§1.3 Общий вид решения задачи анализа свободных колебаний в линейных цепях

Рассмотрим цепь в которой в момент времени t=0 возбуждаются свободные колебания. Они обусловлены напряжениями, до которых в момент t=0 заряжены емкости цепи – u_C(0) и токами, протекающими в тот же момент через индуктивность – i_L(0). Совокупность значений u_C(0) и i_L(0) составляет начальные условия задачи, которые при записи системы уравнений в операторной форме определяют правые части уравнений. Видно, что определение свободных колебаний в цепи является, по существу, задачей Коши.

Пусть среди всех колебаний напряжений и токов в цепи нас интересует одно - S_вых(t), находящееся, например, в k-й части цепи. Решая систему уравнений по правилу Крамера получим решение для искомого изображения в виде:

S_вых(p)= (1.22)

где ∆(p) и ∆_k(p) – определители системы, составленные по правилу Крамера; A(p) – сомножитель, присутствующий в тех случаях, когда размерность искомого колебания отлична от размерности функций, выбранных в качестве исходных при составлении системы уравнений. Выражение для S_вых(p) является дробно-рациональной функцией

, (1.23)

причем m≤n, b_k и a_k – действительные числа.

V(p) – характеристический многочлен электрической цепи. Его корни полностью определяют характер решения – собственные колебания. M(p) – многочлен, определяющий конкретные свободные колебания, порожденные конкретными начальными условиями.

Искомое свободное колебание S_вых(p) находим, осуществляя обратное преобразование Лапласа.

Ограничимся важным для практики случаем, когда корни характеристического многочлена V(p) не имеют кратных корней, иначе решение получается более громоздким, но не содержащим принципиально ничего нового по сравнению с рассматриваемым случаем. Поскольку коэффициенты a₁, a₂ … a_n многочлена V(p) вещественны, его корни принимают или действительные p_k или попарно комплексно-сопряженные изначения. В случае пассивных устойчивых цепей действительные части корней многочлена являются отрицательными величинами:;;. Тогда решение задачи, определяемое выражением (1.19) имеет вид

(t≥0) (1.24)

и приводит к выражению

соs(ω_lt+φ_l), (t≥0), (1.25)

где первая сумма соответствует действительным корням p_k= - δ_k и описывает экспоненциально убывающие составляющие свободных колебаний. Вторая сумма соответствует парам комплексно-сопряженных корней и описывает убывающие колебательные составляющие. Постоянные коэффициенты выражения (1.25) определяются соотношениями ,ψ_l=arg. Из полученного выражения видно, что свободные колебания в устойчивых цепях состоят из совокупности убывающих составляющих и, в целом, являются затухающими.

В случае кратных корней решение имеет более громоздкий вид, но ничего нового принципиально не содержит. Если характеристический полином V(p) имеет кратные нули, тогда S_вых(t) представляется следующей суммой

S_вых(t)= , (t ≥ 0), (1.26)

где m_k – кратность k-го нуля,

A_kr = . (1.27)

Каждому m - кратному нулю, лежащему на действительной оси, в этой сумме соответствует группа слагаемых вида

, (1.28)

а каждой m – кратной паре комплексно-сопряженных нулей – группа слагаемых вида

(1.29)

В цепях, составленных из элементов активного сопротивления, корни характеристического многочлена цепи V(p) являются чисто мнимыми p_l=iω_l. А свободные колебания описываются выражением

, (1.30)

которое соответствует незатухающим стационарным колебаниям.

Если хоть у одной пары комплексно-сопряженных корней характеристического многочлена некоторой цепи V(p) действительная часть окажется положительной p_{l =}+δ_l± iω_l, то в решении появится колебательная составляющая с нарастающей амплитудой S_le^δ_l^tcos(ω_lt+ψ_l). Цепи, для которых это имеет место, называют неустойчивыми. К их числу относятся всевозможные автогенераторы. В своем составе эти цепи обязательно должны иметь дополнительные источники энергии и электронные приборы (ЭП). Следует заметить, что линейная теория неустойчивых цепей является верной, пока колебания в цепи настолько малы, что они не выходят за пределы линейных областей характеристик ЭП.

Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании разнообразных цепей, является определение принадлежности цепи к устойчивым или неустойчивым цепям. Эта задача сводится к исследованию расположения корней характеристического многочлена V(p) цепи на комплексной плоскости. Если все корни V(p) располагаются в левой полуплоскости – цепь устойчива.

Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней ее характеристического многочлена, называются критериями устойчивости. Один из них – критерий устойчивости Раусса-Гурвица – формулируется следующим образом: корни характеристического уравнения V(p)=0 имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда положительны все определители последовательности

Δ₁=a_1; Δ₂=; Δ₃₌; ;Δ_n=. (1.31)

Алгоритм решения задач анализа свободных колебаний в электрических цепях

• анализируем состояние цепи в момент времени t = 0 и определяем начальные условия – совокупность значений величин U_c(0) и i_l(0);

• составляем схему цепи в операторных параметрах. Нулевые начальные условия в схеме будут отражены источниками с соответствующими операторными задающими характеристиками;

• выбираем метод и записываем систему уравнений (или одно уравнение) в операторной форме;

• находим решение уравнений и представляем изображение искомого колебания в виде отношения многочленов (1.23);

• исследуем характеристический многочлен. Находим значения его нулей на комплексной плоскости. При необходимости используем критерий устойчивости Раусса-Гурвица (1.31);

• определяем структуру решения на основании общего вида решения задачи анализа, в зависимости от расположения нулей V(p);

• определяем коэффициенты S_k, S_l ψ_l решения (1.25) и записываем его в окончательном виде. Строим график полученной функции;

• анализируем полученный результат.

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих алгоритм исследования процессов свободных колебаний и критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

Пример 1.1. КОНТУР УДАРНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ

Пусть в цепи (рис.1.1) в момент времени t=0 электронный прибор, работающий в ключевом режиме, запирается управляющим сигналом. До запирания ток инжекторного электрода равен I₀. Пренебрегая влиянием разделительной емкости C_p (т.к. C_pC) найти выходное напряжение U_вых(t) при

t0. E_п

1. Определяем начальные условия

S_упр i_L(0)= I₀; u_c(0)= 0

С_р

L C R u_вых(t)

Рис.1.1. Контур ударного возбуждения

2. Составляем схему в операторных параметрах

U(p) = U_вых(p)

Рис.1.2. Эквивалентная схема контура ударного возбуждения для

операторных величин

3. Записываем узловое уравнение для изображения напряжения U(p)

(pC + G + 1pL ) U(p) = I₀ ⁄ p

4. Записываем решение уравнения

U(p) =, где >0;>0

5. Исследуем характеристический многочлен V(p)= p² + 2δp + . Его корни p_1,2 = -δ ± , при условии (контур колебательный), являются парой комплексно-сопряженных величин p_1,2 = - , где=. Вещественная часть корней – отрицательная, следовательно - цепь является устойчивой.

6. На основании общего решения задачи о свободных колебаниях, записываем структуру решения

U_вых(t) = U₁e ^–δt cos (ω₁t + ψ₁ ) , (t 0)

7. Определяем коэффициенты решения U₁ и ψ₁

U₁ = 2=; ψ₁ = arg = -

8. Записываем решение в окончательном виде

U_вых = , (t0)

9. Анализируем полученный результат. Выходной сигнал U_вых(t) (рис.1.3) представляет собой затухающее синусоидальное колебание начальная амплитуда которого, пропорциональна начальному току I₀, частота меньше резонансного значения ω₀; скорость убывания колебаний тем меньше, чем больше R (чем выше добротность колебательной системы) и т.д.

U_вых(t)

t

Рис.1.3. Закон изменения U_вых(t) в контуре ударного возбуждения

Пример 1.2. НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ

Данная цепь – резонансный усилительный каскад с положительной обратной связью (рис.1.4). Найти условия при которых в цепи возникают автоколебания и определить их характер.

б)

а) Рис.1.4. Автогенератор гармонических колебаний (а – электрическая схема, б – эквивалентная схема для операторных величин)

1) Начальные условия – нулевые, но предположим, что в момент времени t = 0 произошло очень малое изменение тока ЭП (флуктуация) и, следовательно, тока индуктивности. Пусть изображение этой флуктуации представляется источником тока с задающей величиной J⁰(t).

2) Составляем схему цепи в операторных параметрах (1.14.б).

3) Записываем узловое уравнение

( pC + G_i + ) U(p) = nSU(p) + J⁰(p)

Преобразуем его к виду

( pC + G_i ─ nS + ) U(p) = J⁰(p)

4) Записываем решение уравнения

U(p) = , где 0; 0

5) Исследуем характеристический многочлен V(p) = p² + 2δp + . Его корни p_1,2 = - при условии (контур колебательный) являются парой комплексно сопряженных величин, где. При GnS действительная часть корней отрицательна и, следовательно, цепь устойчива. При GnS действительная часть корней положительна, цепь неустойчива, а свободные колебания описываются выражением

U(p) = U₁,(t 0).

