- •Министерство образования и науки украины
- •Введение
- •Глава і Свободные и вынужденные колебания в линейных инвариантных динамических системах
- •§1.1.Преобразование Лапласа и его основные свойства
- •§ 1.2. Применение операторного метода для анализа процессов в цепях с сосредоточенными элементами
- •§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях
- •§1.4 Общий вид решения задачи анализа прохождения сигнала через устойчивую линейную цепь
- •Алгоритм решения задач анализа вынужденных колебаний в электрических цепях
- •§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами
- •§1.5.1. Классификация длинных линий
- •§1.5.2.Построение решений уравнений длинных линий (телеграфных уравнений) операторным методом
- •Глава іі Колебания в линейных параметрических системах Линейные параметрические цепи
- •§ 2.1. Изменение спектра входного сигнала при прохождении через линейные параметрические цепи
- •§ 2.2. Аксиоматика теории цепей в параметрическом случае
- •§2.3. Прохождение сигналов через параметрические r – цепи
- •§2.4. Прохождение сигнала через параметрические
- •§ 2.5. Процессы в параметрической колебательной системе с одной степенью свободы. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.5.1. Процессы в механической параметрической колебательной
- •§ 2.5.2. Энергетическое рассмотрение стационарных колебаний в системах с одной степенью свободы
- •§ 2.6. Анализ процессов в параметрическом колебательном контуре на основе уравнения Матье
- •§ 2.7. Параметрическое усиление колебаний в одноконтурной системе. Синхронный режим. Асинхронный режим
- •§2.8. Параметрический генератор (параметрон)
- •§2.9. Двухконтурные параметрические системы
- •§2.9.1.Теорема Менли-Роу
- •§2.9.2 .Двухконтурный параметрический усилитель нерегененративного типа
- •§2.9.3 .Двухконтурный параметрический усилитель регененративного типа
- •§ 2.9.4 Параметрические умножение и деление частоты
- •§2.11. Некоторые приближенные методы исследования процессов в параметрических системах
- •§2.11.1. Метод «замороженного» параметра
- •§2.11.2. Алгоритм метода замороженного параметра для задачи о свободных и вынужденных колебаниях в параметрических цепях
- •§2.11.3 Метод последовательных приближений
- •§2.11.3. Метод вкб (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна)
- •Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях
- •§3.1. Нелинейные элементы цепей
- •§3.2 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
- •§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
- •§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
- •§3.5 Анализ колебаний в цепях, составленных из нелинейных активных сопротивлений
- •§3.6. Метод линеаризации
- •§3.7. Метод гармонической линеаризации (мгл)
- •§3.7.1. Эквивалентные параметры нелинейных элементов
- •§3.7.2. Автогенератор гармонических колебаний.
- •§3.8. Методы малого параметра. Метод последовательных приближений
- •§3.9. Метод медленно меняющихся амплитуд (ммма).
- •§3.10. Метод малого параметра. Исследование ммма колебаний в автогенераторе на туннельном диоде
- •§3.11. Метод фазовой плоскости
- •§3.11. 1.Метод фазовой плоскости. Метод изоклин
- •§3.11.2. Метод фазовой плоскости. Особые точки
- •§3.11.2.Исследование методом фазовой плоскости схемы на
- •§1.1. Преобразование Лапласа и его основные свойства 7
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
- •610077,М. Харків, пл. Свободи, 4.
§3.3 Преобразование спектра колебаний нелинейной цепью
Одним из важнейших свойств нелинейных цепей, как отмечалось выше, является свойство обогащать спектр входного сигнала. Это свойство заключается в том, что при воздействии на нелинейную цепь гармонического или периодического сигнала, состоящего из суммы гармонических колебаний, на выходе нелинейной цепи возникнут колебания, содержащие не только спектральные составляющие входного колебания, но и их комбинационные частоты. Т.е. возникли новые гармонические составляющие, которых не было во входном сигнале. При этом частоты новых гармонических составляющих могут быть как кратными, так и некратными частотам входного сигнала.
Указанное свойство присуще только нелинейным или параметрическим колебаниям. Оно принципиально не могло возникнуть в линейных цепях, у которых при передаче сигнала происходит только деформация сигнала по амплитуде, а форма сигнала всегда сохраняется.
Пусть наша нелинейная цепь содержит нелинейный элемент, характеристика которого аппроксимируется полиномом
. (3.22)
Пусть входной сигнал состоит из суммы двух гармонических колебаний
s(t)=S1cosω1t + S2cosω2t . (3.23)
Подставляя выражение (3.23) в (3.22), получим:
.
Возводя двучлен s(t)=s1(t) + s2(t) в nю степень, и, группируя затем члены суммы, можно убедиться, что в составе реакции y(t) имеются слагаемые частот ξω1±ηω2, где ξ и η – любые числа, не исключая нуль, т.е. спектр содержит слагаемые комбинационных частот. Таким образом, в нелинейных цепях возможны различные радиотехнические процессы: стабилизация постоянного тока и напряжения, умножение, выпрямление, модуляция, детектирование и многое другое.
§3.4 Особенности задач анализа колебаний в нелинейных цепях
Анализ колебаний в нелинейных цепях представляет большие трудности. В настоящее время не существует единого математического метода пригодного для исследования любых нелинейных цепей при произвольных режимах их работы. Каждый метод оказывается достаточно эффективным обычно лишь для одного или нескольких режимов работы того или иного класса нелинейных цепей. Даже при исследовании одной и той же схемы, в зависимости от режимов ее работы, целей исследования, от требуемой точности решения, приходится применять различные методы.
В нелинейной цепи возможен дополнительный режим – автоколебания. Поэтому при анализе нелинейной цепи могут исследоваться следуюшие режимы:
устойчивость цепи (ее состояние покоя)
устойчивость автоколебаний
установившийся режим автоколебаний
процесс установления автоколебаний
процесс исчезновения автоколебаний
преобразование автоколебания в устойчивой нелинейной цепи
взаимодействие внешнего колебания с автоколебаниями в нелинейной цепи и др.
Разновидности исследуемых нелинейных цепей: - автогенераторы специальной и синусоидальной формы - умножители и делители частоты, т.е. преобразователи частот - ограничители
- выпрямители - модуляторы и демодуляторы - электронные реле другие.
Порядок дифференциального уравнения, описывающего колебания в нелинейной цепи, может быть различным до n=1020 и более. Соответственно многообразию видов нелинейных цепей, режимов их работы и поставленной задачи анализа в настоящее время разработано несколько сотен различных методов исследования. Наиболее распространенными методами исследования нелинейных систем являются:
метод линеаризации
метод гармонической линеаризации
методы малого параметра
метод усреднения
метод фазовой плоскости
метод интегральной аппроксимации
метод математического моделирования
метод медленно меняющихся амплитуд.
В следующих разделах рассмотрим наиболее часто применяемые методы исследования нелинейных цепей, ограничения применимости каждого из данных методов. Рассмотрим некоторые наиболее интересные нелинейные цепи и проанализируем результаты, получаемые с помощью данных методов.