (, поэтому корни имеют вид p_1,2 = -δ ± jω₁ − одна пара комплексно-сопряженных корней. Подставим формулу (3.60) для G_экв в выражение для коэффициента а₁, тогда получим, что

а₁ = . (3.62)

Поскольку коэффициент a₁= а₁(U) является функцией амплитуды U, то условием определения стационарной амплитуды гармонических колебаний есть равенство а₁(U_ст) = 0. Откуда находим, что

+ =0, (3.63)

U_ст = . (3.64)

Как уже отмечалось, в методе линеаризации для гарантированного получения генератора гармонических колебаний необходимо, чтобы R₂ = 0, следовательно, для этого случая получаем

U_ст = . (3.65)

Таким образом, стационарные колебания в автогенераторе гармонических колебаний имеют следующий вид

u(t) = U_стcos(ω₀t + φ) = 2cos(. (3.66)

Стационарные колебания (найденные выше) являются устойчивыми. Для вывода условия устойчивости стационарных колебаний воспользуемся следующими рассуждениями. Если стационарные колебания устойчивы, то при отклонении амплитуды колебаний от стационарной, условие равенства коэффициента а₁(U) нулю не будет выполняться. Причем если (U_ст +∆U), то действительная часть корней характеристического полинома должна быть положительной, чтобы решение

S_вых = S₀ e^-δtcos(ω₁t + φ) (3.67)

стремилось вернуться к стационарному решению (рис.3.52.а). А при (U_ст - ∆U) действительная часть корней характеристического полинома должна быть отрицательной, чтобы решение S_вых нарастало и стремилось вернуться к

а) б)

Рис.3.52. Характер развития колебаний для случая устойчивой стационарной

амплитуды автоколебаний

стационарному решению (рис.3.52.б). Таким образом, условием устойчивости стационарной амплитуды гармонических колебаний есть условие

а₁(U ± ∆U) = ±A∆U, (3.68)

где коэффициент А>0.

Проверим устойчивость стационарной амплитуды гармонических колебаний

=

= =A∆U +;

т.к. отклонения ∆U от стационарной амплитуды колебаний есть малая величина, то вторым слагаемым можно пренебречь. Т.о. стационарные колебания в автогенераторе на туннельном диоде являются устойчивыми.

График зависимости G_экв (U) представлен на рис.3.53.

Значение U соответствующее G_экв=0 есть U_ст. Итак, в автогенераторе на туннельном диоде состояние покоя, является неустойчивым. Малейшая

флуктуация обуславливает возрастание амплитуды колебаний. При этом, пока колебания малы, их амплитуда возрастает пропорционально (смотри метод линеаризации). По мере увеличения интервалаt, от момента возникновения

Рис.3.53. Зависимость G_экв от амплитуды напряжения, приложенного

к нелинейному элементу

Рис.3.54. Характер поведения нарастания колебаний в автогенераторах и

области применимости различных методов исследования автоколебаний

колебаний, амплитуда колебаний увеличивается, стремясь в пределе к величине U_ст. В цепи устанавливается режим автоколебаний (рис.3.54).