§1.5. Свободные колебания в динамических системах с распределенными элементами

В технике радиосвязи, радиолокации, в устройствах техники СВЧ, микроэлектроники и других широкое применение получили элементы, у которых размеры сравнимы или больше длины волны l>λ. К таким элементам относятся линии передачи энергии – двухпроводные, коаксиальные и микрополосковые линии, волноводы и др.

Электрические цепи, для которых волновой характер процесса представляет основу используемых свойств цепи, а замена распреде­ленных элементов сосредоточенными приводит к утрате этих основ­ных свойств, называют цепями с распределенными элементами. Токи и напряжения в таких цепях являются функциями координат сечения, в котором производится наблюдение за состоянием цепи и временем t.

При составлении систем уравнений с распределенными элемен­тами возникают следующие проблемы:

- не выполняются законы Кирхгофа

- очень сложно произвести выбор реальной модели цепи с распре­деленными элементами

- напряжения и токи зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Так как линии передачи сигналов являются состав­ной частью радиотехнической цепи, для анализа и синтеза которой необходимо знать напряжение и токи в линиях, широкое примене­ние для анализа таких линий получили методы теории электрических цепей. Возможность при­менения указанных методов основывается на представлении о линии в виде цепи, состоящей из большого числа соединенных между собой бесконечно малых по величине пассив­ных элементов, или, иными словами, о линии как о цепи с распре­деленными (по ее длине) элементами. В соответствии с этим исполь­зуются понятия о так называемых погонных (распределенных) пара­метрах линии: резистивном сопротивлении R₀, индуктивности L₀, емкости С₀ и проводимости G_o единицы длины линии. Их значения находят в общем случае методами теории электромаг­нитного поля. Если распределенный характер параметров происходит только вдоль одной координаты, то такая линия называется длинной линией.

Дифференциальные уравнения, связывающие мгновенные значения токов и напряжений имеют следующий вид:

(1.38)

и часто называются телеграфными уравнениями, что обусловлено исторически − впервые применили линии связи для передачи телеграфных сигналов. Решение дифференциальных урав­нений в частных производных при заданных начальных и граничных условиях позволяет в каждом конкретном случае решить поставлен­ную задачу отыскания мгновенных значений токов и напряжений в линии.

§1.5.1. Классификация длинных линий

Если погонные параметры линии R, L, С и G посто­янные во времени и пространстве величины, то такую линию назы­вают однородной в пространстве и инвариантной во времени линейной линией.

Если погонные параметры R, L, С и G зависят от времени или координат пространства, линия называется параметрической.

Если параметры R, L, С и G представляют собой функ­ции напряжения U и тока I (т.е. зависят от самой функции), то такая линия называется нели­нейной.