§3.11. Метод фазовой плоскости

Метод фазовой плоскости – графический метод, позволяющий качественно исследовать колебания в цепях, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка. Существует несколько вариантов методов фазовой плоскости, применяемые в зависимости от постановки задачи. Обобщением метода фазовой плоскости для случаев, когда колебания описываются уравнениями более высокого порядка (n › 2) является метод фазового пространства (n – мерного). Термин «фаза» в названии метода имеет смысл ″состояние″. Если дифференциальное уравнение имеет порядок n, тогда для определения конкретного решения, кроме общего вида решения, необходимо также располагать n − начальными условиями, например, f(t₀), f⁽¹⁾(t₀), f⁽²⁾(t₀), … f^(n-1)(t₀). Эти величины можно рассматривать в качестве n – координат фазового пространства. Начальные значения координат, т.е. условия для t = t₀ определяют в фазовом пространстве точку. При изменении t от t₀ значения всех величин – координат изменяются, т.е. во времени изменяется положение точки, описывающей состояние колебательного процесса (в соответствии с общим решением дифференциального уравнения).

Метод фазовой плоскости применяется для качественного анализа процессов установления колебаний в автогенераторе, а также для анализа вынужденных колебаний в нелинейных цепях.

В тех случаях, когда неприменим ни один из рассмотренных методов, а также другие количественные методы, единственным, позволяющим провести качественный анализ, является метод фазовой плоскости (пространства).

Основные определения: фазовой плоскостью называется координатная плоскость на которой откладывается по оси абсцисс – мгновенные значения самой функции, описывающей колебания, а по оси ординат – мгновенные значения производной той же функции (например, q(t) и i(t) = илиi(t) и и т.д.).

Поскольку в реальных цепях не существует колебаний, достигающих бесконечно больших величин, все возможные состояния колебаний на фазовой плоскости располагаются в обозримой области при любых значениях t от t₀ до .

Изображающей точкой М(х,у) называется точка фазовой плоскости координаты которой определяют состояние колебательного процесса, мгновенные значения s(t) и .

Фазовой траекторией называется путь движения изображающей точки по фазовой плоскости. Фазовая плоскость, заполненная фазовыми траекториями, определяющими поведение системы при любых начальных условиях, называется фазовым портретом. Скорость перемещения изображающей точки по фазовой траектории называется фазовой скоростью. В любой точке фазовой плоскости эта скорость направлена по касательной к фазовой траектории, а величина её выражается через скорость изменения координат

v_x = vv_ф = .

Обычной точкой фазовой плоскости называется точка через которую проходит одна фазовая траектория. Простой особой точкой называется точка через которую проходит несколько траекторий, либо не проходит ни одна. Этим точкам соответствуют равновесные состояния цепей (систем). В этих точках и одновременно. Количество особых точек, их расположение на фазовой плоскости и характер фазовых траекторий в их окрестностях определяют характер колебательных процессов.

Кроме особых точек, существенными для определения характера процесса являются особые линии фазовой плоскости – предельные циклы и сепаратриссы.

Предельным циклом называется замкнутая фазовая траектория к которой, в пределе при t → ± ∞, стремится некоторое множество фазовых траекторий.

Сепаратриссы – линии, разделяющие фазовую плоскость на области притяжения к особым точкам.

Исследование колебаний в цепи методом фазовой плоскости сводится к построению фазовой траектории, соответствующей определенным начальным условиям. По фазовой траектории можно определить вид функции (график) описывающей колебательный процесс. Рассмотрим метод фазовой плоскости применительно к анализу колебаний в автогенераторе, описываемых уравнением

. (3.107)