- •Министерство образования и науки украины
- •Введение
- •Глава і Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях
- •§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь
- •Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
- •§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.5.1. Классификация длинных линий
- •§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •Глава іі Колебания в линейных параметрических системах Линейные параметрические цепи
- •§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи
- •§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье
- •§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим
- •§2.8. Параметрический генератор (параметрон)
- •§2.9. Двухконтурные параметрические системы
- •§2.9.1.Теорема Менли-Роу
- •§2.9.2 .Двухконтурный параметрический усилитель нерегененративного типа
- •§2.9.3 .Двухконтурный параметрический усилитель регененративного типа
- •§ 2.9.4 Параметрические умножение и деление частоты
- •§2.11. Некоторые приближенные методы исследования процессов в параметрических системах
- •§2.11.1. Метод «замороженного» параметра
- •§2.11.2. Алгоритм метода замороженного параметра для задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрических цепях
- •§2.11.3 Метод последовательных приближений
- •§2.11.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна)
- •Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях
- •§3.1. Нелинейные элементы цепей
- •§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
- •§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
- •§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений
- •§3.6. Метод линеаризации
- •§3.7. Метод гармонической линеаризации (мгл)
- •§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов
- •§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.
- •§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
- •§3.9. Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.10. Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде
- •§3.11. Метод фазовой плоскости
- •§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
- •§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
- •§3.11.2.Исследование методом фазовой плоскости схемы на
- •§1.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства 7
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
Уже в прошлом столетии существовал математический аппарат, который при надлежащем развитии и обобщении мог бы быть применим для исследования нелинейных колебаний, во всяком случае, для колебаний, достаточно близких к линейным. Достаточно близкими к линейным обычно называются колебания, для которых соответствующее дифференциальное уравнение хотя и является нелинейным, но содержит некоторый параметр ε, входящий в это уравнение так, что при равенстве нулю этого параметра, нелинейное дифференциальное уравнение вырождается в линейное с постоянными коэффициентами. При этом предполагается, что параметр ε является «малым». Говоря о таком математическом аппарате, имелось в виду, прежде всего теория возмущений, разработанная для изучения движения планет.
Идея метода последовательных приближений заключается в представлении решения нелинейного уравнения, содержащего малый параметр ε, в виде степенного ряда по малому параметру ε.
x(t) = x0 + εx1 + ε2x2 + ε3x3 + …
Существенная трудность метода, состоит в невозможности использования полученных решений за достаточно длительный промежуток времени. Дело в том, что обычные разложения по степеням малого параметра приводят для искомых величин, характеризующих движение, к приближенным формулам, в которых наряду с членами, гармонически зависящих от времени, присутствуют еще и так называемые секулярные слагаемые вида
tmsinω t, tmcosω t ,
в которых время t входит вне sin или cos. Вследствие этого область применимости получаемых приближенных формул ограничена слишком коротким интервалом времени.
Рассмотрим конкретное уравнение
; где α > 0 и γ > 0, (3.69)
которое может интерпретироваться как уравнение незатухающих колебаний некоторой массы m, притягиваемой к положению равновесия восстанавливающей упругой силой
p(x) = α x + γ x3. (3.70)
Будем считать, что . Причем ε мало. Образуем приближенное решение с точностью до величин второго порядка малости
х(t) = x0(t) + εx1(t). (3.71)
Подставляя приближение (3.71) в уравнение (3.69) и, группируя слагаемые по степеням малого параметра ε, находим
; (3.72)
; (3.73)
Из уравнения (3.72) находим
х0 = аcos(ω t + θ) (3.74)
и, подставляя в правую часть уравнения (3.73), получаем
. (3.75)
Из математического анализа известно, что если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид еpx(A0xs + A1xs-1 + … + As), то, если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде
Если же р является корнем характеристического уравнения кратности α (этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде
Так как в нашем случае для уравнения (3.75) мы имеем резонансное решение, то после отыскания коэффициентов находим
x(t) = acos(ω t + θ) (3.76)
В найденном решении имеется секулярное слагаемое
и, следовательно, колебания представленные формулой (3.76) должны раскачиваться, а их амплитуда при неограниченном возрастании t должна неограниченно возрастать, что находится в явном противоречии с характером точного решения уравнения (3.69), которое выражается через элиптические функции и имеет следующий вид:
x(t) = xmax cn,
где cn и K обозначают соответственно элиптический косинус и полный элиптический интеграл первого рода.
Ряд (3.76) из-за присутствия секулярных членов не пригоден не только для количественного, но и для качественного анализа поведения решения уравнения (3.69) на всей действительной оси. Заметим еще раз, что наличие в разложении (3.76) секулярных членов ни в коем случае не означает, что уравнение (3.69) вообще не имеет периодических решений. Это свидетельствует только о несоответствующем выборе разложения.