6) Анализируем полученные результаты. Если GnS, то свободные колебания носят затухающий характер и цепь в этом случае является регенеративным усилителем. Если GnS, то свободные колебания экспоненциально нарастают от сколь угодно малой величины до значений при которых наступает ограничение нарастания амплитуды колебаний, связанное с нелинейными областями ВАХ ЭП (вольтамперная характеристика электронного прибора) (рис.1.5). Скорость нарастания колебаний тем больше, чем больше S и n, в этом случае цепь, является генератором гармонических колебаний частоты ω₁.

Рис.1.5. График изменения напряжения U_вых(t), где f =

Пример 1.3. РЕЖИМ РАБОТЫ ЦЕПИ С ТУННЕЛЬНЫМ ДИОДОМ

Рассматривается цепь (рис.1.6.) с туннельным диодом ВАХ которого задана графиком (рис.1.7.). Нагрузочная линия в режиме покоя пересекает ВАХ диода в трех точках (случай 1) или в одной точке (случай 2). В точке покоя А значение крутизны ВАХ g_а = , в точках Б и Сg_б,с0. В зависимости от параметров цепиR, L, C и E_п могут возникнуть следующие режимы работы схемы цепи с туннельным диодом – триггерный, усилительный и автоколебательный. Найдем условия, при которых осуществляется тот или иной режим работы и определим характер свободных колебаний в линейной области работы цепи с туннельным диодом.

а) б)

Рис.1.6. Схема цепи с туннельным диодом для режима колебаний (а – электрическая схема, б–эквивалентная схема)

i=φ(u)

I₀ u

Рис.1.7. Графики ВАХ туннельного диода и нагрузочной линии

1) Пусть начальные условия – не нулевые, имеющие определенный или флуктуационный характер. Представим их изображением источника напряжения E⁰(p).

2) Составим схему линеаризованной цепи в операторных параметрах справедливую для малых окрестностей рабочих точек А, Б и С.

Рис.1.8. Эквивалентная схема цепи с туннельным диодом в операторных величинах

3) Записываем контурное уравнение

.

4) Записываем решение данного уравнения в следующем виде

, где =.

5) Исследуем характеристический многочлен цепи при различных соотношениях параметров. Обозначим ;, тогда.

В соответствии с критерием Раусса-Гурвица цепь устойчива, если

и =a₁a₂0, т.е. если a₁0 и a₂0 одновременно. Т.к. в районе точек Б и С дифференциальная проводимость туннельного диода G_Б,С0, а в районе точки А -G_А0 , то продолжаем исследовать устойчивость цепи для точки А (в окрестностях точек Б и С цепь устойчива, что следует из выражения для константa₁ и a₂).

Случай 1: , тогдаa₂0, цепь неустойчива. Замечаем, что при условиинагрузочная линия пересекает ВАХ ЭП в трех точках и при возникновении малейшей флуктуации тока произойдет переход состояния цепи из точки А точку Б или С. В любой из точек Б или С состояние цепи устойчиво.

Один из корней характеристического полиномаV(p) положителен, т.е. p₁=+δ₁. Поэтому свободное колебание, соответствующее переходу в устойчивое состояние, на начальном этапе будет экспоненциально нарастающим. Следовательно

i(t)= через достаточный момент времени t (t›0).

В рассмотренном случае цепь характеризуется двумя устойчивыми состояниями и может использоваться в качестве триггера. Переход цепи из одного устойчивого состояния в другое можно осуществить управляющими импульсами той или иной полярности, прикладываемыми к диоду.

Случай 2: a₁›0; a₂›0 – цепь в точке А устойчива, характеристический многочлен имеет пару комплексно-сопряженных корней:

p_1,2 = - ,

свободные колебания являются затухающими и описываются выражением

i(t)= , (t≥0).

Компенсирующее слагаемое в показателе экспоненты указывает на режим регенеративного усиления в цепи.

Случай 3: a₁‹ 0; a₂› 0 – цепь неустойчива, корни определяются выражением

p_1,2 =

и при условии , являются парой комплексно-сопряженных корней с положительной вещественной частьюp_1,2 = +δ ± iω. Тогда свободные колебания на начальном этапе определяются выражением i(t)= , описывающим нарастание колебаний в автогенераторе. Спустя некоторое время в цепи установятся гармонические автоколебания частоты=.

Если же , то оба корняV(p) вещественны, причем один положительный p₁ = -δ₁, а другой - отрицательный p₂ = δ₂. Свободные колебания на начальной стадии определяются выражением

i(t)= ,

в котором существенным является первый член. При указанных условиях в цепи будут существовать релаксационные автоколебания, т.е. цепь будет представлять собой генератор релаксационных колебаний – мультивибратор.

Итак, в рассмотренном примере в зависимости от соотношения параметров R, G_A, C и L цепь с туннельным диодом может быть либо автогенератором гармонических колебаний, либо генератором релаксационных колебаний – мультивибратором, либо регенеративным усилителем.