Глава ш Анализ колебаний в нелинейных цепях

Как мы уже отмечали во введении, работа целого класса устройств, цепей и приборов основана на использовании свойств, присущих только нелинейным системам. Только в параметрических и нелинейных системах происходит обогащение спектра входного колебания, что приводит к возможности создать устройства такие как детекторы, модуляторы, генераторы, умножители и многие другие. К нелинейным элементам относятся все устройства, у которых параметры зависят от самих переменных. Это полупроводниковые и электронные приборы, катушки индуктивности с различными сердечниками, емкости с различными диэлектрическими материалами или полупроводниковые приборы ─ варикапы, использующие изменение ширины запорного слоя p─n перехода, в качестве переменной емкости, величина которой зависит от приложенного напряжения и другие.

В теории линейных и параметрических цепей, рассмотренных в предыдущих разделах, предполагалось, что все элементы, входящие в какую либо цепь, были постоянными или зависящими от параметра (например, времени) соответственно. Были записаны уравнения связи, устанавливаюшие зависимости между токами и напряжениями, приложенными к этим элементам ─ уравнения связи. Каждому из этих элементов были присвоены определенные обозначения: резистивному элементу R или R(t), емкостному элементу C или C(t), индуктивному элементу L или L(t) (для линейного или параметрического элемента соответственно).

Рассмотрим в общем виде характеристики основных нелинейных идеализированных элементов.

§3.1. Нелинейные элементы цепей

1. Нелинейный элемент − активное сопротивление – идеализированное устройство, рассеивающее электрическую энергию и характеризуемое уравнением связи U=R(i)i или i=G(u)u. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.1. Для анализа любой схемы, мы должны выбрать правильную модель, описывающую ее свойства, а затем составить уравнения, связывающие токи и напряжения для различных элементов цепи, в том числе и нелинейных. Однако записать аналитическое выражение для нелинейных элементов R(i) или G(u) задача большой сложности. Значительно проще эсперементально определить связь между током и напряжением ─ определить вольтамперную характеристику прибора. На рис.3.2. представлены несколько видов вольтамперных характеристик нелинейных элементов. Поэтому для анализа нелинейных цепей используют вольтамперные характеристики нелинейных активных сопротивлений.

Рис.3.1. Обозначение на схеме Рис.3.2. Некоторые типы вольтамперных

нелинейной резистивности характеристик нелинейных резистивностей

Вольтамперная характеристика резистивного элемента эквивалентна уравнению связи: u=f(i); i=φ(u).

Отношение

u/i=f(i)/i=R(i)=R_ст (3.1)

называют статическим сопротивлением или сопротивлением постоянному току, которое обычно определяют для фиксированных значений i=I₀ и u=U₀. Если соединить прямой точку А (рис.3.2) с началом координат, то сопротивление постоянному току в этой точке можно определить как

R_ст = ctg α.

Отношение i/u=φ(u)/u=G(u)=G_ст – называют статической проводимостью в точке с координатами i=I₀ и u=U₀. Статическая проводимость или проводимость постоянному току G_ст является величиной обратной R_ст.

.

Рассматривая u(t)=f(i(t)) или i(t)=φ(u(t)) имеем для дифференциалов:

и .

Для конечных приращений, в пределах которых вольтамперную характеристику можно считать линейной, имеем:

и ,

где и(3.2)

- дифференциальные сопротивление и проводимость или сопротивление и проводимость переменному току. В окрестности i=I₀, u=U₀ – это постоянные коэффициенты. Рассматривая конечные приращения в качестве колебаний, можно для последних записать уравнения связи:

и . (3.3)

Из рис.3.2. видно, что если провести касательную в точке А к вольтамперной характеристике, то

.

Дифференциальное сопротивление и обратная величина − дифференциальная проводимость

(3.4)

чаще других используются для характеристики сопротивления нелинейного элемента.

Дифференциальные сопротивления (проводимости) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения (рис.3.3).

На рис.3.3 отмечены участки вольтамперных характеристик с отрицательными дифференциальными сопротивлениями и проводимостями.

а) б)

Рис.3.3. Вольтамперные характеристики: а) туннельного диода

(характеристика N-типа) и б) неоновой лампочки (характеристика S-типа)

Нелинейные элементы активных сопротивлений являются, при определённых условиях, характеристиками электровакуумных и полупроводниковых диодов, варисторов, стабиловольтов, баристоров и т.п.

Для линейного постоянного активного сопротивления имеем: U=f(i)=Ri. Откуда из формул (3.1-3.2) следует, что R_ст=f(i)/i=R и R_диф.=df(i)/di=R. Т.е. статическое и дифференциальное сопротивления линейного постоянного активного сопротивления совпадают и равны R.

Таким образом, дифференциальные сопротивления и проводимости нелинейных элементов применимы при рассмотрении малых колебаний напряжений и токов в нелинейных схемах.

2. Элемент нелинейной индуктивности – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме магнитного поля. Элемент нелинейной индуктивности ─ это хорошая модель катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.4.

Рис.3.4. Обозначение на схеме нелинейной индуктивности

Уравнение связи элемента имеет вид:

(3.5)

. (3.6)

Правая часть равенства (3.6) − есть функция переменной i(t). Следовательно, это уравнение не пригодно для составления системы уравнений с помощью метода узловых напряжений (МУН).

Для анализа нелинейных цепей используют, эквивалентную уравнениям связи (3.5-3.6), зависимость магнитного потока ψ(i) от тока I, так называемую ампервеберную характеристику (рис.3.5).

Рис.3.5. Ампервеберная характеристика нелинейной индуктивности

Заметим, что ψ(i) =L(i)i. Отношение

=L_стат (3.7)

называют статической индуктивностью, определяемую, чаще всего, для какого-то фиксированного I₀ (рис.3.5).

L_стат= tgα.

Величина

=tgβ (3.8)

- называется дифференциальной индуктивностью. Для линейного постоянного элемента индуктивности значение L_стат и L_диф совпадают.

Вернёмся к уравнению связи:

; т.е.

. (3.9)

Следовательно, если величина колебаний тока настолько мала, что в пределе участка характеристики , последняя может считаться линейной, то и уравнение связи является линейным

. (3.10)

Элемент нелинейной индуктивности является хорошей моделью катушки индуктивности, имеющей магнитный сердечник с пренебрежимо узкой петлёй гистерезиса (гистерезис характеризует активные потери).

В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные, тaк и отрицательные значения, дифференциальная индуктивность принципиально не может быть отрицательной, поскольку увеличение тока через L не может приводить к уменьшению магнитного потока, т.е. всегда L_диф>0.

3. Элемент нелинейной ёмкости – идеализированное устройство, способное запасать энергию в форме электрического поля. Условное обозначение элемента на схемах показано на рис.3.6. Как отмечалось выше, элемент нелинейная емкость, является хорошей моделью емкости с различными диэлектрическими материалами в качестве ε или полупроводниковые приборы ─ варикапы, использующие изменение ширины запорного слоя p─n перехода, в качестве переменной емкости, величина которой зависит от приложенного напряжения.

Рис.3.6. Обозначение на схеме нелинейной емкости

Уравнение связи элемента имеет вид:

. (3.11)

Возможна другая форма уравнения связи:

,

но она не пригодна для составления системы уравнений с помощью метода контурных токов (МКТ), т.к. правая часть в неявном виде содержит u(t).

Для анализа нелинейных цепей используют эквивалентную уравнению связи зависимость зарядаq от напряжения u – вольткулоновскую характеристику (рис.3.7).

Рис.3.7. Вольткулоновская характеристика нелинейной емкости.

Заметим, что q=c(u)u, следовательно, можно записать отношение

, (3.12)

которое называют статической ёмкостью и которое определяет значение емкости для фиксированного значения u₀ (рис.3.7).

C_стат=tgα.

Величина

=tgβ (3.13)

называется дифференциальной емкостью. Эти характеристики чаще всего определяют для малой окрестности некоторого фиксированного значения u₀. Для линейного постоянного элемента ёмкости значения С_стат и С_диф совпадают. Поэтому можно записать, что

С_стат=С_диф=С.

Вернёмся к уравнению связи, которое можно записать в форме:

, т.е.

. (3.14) Если величина колебаний напряжений относительно u₀ мала, то в пределах рабочего участка характеристики последняя может считаться линейной, что обуславливает линейность уравнения связи

, откуда . (3.15)

Как и L_диф элемента индуктивности, С_диф элемента ёмкости всегда положительна, С_диф>0. Это обусловлено тем, что увеличение u на ёмкости не может приводить к уменьшению заряда.

Элемент «нелинейная емкость» является хорошей моделью емкости с диэлектрической проницаемостью ε, зависящей от напряженности Е электрического поля без потерь или варикапа.

В отличие от дифференциального активного сопротивления, которое может принимать как положительные тaк и отрицательные значения, дифференциальная емкость принципиально не может быть отрицательной, поскольку увеличение тока через С не может приводить к уменьшению электрического поля, т.е. С_диф>0.